2015年7月29日 星期三

[矩陣分析] 擬反矩陣(Pseudo Inverse Matrix)

回憶反矩陣(Inverse Matrix) 定義:
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Definition: Inverse Matrix
給定矩陣 $A,B \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ($A,B$皆為 方陣) ,若 $A B = BA = I_n$ 則我們稱 $B $ 為 矩陣 $A$ 的 反矩陣 (Inverse Matrix),一般而言我們將 $A$ 矩陣的 反矩陣記作 $A^{-1}$。
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其中 $I_n$ 表示 $n \times n$ 單位矩陣,也就是說
\[{I_n}: = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0& \cdots &0\\
0&1&{}& \vdots \\
 \vdots &{}& \ddots &0\\
0& \cdots &0&1
\end{array}} \right]_{n \times n}}
\]
Comments: 
1. 若 $A^{-1}$ 存在 (亦即若 $\det (A) \neq 0$),則 $A$ 矩陣稱為非奇異矩陣 (nonsingular matrix),反之若 $\det(A) = 0$ 則我們稱 $A$ 矩陣為奇異矩陣 (singular matrix)。

2. 讀者應注意到前述 反矩陣 僅在定義滿足的時候成立 (最直接的檢驗法即為檢驗 $\det (A)$ 是否不等於 $0$),但是若定義不滿足的情況該怎麼辦?比如說,$A$ 矩陣為奇異矩陣,此時不存在反矩陣,或者說 $A$矩陣不為方陣,則該如何"求得"其反矩陣?或者若無法求得反矩陣,可否近似反矩陣?為了克服此問題我們引入擬返矩陣 (Pseudo Inverse Matrix) 並使之能夠進一步推廣原本反矩陣的定義,以下給出擬反矩陣定義

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Definition: (Pseudo Inverse Matrix)
任意矩陣 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$,存在唯一的 擬反矩陣(Pseudo Inverse Matrix) 記作 $A^{\dagger}$ 且此 $A^{\dagger}$ 滿足 下列四個條件
\[\begin{array}{l}
1. \; A{A^\dagger }A = A\\
2. \; {A^\dagger }A{A^\dagger } = {A^\dagger }\\
3. \; {(A{A^\dagger })^T} = A{A^\dagger }\\
4. \; {({A^\dagger }A)^T} = {A^\dagger }A
\end{array}\]========================


Comments: 
1. 上述 Pseudo inverse matrix $A^\dagger$ 亦有等價定義如下
\[
A^\dagger := (A^T A)^{-1}A^T
\]其中 $A^T A$ 必須為 nonsingular,讀者可自行檢驗此等價定義滿足前述標準定義的四個條件。

2. 一般而言,擬反矩陣 又稱 廣義反矩陣 (Generalized Inverse Matrix)

3. Pseudo inverse 對任意矩陣皆存在。

4. 上述的 Pseudo Inverse 來自 最小二次平方問題,我們簡述如下:

考慮求解下列線性方程
\[
Ax = b
\]其中 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 且 $b \in \mathbb{R}^{m \times 1}$ 且 $m > n$ 。注意到此時 $A$ 矩陣並非方陣,故不存在反矩陣:所以不能直接用 $x = A^{-1}b$ !!

那麼是否有找出 “近似反矩陣” 的方法來幫助我們求解上述問題? 亦即若欲求一解 $x^*$ 使得下列二次平方成本函數最小
\[
J(x) = \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b)
\]
利用一階必要條件 $ \frac{\partial J}{\partial x} = 0$ 可得
\[
\frac{\partial J}{\partial x} = - A^T b + A^TA x = 0
\]由上式可推得 $ A^T b = A^T A x $,若 $A^T A$ 為非奇異矩陣,則我們可求解 $x$ 並令 $x^* := x$ 可得
\[
x^* = (A^T A)^{-1}A^Tb = A^\dagger b
\]上述的 $x^*$ 可使我們的目標成本函數 $J$ 最小。

2015年7月12日 星期日

[基礎數學] 數學歸納法應用例

以下我們簡介證明手段中一個重要的工具:數學歸納法 (Mathematical Induction) 以及一些 應用例子,以下我們給出定義

Theorem: (Mathematical Induction)
給定 $n, n_0 \in \mathbb{N}$ 滿足  $n \ge n_0$,則命題句  $P(n)$ 對任意 $n \ge n_0$ 為真若下列兩個條件成立:

  1. $P(n_0)$ 為真
  2. 對任意 $k \ge n_0$,若 $P(k)$ 為真,則 $P(k+1)$ 為真。


Comments:
1. 對於條件 1,我們稱其為 base case, 對於條件 2,我們稱其為 induction step
2. 想法:關於數學歸納法可以想成推倒骨牌的遊戲,條件一可以想像成推倒第一片骨牌,然後條件二假設如果第 $n$ 片骨牌被推倒,則 $n+1$ 片骨牌必定要倒。


以下我們看幾個例子:

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Claim: 對任意 $p > -1$ 與 $n \in \mathbb{N}$,下列結果恆成立:
\[
(1+p)^n \ge 1+np
\]===============
Proof:
利用歸納法證明,先使用 $(*)$
考慮 $n=1$ 與 $p = 0$,該結果可簡化為
\[
1 \ge 1
\]故可馬上得知 $n=1$ 時候上述命題成立。接著我們使用 $(**)$,故現在假設
\[
(1+p)^n \ge 1+np
\]我們要證明
\[
(1+p)^{n+1} \ge 1+(n+1)p
\]
觀察
\[
(1+p)^{n+1} = (1+p)^n (1+p) \ge (1+np) (1+p) = 1+n p + p + n p^2
\]
注意到 $np^2 \ge 0$ 故我們有
\[
(1+p)^{n+1} \ge 1 + (n + 1)p\;\;\;\;\;\; \square
\]

Claim:
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&b\\
0&1
\end{array}} \right]\]試證明
\[{A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{nb}\\
0&1
\end{array}} \right]\]
Proof: 首先觀察 $n=1$,原式成立
\[{A^1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&b\\
0&1
\end{array}} \right]\]現在利用歸納法,假設
\[{A^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{nb}\\
0&1
\end{array}} \right]\]我們要證明 $n+1$ 成立,亦即我們要證明
\[{A^{n + 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{\left( {n + 1} \right)b}\\
0&1
\end{array}} \right]\]現在觀察上式左方,
\[\begin{array}{l}
{A^{n + 1}} = {A^n}A\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{nb}\\
0&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&b\\
0&1
\end{array}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{b + nb}\\
0&1
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{\left( {1 + n} \right)b}\\
0&1
\end{array}} \right]
\end{array}\]即為所求。$\square$


Claim: 最小整數原理:
對任意非空集合 $S \neq \emptyset$ 且 $S \subset \mathbb{N}$,則 $S$ 必有最小元素
Proof:
給定任意非空集合 $S := \{n: n \in \mathbb{N}\} $, 首先觀察若 $n=1$,我們有 $S = \{1\}$,且有最小值 $1$ 為其最小元素。

現在用歸納法,假設非空集合 $S_n = \{i: i \le n, i \in \mathbb{N}\} $有最小元素。我們證明 $S_{n+1} := \{i: i \le n+1, i \in \mathbb{N} \}$ 有最小元素。

注意到
$S_{n+1} = S_n \cup \{i: i= n+1\}$ 又因為 $S_n$ 有最小元素,故 $S_{n+1}$ 亦存在最小元素。$\square$

Comment:
上述最小整數原理不適用於任意實數 或者 有理數,舉例而言,若觀察 $E :=\{1, 1/2, 1/3, 1/4, ...\}$ 則此集合不存在最小元素。因為若  $x \in E$ 為最小值 則 必存在 $y \in E$ 使得 $y \leq x$,此時 $y$ 成為新的最小值。