2015年9月30日 星期三

[線性代數] 淺論座標

令 $V$ 為 $n$ 維向量空間,則我們知道 $V$ 有基底 (basis) $S$ 且其元素為 $n$ 維向量。現在我們定義 $S :=\{{\bf v}_1,...{\bf v}_n\}$ 為向量空間 $V$ 的一組有序基底 (ordered basis) 則任意向量 ${\bf v} \in V$ 可由上述有序基底唯一表示成以下的線性組合形式:
\[
{\bf v} = a_1 {\bf v}_1 + a_2 {\bf v}_2 + ... + a_n {\bf v}_n
\]其中 $a_1,...a_n \in \mathbb{R}^1$

Definition: Coordinate Vector
定義 ${\bf v}$ 對應於有序基底 $S$ 的座標向量 (coordinate vector) 為
\[{[{\bf{v}}]_S}: = \left[ \begin{array}{l}
{a_1}\\
{a_2}\\
 \vdots \\
{a_n}
\end{array} \right]\] 且其中 $[{\bf v}]_S$ 的元素 $a_i$ 稱之為 ${\bf v}$ 對應於有序基底的座標。

Example 1:
考慮向量空間 \[
V:= P_2 := \{p(t) = a_2t^2 + a_1t + a_0: a_2,a_1,a_0 \in \mathbb{R}^2\}
\]且令基底 $S= \{t^2, t, 1\}$ 現考慮 ${\bf v}:= p(t) = \alpha t^2 + \alpha t^1 + \alpha$ 求 $[{\bf v}]_S = ?$

Solution
注意到 ${\bf v}:= p(t) = \alpha t^2 + \alpha t^1 + \alpha$,暫稱此式為 $(*)$ 又因為 ${\bf v} \in V$ 故由 $\bf v$ 可由 $S$ 的有序基底 $\{ t^2, t,1\}$ 透過線性組合唯一表示:也就是說
\[{\bf{v}} = p\left( t \right) \in {P_2} \Leftrightarrow {\bf v} = {a_2}{t^2} + {a_1}t + {a_0} \;\;\;\;\; (\star)
\]
故比較 $(*)$ 與 $(\star)$ 兩式
\[{a_2}{t^2} + {a_1}t + {a_0} = \alpha {t^2} + \alpha t + \alpha
\] 可得 $a_2 = \alpha$, $a_1 = \alpha$ 與 $a_0 = \alpha$ 故
\[{[{\bf{v}}]_S}: = \left[ \begin{array}{l}
{a_2}\\
{a_1}\\
{a_0}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
\alpha \\
\alpha \\
\alpha
\end{array} \right]\]

Example 2:
考慮向量空間 \[
V:= P_2 := \{p(t) = a_2t^2 + a_1t + a_0: a_2,a_1,a_0 \in \mathbb{R}^2\}
\]且令基底 $S= \{t^2-t+1, t+1, 1^2+1\}$ 現考慮 ${\bf v}:= p(t) = 4 t^2 -2 t^1 + 3$ 求 $[{\bf v}]_S = ?$

Solution:
令 \[{\left[ {\bf{v}} \right]_S} = \left[ \begin{array}{l}
{a_1}\\
{a_2}\\
{a_3}
\end{array} \right]\]且 $\bf v$ 可透過基底 $S$ 做線性組合
\[\begin{array}{l}
{\bf{v}} = {a_1}{{\bf{v}}_1} + {a_2}{{\bf{v}}_2} + {a_3}{{\bf{v}}_3}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = {a_1}\left( {{t^2} - t + 1} \right) + {a_2}\left( {t + 1} \right) + {a_3}\left( {{t^2} + 1} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \left( {{a_1} + {a_3}} \right){t^2} + \left( {{a_2} - {a_1}} \right)t + \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right)\;\;\;\; (*)
\end{array}\]又因為
\[
{\bf v} = 4t^2 -2t +3 \;\;\;\; (\star)
\]故比較 $(\star)$ 與 $(*)$ 係數可得
\[\begin{gathered}
  4{t^2} - 2t + 3 = \left( {{a_1} + {a_3}} \right){t^2} + \left( {{a_2} - {a_1}} \right)t + \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) \hfill \\
   \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  {a_1} + {a_3} = 4 \hfill \\
  {a_2} - {a_1} =  - 2 \hfill \\
  {a_1} + {a_2} + {a_3} = 3 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
\end{gathered} \]
將上式改寫成矩陣求解 $a_1, a_2, a_3$如下
\[\begin{gathered}
   \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&0&1 \\
  { - 1}&1&0 \\
  1&1&1
\end{array}} \right]\left[ \begin{gathered}
  {a_1} \hfill \\
  {a_2} \hfill \\
  {a_3} \hfill \\
\end{gathered}  \right] = \left[ \begin{gathered}
  4 \hfill \\
   - 2 \hfill \\
  3 \hfill \\
\end{gathered}  \right] \hfill \\
   \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  {a_1} = 1 \hfill \\
  {a_2} =  - 1 \hfill \\
  {a_3} = 3 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
\end{gathered} \]


2015年9月27日 星期日

[自動控制] 穩態誤差與特性方程反求 轉移函數問題

考慮單位回授控制系統如下圖


現在假設
1. 閉迴路系統對 單位步階訊號 的穩態誤差為零:
2. 閉迴路轉移函數 $Y(s)/R(s)$ 的特性方程式為 $s^3 + 4s^2 + 6s +4$

試決定 $G(s)$

Solution:
首先決定誤差轉移函數 $E(s)$ 並將其以 $G(s)$ 與 $R(s)$ 表示:由於 $Y(s) = G(s)E(s)$ 且 $E(s) = R(s) - Y(s)$ 我們可推得
\[
E(s) = R(s) - Y(s) = R(s) - G(s) E(s)
\]故
\[
E(s) = \frac{R(s)}{1 + G(s)}
\]
現在令 $G(s) := \frac{n(s)}{d(s)}$ 則
\[E(s) = \frac{{R(s)}}{{1 + G(s)}} = \frac{{R(s)}}{{1 + \frac{{n\left( s \right)}}{{d\left( s \right)}}}} = \frac{{d\left( s \right)}}{{d\left( s \right) + n\left( s \right)}}R(s)
\]故由條件 2 可知
\[
d(s) + n(s) = s^3 + 4s^2 + 6s +4
\]
接著由條件1可知此閉迴路系統對 單位步階訊號 的穩態誤差為零:亦即 $\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sE(s) = 0$,故取 $R(s) = 1/s$ 為單位步階訊號,我們有
\[\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s\frac{{d\left( s \right)}}{{d\left( s \right) + n\left( s \right)}}\frac{1}{s} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} \frac{{d\left( s \right)}}{{d\left( s \right) + n\left( s \right)}} = 0\]或者
\[\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} \frac{{d\left( s \right)}}{{{s^3} + 4{s^2} + 6s + 4}} = 0
\]且注意到轉移函數必須為真分形式 亦即至少分母階數要大於或等於分子階數,故我們可取
\[
d(s) = s^3 + 4s^2 + 6s
\]作為其中一種選擇。至此我們已經決定 $d(s)$ 又因為 $d(s) + n(s) = s^3 + 4s^2 + 6s + 4$,以上例而言,$n(s) = 4$。故我們得到
\[
G(s) = \frac{n(s)}{d(s)} =  \frac{4}{s^3 + 4s^2 + 6s}
\]