考慮一組 i.i.d. random samples $X_1,X_2,...,$ 配備 期望平均 $m$ 與 變異數 (variance) $\sigma^2$,假設變異已知,但期望平均 $m$ 為未知。我們想對 $m$ 進行估計。一般的做法是採用 sample mean 估計量 \[ M_n := \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n X_i \] 則我們知道 sample mean $M_n \to m$ 當 $n \to \infty$ in probability,此性質稱作 (weak) consistency estimator,但實際上,大多情況之下我們僅僅只能量測有限 $n$ (比如只能做有限次實驗),則我們想問該如何描述紹述 $M_n$ 有多接近 $m$ 呢?此想法為建構 信賴區間的動機:對某些 $\delta >0$ 而言,我們定義 \[ P(m \in [M_n -\delta, M_n + \delta] ) = 1-\alpha \]其中 $[M_n -\delta, M_n + \delta] $ 稱作信賴區間(Confidence interval) 且 $1-\alpha$ 稱作 信心水準 (Confidence level),因此 Confidence interval 是一個隨機集合 而信心水準是 此隨機集合包含未知參數 $m$ 的機率。一般而言,在實務上多使用 $1-\alpha \in [0.9, 0.99]$。 Comments: 1. 上述 $M_n$ 不但為為 真實平均 (或者期望值) $m$ 的 consistent estimator 且 亦為不偏 (unbiased)估計量。 問題: 給定 $\alpha$,我們想問該如何選取參數 $\delta$ 使得 \[ P(m \in [M_n -\delta, M_n + \delta] ) = 1-\alpha \]成立? 要回答此問題,我們首先觀察 \[m \in [{M_n} - \delta ,{M_n} + \delta ] \Leftrightarrow {M_n} - \delta \leqslant m \leqslant {M_n} + \delta \]亦即 $- \delta \leqsl
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya