謝宗翰的隨筆

給定 初始值問題(Initial Value Problem, IVP) \[ y'(t) = f(t,y(t)),\;\;\;\; y(0) = y_0 \] 一般而言，上述 一般的 IVP 問題並沒有辦法寫下解析解，但我們可以退而求其次詢問是否有合適的數值方法求解上述 初始值問題，最為基本的想法是利用所謂的 Forward Euler method: Forward Euler Method: \[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n) \]其中 $t_n = n h$。令終止時間 $T$ 在 $n$ 步之後到達，則 $T = n h$。 Comment: 1. 上式中 $h$ 稱為 迭代步長 (step size) 。 2. $t_{n+1} = t_n + h$ 3. 儘管 Forward Euler Method 非常簡便，但其數值誤差相當大，以下我們看個實際例子： Example:  考慮 IVP $ y'=t-y $ 且 $ y(0) = 0 $ ， (a) 試求解上述 IVP (b) 現在令 $h := 0.1$ ，試求用 Forward Euler Method 求解 $y_2$ (Note: $y_2 = y(t_2) = y(2h)$) (c) 比較 (a) 與 (b) Solution (a): 首先改寫原式： \[y'\left( t \right) =  - y\left( t \right) + t \]由上式可知此為線性常係數 ODE 其解可立即求得 \[\begin{array}{l} y\left( t \right) = {e^{ - 1}}y\left( 0 \right) + \int_0^t {{e^{ - 1\left( {t - s} \right)}}sds} \\  \Rightarrow y\left( t \right) = 0 + \underbrace {{e^{ - t}}\int_0^t {{e^s}sds} }_{ = {e^{ - t}}\left( {{e^t}(t - 1) + 1} \right)}\\  \Rightarrow y\left( t \right) = (t -

在一般數學教科書或者文獻之中，我們很常看到作者使用各式各樣的引理(Lemma)，命題(Proposition)，定理(Theorem)，初次接觸時並不容易區別彼此之間的差別，但身為讀者該如何區分其輕重？ 以下給出一般的觀點： 最重要的結果，我們一般將其稱作 定理 (Theorem) ，接續該定理所衍生的立即應用，我們稱做 系理(Corollary) 。另外用以證明上述定理的小結果稱之為 引理 (Lemma) ，讀者可以將引理視為 "引出" 定理的 前置結果。 另外如果不是太過重要的結果，則作者一般會將該結果稱作 命題 (Proposition) 。最後稍微提一下有時候作者會採用 宣稱 (Claim) 這是最弱的結果，一般不太重要。 Comments: 1. 上述只是一般觀點，並不代表所有引理都不重要，比如說 機率論與 測度論中 最重要的三大收斂性結果之一的 Fatou's Lemma 本身儘管是 引理，但卻是極為重要的結果。(另外兩個重要的收斂性結果為 Dominated Convergence Theorem 與 Monotone Convergence Theorem) 2. 一般而言， 定理是作者認為最為重要的結果，所以讀者在閱讀文獻時，若遇到定理可多留心這個部分。

以下為個人在 University of Wisconsin-Madison 臺灣學生會 2016年 第一場學術沙龍中 分享的簡報： 數學能擊敗金融市場嗎？-從控制理論觀點  （2016, 02. 16) 講者： 謝宗翰 講題 ：數學是否能擊敗金融市場？-從控制理論觀點 簡介 ：此講題將試圖回答一個基本問題：是否存在一種「必勝法」，使得投資績效具備恆正報酬？我們將從現代投資理論出發，最終止於財務工程與控制理論，過程中，我們將逐步揭示何時可以透過數學幫助我們建構一組可行的「最佳」交易策略。 關於 UW-Madison 臺灣學生會 連結 https://sites.google.com/site/satuwmadison/