2015年10月30日 星期五

[線性代數] 座標轉換矩陣

考慮 $V$ 為 $n$ 維向量空間,且 ${\bf v} \in V$。現在考慮兩組 有序基底 (ordered basis)
\[\begin{array}{l} S: = \{ {{\bf{v}}_1},{{\bf{v}}_2},...,{{\bf{v}}_n}\} \\ T: = \{ {{\bf{w}}_1},{{\bf{w}}_2},...,{{\bf{w}}_n}\} \end{array}\]
則 我們可將 ${\bf v}$ 用上述有序基底做線性組合唯一表示,比如說
\[
{\bf v} = c_1 { {\bf w}_1} + ... c_n {\bf w}_n
\]且其對應於  $T$ 基底的 座標向量 (coordinate vector) 與 對 $S$ 基底的 coordinate vector 我們定義如下 
\[{\left[ {\bf{v}} \right]_T} := \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{c_1}}\\
{{c_2}}\\
 \vdots \\
{{c_n}}
\end{array}} \right]; \;\;{[{\bf{w}}]_S} := \left[ \begin{array}{l}
{a_1}\\
{a_2}\\
 \vdots \\
{a_n}
\end{array} \right]
\]注意到事實上 上述 對 $T$ 基底的 coordinate vector 可看成是函數,比如說令 $L: V \to \mathbb{R}^n$ 滿足
\[
L({\bf v}) = [{\bf v}]_T
\]同理,對 $S$ 基底的 coordinate vector 令 $L': V \to \mathbb{R}^n$ 滿足
\[
L'({\bf v}) = [{\bf v}]_S
\]
Comment:
1. 上述 $L, L'$ 統稱為 coordinate mapping
2. Coordinate mapping 為 bijective linear transformation 或稱 isomorphism。

現在若我們想建構 對於 $S$ 基底的座標向量 與 $T$ 基底座標向量之間兩者的關係,利用  coordinate mapping $[{\bf v}]_S$ 為 linear transformation 性質 ,我們有
\[\begin{array}{l}
{[{\bf{v}}]_S} = {[{c_1}{{\bf{w}}_1} + ...{c_n}{{\bf{w}}_n}]_S}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = {[{c_1}{{\bf{w}}_1}]_S} + ... + {[{c_n}{{\bf{w}}_n}]_S}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = {c_1}{[{{\bf{w}}_1}]_S} + ... + {c_n}{[{{\bf{w}}_n}]_S}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
|&|&{}&|\\
{{{[{{\bf{w}}_1}]}_S}}&{{{[{{\bf{w}}_2}]}_S}}&{...}&{{{[{{\bf{w}}_n}]}_S}}\\
|&|&{}&|
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
{c_1}\\
{c_2}\\
 \vdots \\
{c_n}
\end{array} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = {P_{S \leftarrow T}}\left[ \begin{array}{l}
{c_1}\\
{c_2}\\
 \vdots \\
{c_n}
\end{array} \right]
\end{array}\]其中 ${P_{S \leftarrow T}}: = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
|&|&{}&|\\
{{{[{{\bf{w}}_1}]}_S}}&{{{[{{\bf{w}}_2}]}_S}}&{...}&{{{[{{\bf{w}}_n}]}_S}}\\
|&|&{}&|
\end{array}} \right]$ 稱為 從 $T$ 基底到 $S$ 基底的座標轉換矩陣  (Transition Matrix from T-basis to the S basis )且對於個別的 coordinate vector; e.g., $[{\bf w}_j]_S$ 我們有
\[{[{{\bf{w}}_j}]_S} = \left[ \begin{array}{l}
{a_{1j}}\\
{a_{2j}}\\
 \vdots \\
{a_{nj}}
\end{array} \right]\]
故我們有以下結果
\[
[{\bf v}]_S = P_{S \leftarrow T} [{\bf v}]_T
\]

以下是一些關於 Transition Matrix 的性質:
令 $S,T$ 為向量空間的兩組 ordered basis 則
FACT 1. $P_{T \leftarrow T} = I$
FACT 2. $P_{S \leftarrow T}$ 為 nonsingular

現在看幾個例子:

Example 1.
令 \[S: = \left\{ {{{\bf{v}}_1},{{\bf{v}}_2}} \right\} = \left\{ {\left[ \begin{array}{l}
1\\
2
\end{array} \right],\left[ \begin{array}{l}
0\\
1
\end{array} \right]} \right\};T: = \left\{ {{{\bf{w}}_1},{{\bf{w}}_2}} \right\} = \left\{ {\left[ \begin{array}{l}
1\\
1
\end{array} \right],\left[ \begin{array}{l}
2\\
3
\end{array} \right]} \right\}\]為 ordered bases for $\mathbb{R}^2$。現在令 ${\bf v} = [1 \;\; 5]^T$ 與 ${\bf w} := [5 \;\; 4]^T$ 。
(a) 試求 coordinate vectors $[{\bf v}]_T$ 與 $[{\bf w}]_T$
(b) 試求 $P_{S \leftarrow T}$
(c) 試求 coordinate vectors $[{\bf v}]_S$ 與 $[{\bf w}]_S$

Solution(a)
由 $[{\bf v}]_T$ 的定義可知 ${\left[ {\bf{v}} \right]_T} = \left[ \begin{array}{l}
{a_1}\\
{a_2}
\end{array} \right]$且
\[\begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
1\\
5
\end{array} \right] = {a_1}\left[ \begin{array}{l}
1\\
1
\end{array} \right] + {a_2}\left[ \begin{array}{l}
2\\
3
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
1&3
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
{a_1}\\
{a_2}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
1\\
5
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a_1} =  - 7\\
{a_2} = 4
\end{array} \right.
\end{array}\]同理 ${\left[ {\bf{w}} \right]_T} = \left[ \begin{array}{l}
{b_1}\\
{b_2}
\end{array} \right]$
\[\begin{array}{l}
\underbrace {\left[ \begin{array}{l}
5\\
4
\end{array} \right]}_{ = {\bf{w}}} = {b_1}\left[ \begin{array}{l}
1\\
1
\end{array} \right] + {b_2}\left[ \begin{array}{l}
2\\
3
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
1&3
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
{b_1}\\
{b_2}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
5\\
4
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{b_1} = 7\\
{b_2} =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}\]

Solution (b)
我們要求 $P_{S \leftarrow T}$,由 part (a) 可知我們有 $[{\bf v}]_T = [-7\;\;4]$ 故
\[\begin{array}{l}
{[{\bf{v}}]_S} = {\left[ { - 7{{\bf{w}}_1} + 4{{\bf{w}}_2}} \right]_S}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} =  - 7{\left[ {{{\bf{w}}_1}} \right]_S} + 4{\left[ {{{\bf{w}}_2}} \right]_S}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
|&|\\
{{{\left[ {{{\bf{w}}_1}} \right]}_S}}&{{{\left[ {{{\bf{w}}_2}} \right]}_S}}\\
|&|
\end{array}} \right]}_{ = {P_{S \leftarrow T}}}\underbrace {\left[ \begin{array}{l}
 - 7\\
4
\end{array} \right]}_{ = {{[{\bf{v}}]}_T}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_{11}}}&{{b_{12}}}\\
{{b_{21}}}&{{b_{22}}}
\end{array}} \right]}_{{P_{S \leftarrow T}}}\left[ \begin{array}{l}
 - 7\\
4
\end{array} \right]
\end{array}\]
現在我們分別求取 $[{\bf w}_1]_S$ 與 $[{\bf w}_2]_S$如下:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {{{\bf{w}}_1}} \right]_S} = \left[ \begin{array}{l}
{b_{11}}\\
{b_{21}}
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow {b_{11}}\left[ \begin{array}{l}
1\\
2
\end{array} \right] + {b_{21}}\left[ \begin{array}{l}
0\\
1
\end{array} \right] = \underbrace {\left[ \begin{array}{l}
1\\
1
\end{array} \right]}_{ = {{\bf{w}}_1}}\\
 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
2&1
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
{b_{11}}\\
{b_{21}}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
1\\
1
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{b_{11}} = 1\\
{b_{21}} =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}\]

\[\begin{array}{l}
{\left[ {{{\bf{w}}_2}} \right]_S} = \left[ \begin{array}{l}
{b_{12}}\\
{b_{22}}
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow {b_{12}}\left[ \begin{array}{l}
1\\
2
\end{array} \right] + {b_{22}}\left[ \begin{array}{l}
0\\
1
\end{array} \right] = \underbrace {\left[ \begin{array}{l}
2\\
3
\end{array} \right]}_{ = {{\bf{w}}_2}}\\
 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
2&1
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
{b_{11}}\\
{b_{21}}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
2\\
3
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{b_{12}} = 2\\
{b_{21}} =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}\]故
\[{P_{S \leftarrow T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
{ - 1}&{ - 1}
\end{array}} \right]\]
Solution (c)
\[\begin{array}{l}
{[{\bf{v}}]_S} = {P_{S \leftarrow T}}{[{\bf{v}}]_T}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
{ - 1}&{ - 1}
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
 - 7\\
4
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
1\\
3
\end{array} \right]\\
{[{\bf{w}}]_S} = {P_{S \leftarrow T}}{[{\bf{w}}]_T}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
{ - 1}&{ - 1}
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
7\\
 - 1
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
5\\
 - 6
\end{array} \right]

\end{array}\]

Example 2.
令 $V:= \mathbb{R^3}$ 且令 $S:=\{{\bf v}_1,{\bf v}_2, {\bf v}_3\}$ 且 $T = \{{\bf w}_1, {\bf w}_2, {\bf w}_3\}$ 為  $\mathbb{R}^3$ 的ordered basis,其中
\[\begin{array}{l}
{{\bf{v}}_1} = \left[ \begin{array}{l}
2\\
0\\
1
\end{array} \right];{{\bf{v}}_2} = \left[ \begin{array}{l}
1\\
2\\
0
\end{array} \right];{{\bf{v}}_3} = \left[ \begin{array}{l}
1\\
1\\
1
\end{array} \right]\\
{{\bf{w}}_1} = \left[ \begin{array}{l}
6\\
3\\
3
\end{array} \right];{{\bf{w}}_2} = \left[ \begin{array}{l}
4\\
 - 1\\
3
\end{array} \right];{{\bf{w}}_3} = \left[ \begin{array}{l}
5\\
5\\
2
\end{array} \right]
\end{array}\]
(a) 試計算 $P_{S \leftarrow T}$
(Exercise) 令 ${\bf v} = [4 \;\; -9 \;\; 5]$ 驗證 $[{\bf v}]_S = P_{S \leftarrow T} [{\bf v}]_T$

Solution (a):
由前面討論可知
\[{P_{S \leftarrow T}}: = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
|&|&|\\
{{{[{{\bf{w}}_1}]}_S}}&{{{[{{\bf{w}}_2}]}_S}}&{{{[{{\bf{w}}_3}]}_S}}\\
|&|&|
\end{array}} \right]\]故我們需分別求出 $[{\bf w}_1]_S, [{\bf w}_2]_S$ 與 $[{\bf w}_3]_S$:

首先求 ${[{{\bf{w}}_1}]_S} = \left[ \begin{array}{l}
{a_{11}}\\
{a_{21}}\\
{a_{31}}
\end{array} \right]$ 如下:由於 ${\bf w}_1$ 可用 $S$ 有序基底作唯一線性組合表示,故
\[\begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
6\\
3\\
3
\end{array} \right] = {a_{11}}\left[ \begin{array}{l}
2\\
0\\
1
\end{array} \right] + {a_{21}}\left[ \begin{array}{l}
1\\
2\\
0
\end{array} \right] + {a_{31}}\left[ \begin{array}{l}
1\\
1\\
1
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&1\\
0&2&1\\
1&0&1
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
{a_{11}}\\
{a_{21}}\\
{a_{31}}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
6\\
3\\
3
\end{array} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}} = 2\\
{a_{21}} = 1\\
{a_{31}} = 1
\end{array} \right.
\end{array}
\]
接著我們求 ${[{{\bf{w}}_2}]_S} = \left[ \begin{array}{l}
{a_{12}}\\
{a_{22}}\\
{a_{32}}
\end{array} \right]$ ,由 ${\bf w}_2$ 可用 $S$ 有序基底作唯一線性組合表示,我們可得
\[\begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
4\\
 - 1\\
3
\end{array} \right] = {a_{12}}\left[ \begin{array}{l}
2\\
0\\
1
\end{array} \right] + {a_{22}}\left[ \begin{array}{l}
1\\
2\\
0
\end{array} \right] + {a_{32}}\left[ \begin{array}{l}
1\\
1\\
1
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&1\\
0&2&1\\
1&0&1
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
{a_{11}}\\
{a_{21}}\\
{a_{31}}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
4\\
 - 1\\
3
\end{array} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a_{12}} = 2\\
{a_{22}} =  - 1\\
{a_{32}} = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
最後求 ${[{{\bf{w}}_3}]_S} = \left[ \begin{array}{l}
{a_{13}}\\
{a_{23}}\\
{a_{33}}
\end{array} \right]$,同前述方法,利用 ${\bf w}_3$ 可透過 $S$ 有序基底作唯一線性組合表示,我們可得
\[\begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
5\\
5\\
2
\end{array} \right] = {a_{13}}\left[ \begin{array}{l}
2\\
0\\
1
\end{array} \right] + {a_{23}}\left[ \begin{array}{l}
1\\
2\\
0
\end{array} \right] + {a_{33}}\left[ \begin{array}{l}
1\\
1\\
1
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&1\\
0&2&1\\
1&0&1
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
{a_{11}}\\
{a_{21}}\\
{a_{31}}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
5\\
5\\
2
\end{array} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a_{13}} = 1\\
{a_{23}} = 2\\
{a_{33}} = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
{P_{S \leftarrow T}}: = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
|&|&|\\
{{{[{{\bf{w}}_1}]}_S}}&{{{[{{\bf{w}}_2}]}_S}}&{{{[{{\bf{w}}_3}]}_S}}\\
|&|&|
\end{array}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\
{{a_{12}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\
{{a_{13}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&2&1\\
1&{ - 1}&2\\
1&1&1
\end{array}} \right]
\end{array}\]

2015年10月29日 星期四

[線性代數] 伴隨矩陣 $adj(A)$ 的一些性質

給定 $n \times n$ 的非奇異方陣 $A$,則下列性質成立
Claim: $adj A$ 為非奇異矩陣
Proof: 由於 $A$ 為 nonsingular,我們有
\[
A^{-1} = \frac{1}{detA} adj (A) \]
注意到等號左方 $A^{-1}$ 亦為 nonsingular (why? 由 $A$ 為 nonsingular 的定義出發,我們可知$A A^{-1} = I$ 等價說明 $A^{-1}$ 為 nonsingular),且由於 $det A$ 僅為常數,故 $adj A$ 必定為 nonsingular。 $\square$

Claim: $\det (adj A) = (\det A)^{n-1}$
Proof: 由 $A^{-1}$ 可知
\[\begin{array}{l}
{A^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}}adj\left( A \right)\\
 \Rightarrow \left( {\det A} \right)\left( {{A^{ - 1}}} \right) = adj\left( A \right)\\
 \Rightarrow \det \left( {\left( {\det A} \right)\left( {{A^{ - 1}}} \right)} \right) = \det \left( {adj\left( A \right)} \right)\\
 \Rightarrow {\left( {\det A} \right)^n}\det \left( {{A^{ - 1}}} \right) = \det \left( {adj\left( A \right)} \right)\\
 \Rightarrow {\left( {\det A} \right)^n}\frac{1}{{\det A}} = \det \left( {adj\left( A \right)} \right)\\
 \Rightarrow {\left( {\det A} \right)^{n - 1}} = \det \left( {adj\left( A \right)} \right)
\end{array}\]


Claim: $(adj A)^{-1} = adj (A^{-1}) = \frac{1}{det A} A$
首先注意到
\[\begin{array}{l}
{A^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}}adj\left( A \right)\\
 \Rightarrow \left( {\det A} \right)I = adj\left( A \right)A
\end{array}\]由 Claim 1 可知 $adj A$ 為 nonsingular 故 $(adj (A))^{-1}$ 存在,亦即我們可改寫上式如下
\[\begin{array}{l}
{\left( {adj\left( A \right)} \right)^{ - 1}}\left( {\det A} \right)I = {\left( {adj\left( A \right)} \right)^{ - 1}}adj\left( A \right)A\\
 \Rightarrow \left( {\det A} \right){\left( {adj\left( A \right)} \right)^{ - 1}} = A\\
 \Rightarrow {\left( {adj\left( A \right)} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}}A
\end{array}\]

接著我們證明 $adj (A^{-1}) = \frac{1}{det A} A$
我們觀察
\[\begin{array}{l}
{A^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}}adj\left( A \right)\\
 \Rightarrow A = \frac{1}{{\det \left( {{A^{ - 1}}} \right)}}adj\left( {{A^{ - 1}}} \right)\\
 \Rightarrow A = \left( {\det A} \right)adj\left( {{A^{ - 1}}} \right)\\
 \Rightarrow \frac{1}{{\det A}}A = adj\left( {{A^{ - 1}}} \right)
\end{array}\]
故綜合以上所述,我們可得 $(adj A)^{-1} = adj (A^{-1}) = \frac{1}{det A} A$ $\square$

2015年10月18日 星期日

[測度論] 淺論 Ring 與 Algebra 及其性質 (0)

令 $X$ 為一集合,且 $\mathcal{P}(X)$ 表示為 $X$ 的 Power Set。

=================
Definition: 我們稱 $R \subset \mathcal{P}(X)$ 為一個 ring 若下列條件成立
1. $\emptyset \in R$
2. 若 $A,B \in R$ 則 $A\setminus B \in R$
3. 若 $A, B \in R$ 則 $A \cup B \in R$
================
以下我們看幾個 Ring 的性質:

令 $R$ 為一個 ring
=========
Property 1: 若 $A_1,...,A_n \in R$ 則 $\cup_{i=1}^n A_i \in R$
Proof:
由 $R$ 定義 (3) 可知 若 $A_1, A_2 \in R \Rightarrow A_1 \cup A_2 \in R$ ,故透過數學歸納法,假定 $A_1,...,A_n \in R \Rightarrow \cup_{i=1}^n A_i \in R$ 我們要證明
\[
A_1,...,A_n, A_{n+1} \in R \Rightarrow \cup_{i=1}^{n+1} A_i \in R
\]故 令 $B := \cup_{i=1}^n A_i $ 則
\[
\cup_{i=1}^{n+1} A_i  = B\cup A_{n+1}
\]由於 $A_{n+1} \in R$ ,利用 $R$ 的定義 (3) 可知 $B \cup A_{n+1} \in R$ 故得證。 $\square$

========
Property 2: 若 $A, B \in R $ 則 $A \cap B \in R$
Proof:
注意到 $A \cap B = A \setminus (A\setminus B)$ ,又因為 $A \in R$ 且 $A\setminus B \in R$  故利用 $R$ 的定義 (2) 可知
\[
A \setminus (A\setminus B) \in R \;\;\;\; \square
\]

=======
Property 3: 若 $A_1,...,A_n \in R$ 則 $\cap_{i=1}^n A_i \in R$
Proof:
此證明雷同於 Property 1,
首先回顧 Property 2 ,我們知道 $A_1, A_2 \in R \Rightarrow A_1 \cap A_2 \in R$ 故透過數學歸納法,假定 $A_1,...,A_n \in R \Rightarrow \cap_{i=1}^n A_i \in R$ 我們要證明
\[
A_1,...,A_n, A_{n+1} \in R \Rightarrow \cap_{i=1}^{n+1} A_i \in R
\]故 令 $B := \cap_{i=1}^n A_i $ 則
\[
\cap_{i=1}^{n+1} A_i  = B\cap A_{n+1}
\]由於 $A_{n+1} \in R$ ,利用  Property (2) 可知 $B \cap A_{n+1} \in R$ 故得證。 $\square$

Property 4: $\mathcal{P}(X)$ 為 Ring


有了 Ring 的概念,我們便可以接著引入 algebra 的概念,以下給出定義:

=================
Definition: 我們稱 $R \subset \mathcal{P}(X)$ 為一個 algebra 若下列條件成立
1. $\emptyset \in R$
2. 若 $A,B \in R$ 則 $A\setminus B \in R$
3. 若 $A, B \in R$ 則 $A \cup B \in R$
4.  $X \in R$
================

Comments: 
1. 讀者可發現 algebra 僅僅比 Ring 多了第四個條件 $X \in R$。

2. 在抽象代數中所定義的 Ring 與這邊介紹的 Ring 可以互通有無,考慮向量空間 $(R, \oplus, \odot)$ ,若任取兩集合 $A,B \in R$ 我們定義其上的 加法  為  $A \oplus B := A \Delta B := (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ 且其上的 乘法 定為 $A \odot B := A \cap B$ 則可看出其滿足 抽象代數中所要求的 Ring 的加法與乘法的封閉性,亦即 $A \oplus B \in R$ 且 $A \odot B \in R$。有興趣的讀者可驗證剩餘的性質。

3. 前述對於 Ring 與 Algebra 是用來做之後推廣到 $\sigma$-Ring 與 $\sigma$-Algebra 的準備。我們介紹如下。


=================
Definition: 我們稱 $R \subset \mathcal{P}(X)$ 為一個 $\sigma$-ring 若下列條件成立
1. $\emptyset \in R$
2. 若 $A,B \in R$ 則 $A\setminus B \in R$
3. 若 $A_1, A_2,... \in R$ 則 $\cup_{n=1}^\infty A_n \in R$
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=================
Definition: 我們稱 $R \subset \mathcal{P}(X)$ 為一個 $\sigma$-algebra 若下列條件成立
1. $\emptyset \in R$
2. 若 $A,B \in R$ 則 $A\setminus B \in R$
3. 若 $A_1, A_2,... \in R$ 則 $\cup_{n=1}^\infty A_n \in R$
4.  $X \in R$
================

Comment: 
1. 前述兩個定義所稱的 $\sigma$ 表達 可數多個 "countably many"
2. $\sigma$-algebra/ring 有多個等價定義,我們之後會再行介紹。
3. $\sigma$-algebra 必定為 $\sigma$-ring
4. 機率論中,$\sigma-$algebra 表示所有 事件 所形成的集合


接著我們考慮以下情況:通常我們不一定能得到 $\sigma$-algebra 或者 $\sigma$-ring 而是只有 $X$ 中的某些子集合 比如說 $D \subset P(X)$,那我們該如何得到  $\sigma$-algebra 或者 $\sigma$-ring?

令 $D \subset \mathcal{P}(X)$
Definition:  我們稱 Ring generated by $D$ 為如下定義 $\mathcal{R}(D) := \{\text{ intersection of all rings in $\mathcal{P}(X)$ which contains $D$}\}$

上述透過子集合產生的 Ring 可推廣到產生  $\sigma$-algebra 或者 $\sigma$-ring 。

2015年10月17日 星期六

[線性代數] 應用行列式計算三角形面積

考慮 $\mathbb{R}^2$空間 中的 頂點分別為 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 與 $(x_3,y_3)$ 的三角形 如下圖所示



則我們可以計算此三角形 $P_1P_2P_3$ 面積為

三角形$P_1P_2P_3$ 面積 = 梯形$AP_1P_2B$ 的面積  + 梯形 $BP_2P_3C$ 的面積 - 梯形 $A P_1 P_3 C$的面積

現在回憶 國/高中數學,梯形面積 $=$(上底 $+$ 下底) $\times$ 高 $/$ 2,故我們有
\[\begin{array}{l}
Area\left( {{P_1}{P_2}{P_3}} \right) = Area\left( {A{P_1}{P_2}B} \right) + Area\left( {B{P_2}{P_3}C} \right) - Area\left( {A{P_1}{P_3}C} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{2}\left( {{y_1} + {y_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{y_3} + {y_2}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right) - \frac{1}{2}\left( {{y_3} + {y_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{2}\left( {{x_1}{y_3} - {x_1}{y_2} + {x_2}{y_1} - {x_2}{y_3} + {x_3}{y_2} - {x_3}{y_1}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} =  - \frac{1}{2}\left( {\left( {{x_2}{y_3} - {x_3}{y_2}} \right) - \left( {{x_1}{y_3} - {x_3}{y_1}} \right) + \left( {{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)} \right)
\end{array}\]但上述結果事實上剛好為 對下列矩陣的行列式 (讀者可自行驗證)
 \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}&{{y_1}}&1\\
{{x_2}}&{{y_2}}&1\\
{{x_3}}&{{y_3}}&1
\end{array}} \right]\]
注意到由於行列式有正負之分,故若我們在計算面積時,需加上絕對值保證其恆為正數,故對於 $\mathbb{R}^2$ 空間三角形 $\Delta$ 面積可透過下式計算:
\[Area\left( \Delta  \right) = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}&{{y_1}}&1\\
{{x_2}}&{{y_2}}&1\\
{{x_3}}&{{y_3}}&1
\end{array}} \right]} \right)} \right|\]

Example 1:
試計算下圖中的三角形面積
Solution:
利用前述結果可得
\[\begin{array}{l}
Area\left( \Delta  \right) = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}&{{y_1}}&1\\
{{x_2}}&{{y_2}}&1\\
{{x_3}}&{{y_3}}&1
\end{array}} \right]} \right)} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&6&1\\
{ - 1}&4&1\\
3&1&1
\end{array}} \right]} \right)} \right| = \frac{{17}}{2}
\end{array}\]

Example 2:
試計算下圖四邊形面積

Solution
注意到圖中四邊形面積可視為兩個三角形面積之和,故
\[\begin{array}{l}
Area = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&6&1\\
{ - 1}&4&1\\
3&1&1
\end{array}} \right]} \right)} \right| + \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&6&1\\
6&3&1\\
3&1&1
\end{array}} \right]} \right)} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{17}}{2} + \frac{{17}}{2} = 17
\end{array}\]

2015年10月12日 星期一

[轉載] How to Study Math? -Paul R. Halmos



Don't just read it; fight it! Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary? Is the converse true? What happens in the classical special case? What about the degenerate cases? Where does the proof use the hypothesis?


--- Paul R. Halmos