============= Theorem: 令 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為遞增函數,則 $f$ 同時為 quasiconcave 與 quasiconvex。 ============= Proof: 考慮 $x,y \in \mathbb{R}$ 且 $\lambda \in (0,1)$,在不失一般性情況我們假設 $x>y$,則 \[ x > \lambda x + (1-\lambda)y > y \]因為 $f$ 遞增,我們有 \[ f(x) > f( \lambda x + (1-\lambda)y) > f(y) \;\;\;\; (**) \]由上述不等式,我們可寫 $$ f(x) = \max\{f(x),f(y)\} $$故由第一部分的不等式,我們有 \[ \max\{f(x),f(y)\} > f( \lambda x + (1-\lambda)y) \]此表明 $f$ 為 quasiconvex。 同理,由 $(**)$ 我們亦可寫下 \[ f(y) := \min\{f(x),f(y)\} \]故由第二部分的不等式,我們有 \[ f( \lambda x + (1-\lambda)y) >\min\{f(x),f(y)\} \]此表明 $f$ 為 quasiconcave 至此證明完畢。$\square$
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya