2018年5月4日 星期五

[集合論] $\{x: 2^n < |f(x)| < 2^{n+1}\}$ 為 disjoint

Claim: 令 $f \in L^1$ 且 考慮集合
\[
A_n:=\{x: 2^n < |f(x)| < 2^{n+1}\}
\]其中 $n \in \mathbb{Z}$則對任意 $n \neq m$, $A_n \cap A_m = \emptyset$

Proof: 用反證法,令 $n \neq m$ (假設 $n > m$),$ A_n \cap A_m \neq \emptyset$。亦即存在 $x_0 \in A_n \cap A_m \neq \emptyset$。此表明 $x_0 \in A_n$ 且 $x_0 \in A_m$。則由 $x_0 \in A_n  $ 我們有 \[
2^n < |f(x_0)| <2^{n+1}
\]同樣地,由 $x_0 \in A_m$ 可推得 \[
2^m < |f(x_0)| < 2^{m+1}
\]換言之,我們有 $|f(x_0)| \in (2^n, 2^{n+1})$ 且 $|f(x_0)| \in (2^{m}, 2^{m+1})$ 得到矛盾,因為 $(2^n, 2^{n+1}) \cap (2^m, 2^{m+1}) = \emptyset $。故 $A_n$ 為 disjoint $\square$