[基礎數學] 數學歸納法應用例

以下我們簡介證明手段中一個重要的工具：數學歸納法 (Mathematical Induction) 以及一些 應用例子，以下我們給出定義

Theorem: (Mathematical Induction)
給定 $n, n_0 \in \mathbb{N}$ 滿足  $n \ge n_0$，則命題句  $P(n)$ 對任意 $n \ge n_0$ 為真若下列兩個條件成立：

1. $P(n_0)$ 為真
2. 對任意 $k \ge n_0$，若 $P(k)$ 為真，則 $P(k+1)$ 為真。

Comments:
1. 對於條件 1，我們稱其為 base case， 對於條件 2，我們稱其為 induction step
2. 想法：關於數學歸納法可以想成推倒骨牌的遊戲，條件一可以想像成推倒第一片骨牌，然後條件二假設如果第 $n$ 片骨牌被推倒，則 $n+1$ 片骨牌必定要倒。


以下我們看幾個例子：

================
Claim: 對任意 $p > -1$ 與 $n \in \mathbb{N}$，下列結果恆成立：
\[
(1+p)^n \ge 1+np
\]===============
Proof:
利用歸納法證明，先使用 $(*)$
考慮 $n=1$ 與 $p = 0$，該結果可簡化為
\[
1 \ge 1
\]故可馬上得知 $n=1$ 時候上述命題成立。接著我們使用 $(**)$，故現在假設
\[
(1+p)^n \ge 1+np
\]我們要證明
\[
(1+p)^{n+1} \ge 1+(n+1)p
\]
觀察
\[
(1+p)^{n+1} = (1+p)^n (1+p) \ge (1+np) (1+p) = 1+n p + p + n p^2
\]
注意到 $np^2 \ge 0$ 故我們有
\[
(1+p)^{n+1} \ge 1 + (n + 1)p\;\;\;\;\;\; \square
\]

Claim: 令
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&b\\
0&1
\end{array}} \right]\]試證明
\[{A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{nb}\\
0&1
\end{array}} \right]\]
Proof: 首先觀察 $n=1$，原式成立
\[{A^1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&b\\
0&1
\end{array}} \right]\]現在利用歸納法，假設
\[{A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{nb}\\
0&1
\end{array}} \right]\]我們要證明 $n+1$ 成立，亦即我們要證明
\[{A^{n + 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{\left( {n + 1} \right)b}\\
0&1
\end{array}} \right]\]現在觀察上式左方，
\[\begin{array}{l}
{A^{n + 1}} = {A^n}A\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{nb}\\
0&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&b\\
0&1
\end{array}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{b + nb}\\
0&1
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{\left( {1 + n} \right)b}\\
0&1
\end{array}} \right]
\end{array}\]即為所求。$\square$


讀者不妨練習幾題：
Exercise 1: Show that $1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$ for all $n \in \mathbb{N}$
Exercise 2: Show that $n < 2^n$ for all $n \in \mathbb{N}$
Exercise 3: Show that $2^n<n!$ for all $n\geq 4$

Claim: 最小整數原理：
對任意非空集合 $S \neq \emptyset$ 且 $S \subset \mathbb{N}$，則 $S$ 必有最小元素
Proof:
給定任意非空集合 $S := \{n: n \in \mathbb{N}\} $， 首先觀察若 $n=1$，我們有 $S = \{1\}$，且有最小值 $1$ 為其最小元素。

現在用歸納法，假設非空集合 $S_n = \{i: i \le n, i \in \mathbb{N}\} $有最小元素。我們證明 $S_{n+1} := \{i: i \le n+1, i \in \mathbb{N} \}$ 有最小元素。

注意到
$S_{n+1} = S_n \cup \{i: i= n+1\}$ 又因為 $S_n$ 有最小元素，故 $S_{n+1}$ 亦存在最小元素。$\square$

Comment:
上述最小整數原理不適用於任意實數 或者 有理數，舉例而言，若觀察 $E :=\{1, 1/2, 1/3, 1/4, ...\}$ 則此集合不存在最小元素。因為若  $x \in E$ 為最小值 則 必存在 $y \in E$ 使得 $y \leq x$，此時 $y$ 成為新的最小值。