[線性代數] 線性算子 與 特徵值/特徵向量(1) - 線性算子的矩陣代表 所表示的等價特徵問題

令 $V$ 為有限維度向量空間配備基底 $S=\{{\bf s}_1,{\bf s}_2,...,{\bf s}_n\}$ 且 $L: V \to V$ 為線性算子，則必存在唯一 的 一個 對應於基底 $S$ 的 $n \times n$ 矩陣代表 $A$  來 表示 $L$ (我們稱此矩陣代表 $A$ 為  representation of $L$ with respect to $S$) 使得 對任意 ${\bf x} \in V$ 我們有
\[
[L({\bf x})]_S = A [{\bf x}]_S \;\;\;\;\; (\star)
\]其中 $[{\bf x}]_S$ 表示 ${\bf x}$基於 基底 $S$ 的座標向量 (coordinate vector)，亦即 若\[{[{\bf{x}}]_S} = \left[ \begin{array}{l}
{a_1}\\
{a_2}\\
 \vdots \\
{a_n}
\end{array} \right] \Leftrightarrow {\bf{x}} = {a_1}{{\bf{s}}_1} + {a_2}{{\bf{s}}_2} + ... + {a_n}{{\bf{s}}_n}\]

現在我們回憶原本 定義在 線性算子 $L$ 之上的特徵問題：亦即我們要 找出一組 特徵值 $\lambda$ 與其對應的 特徵向量 ${\bf x} \neq {\bf 0}$ 且 ${\bf x} \in V$ 滿足
\[
L({\bf x}) = \lambda {\bf x}\;\;\;\;\; (*)
\]
觀察 $(\star)$ 式，我們可得到透過 $A$ 矩陣所描述的等價特徵問題如下
\[\begin{array}{l}
{[L({\bf{x}})]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}\;\\
 \Rightarrow {[\lambda {\bf{x}}]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}\;\\
 \Rightarrow \lambda {[{\bf{x}}]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}\;
\end{array}
\]則我們的目標變成要找 一組 $\lambda \in \mathbb{R}$ (or $\in \mathbb{C}$) 與 $[{\bf x}]_S \neq {\bf 0}$ 且 $[{\bf x}]_S \in \mathbb{R}^n$ (or $\mathbb{C}^n$)  滿足
\[
\lambda {[{\bf{x}}]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}
\]

現在我們考慮以下例子：

Example 1
令 $L: P_1 \to P_1$ 為線性算子滿足
\[
L( at + b) := bt + a
\]另外給定一組 $P_1$ 的 有序基底 $S:=\{t, 1\}$，
(a) 試求透過 基底 $S$ 的矩陣 $A$ 來代表線性算子 $L$
(b) 定義對應於 $A$ 矩陣的等價特徵問題


Solution (a):
令 $A$ 為 線性算子 $L$ 為透過 基底 $S$ 的矩陣代表 ，則 $A$ 必須滿足 對任意 ${\bf x} \in P_1$，
\[
[L({\bf x})]_S = A [{\bf x}]_S
\]注意到我們的基底元素 ${\bf s}_1, {\bf s}_2 \in P_1$ 故我們現在若觀察
\[\left\{ \begin{array}{l}
L\left( {{{\bf{s}}_1}} \right) = L\left( t \right) = 1\\
L\left( {{{\bf{s}}_2}} \right) = L\left( 1 \right) = t
\end{array} \right.\]亦即
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {L\left( {{{\bf{s}}_1}} \right)} \right]_S} = {\left[ 1 \right]_S} = \left[ \begin{array}{l}
0\\
1
\end{array} \right]\\
{\left[ {L\left( {{{\bf{s}}_2}} \right)} \right]_S} = {\left[ t \right]_S} = \left[ \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right]
\end{array} \right.\]故我們求得矩陣代表 (基於 $S$) 為
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\left[ {L\left( {{{\bf{s}}_1}} \right)} \right]}_S}}&{{{\left[ {L\left( {{{\bf{s}}_2}} \right)} \right]}_S}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
1&0
\end{array}} \right]\]
Solution (b)
等價的矩陣代表的特徵問題為要找 一組 $\lambda \in \mathbb{R}$ (or $\in \mathbb{C}$) 與 $[{\bf x}]_S \neq {\bf 0}$ 且 $[{\bf x}]_S \in \mathbb{R}^2$  滿足
\[
A{[{\bf{x}}]_S} = \lambda {[{\bf{x}}]_S}
\] 或者更簡而言之，我們要找 $\lambda \in \mathbb{R}^1$ (or $\mathbb{C}^1$) 與非零向量 ${\bf v} \in \mathbb{R}^2$ 滿足
\[
A {\bf v} = \lambda {\bf v}
\]

上述討論說明了 對線性算子的特徵問題(Eigenproblem) 可以透過 其矩陣代表 描述，事實上對任意方陣，我們皆可定義其特徵問題如下：
若 $A$ 為 $n \times n$ 方陣 ，定義 線性算子 $L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ or ($\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$) 滿足 對任意 ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$ (or $\mathbb{C}^n$)
\[
L({\bf x}) = A{\bf x}
\]現在，若存在 $\lambda \in \mathbb{R}$ (or $\mathbb{C}$) 且 ${\bf x} \neq {\bf 0}, {\bf x} \in \mathbb{R}^n$ or ($\mathbb{C}^n$) 使得
\[
A {\bf x} = \lambda {\bf x}
\]則我們說 $\lambda$ 為 $A$ 的特徵值 且 ${\bf x}$ 為其 對應於 $\lambda$ 的特徵向量，亦即 $\lambda$ 為 $L$ 的特徵值 且 ${\bf x}$ 為其 對應於 $\lambda$ 的特徵向量