延續前篇 [線性代數] Orthonormal Basis 與 Gram-Schmidt Process (0) 的問題,以下我們正式引入 Gram-Schmidt Process Theorem: Gram-Schmidt Process 令 $V$ 為 有限維度內積空間 且 令 $W\neq \{ {\bf 0}\}$ 為 $V$中的 $m$-維子空間。則此子空間 $W$ 存在一組正交基底 $T =\{{\bf w}_1,...{\bf w}_m\}$ Proof: 我們首先建構一組 orthogonal basis $T^* :=\{{\bf v}_1,{\bf v}_2...,{\bf v}_m\}$ for $W$。由於 $W$ 為 $V$ 的子空間,故我們可在 $W$ 其上選取一組基底,令 $S=\{{\bf u}_1,...,{\bf u}_m\} $ 接著我們選取其中任意一個向量,比如說 ${\bf u}_1 \in S$ 並稱此向量為 ${\bf v}_1$ 亦即我們重新定義 \[ {\bf v}_1 := {\bf u}_1 \]注意到此 ${\bf v}_1 \in W_1:=span\{ v_1 \}$ 其中 $W_1$ 為 $W$ 的子空間 接著我們要尋找 ${\bf v}_2$,我們希望此向量 ${\bf v}_2$ 落在 $W$ 子空間 $W_2 = span\{ {\bf u}_1, {\bf u}_2\} $ 且 ${\bf v}_2$ 與 ${\bf v}_1$ 彼此 orthogonal。但注意到我們有 ${\bf v}_1 := {\bf u}_1 $ 故 ${\bf v}_2 \in W_2 = span\{ {\bf u}_1 , {\bf u}_2\} = span\{ {\bf v}_1, {\bf u}_2\} $ 也就是說 ${\bf v}_2$ 可透過 ${\bf v}_1$ 與 ${\bf u}_2$ 做線性組合 \[ {\bf v}_2 = a_1 {\bf v}_1 + a_2 {\bf u}_2 \]其中 $a_1, a_2$ 待定。 注意到由於我們要讓 ${\bf v}_2$ 與 ${\bf v}_1$ 彼此 orthogonal 故 $\langle {\bf
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya