跳到主要內容

[凸分析] 淺談 Logconcavity

凸分析 (Convex Analysis) 可以說是 最佳化問題中最重要的數學分析工具之一,其本質在於若能識別一個 (最小化)最佳化問題使其形成凸最佳問題;亦即 成本函數 為 convex 且其 拘束集合 為 convex set,則該問題的 局部最佳解(local optimum) 等同 全域最佳解(globally optimum)。

但是若該我們所具有的成本函數本質不凸 (nonconvex) 的時候,是否可找出其他方式來進行分析 ? 以下介紹的 logconcavity 便為其中一種方式

===================
Definition: Logarithmically Concave Function
函數 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 為 log-concave 若下列條件成立:
1. 對任意 $x \in dom\{f\}$,$f(x) >0$
2. $\log f$ 為 concave。
===================

Comments:
a. 上述定義亦可用於 convex function 若 條件 2 改為 $\log f$ 為 convex。
b. 一般而言,我們可進一步放寬條件 1. 使其允許 $f =0 $ 且 定義 $\log f(x) = -\infty$ 。我們稱此 $f$ 為 log-concave 若其 擴展值域函數 (extended-value function) $\log f$ 為 concave。
c. log-concave 函數有另外一種等價定義:亦即,給定 $x,y \in \mathbb{R}^n$ 且 $\lambda \in [0,1]$ 下列不等式滿足
\[
f(\lambda x +(1 - \lambda)y ) \ge f(x)^\lambda f(y)^{1-\lambda}
\]
在此不贅述有興趣讀者可參閱 [1]。


由上述 logconcave 與 logconvex 函數的 定義我們可立即得到以下結果:
==================
FACT:
$f$ 為 log-convex 若且為若 $1/f$ 為 log-concave 。
==================
Proof:
$(\Rightarrow)$ 假設 $f$ 為 log-convex ,要證明 $1/f$ 為 log-concave。亦即要證明
1. 對任意 $x \in dom\{1/f\}$,$1/f(x) >0$
2. $\log (1/f)$ 為 concave。

對於條件 1.,由於 $f >0$ 故 $1/f >0$。

接著我們證明條件 2. ,首先觀察
\[
 \log (1/f) = \log 1 - \log f = - \log f
\]又因為  $f$ 為 log-convex,可由定義可知 $\log f$ 為 convex ,故 $-\log f$ 為 concave。$\square$

讀者可嘗試證明以下 logconcave/logconvex 函數的例子

Example
1. $f(x) = a^T x + b$ 為 log-concave on $\{x: a^Tx+b>0\}$
2. $f(x) = x^a$ on $x >0 , a \ge 0$為 log-concave ;若 $a \le 0$ 則 $f(x) = x^a$ 為 log-convex
3. $f(x) = e^{ax}$ 為 log-convex 與 log-concave
4. 常態分布累計密度函數為 log-concave
\[
\Phi(x) := \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x e^{-u^2/2}du
\]

以下我們簡介幾個重要的 logconcave 函數的性質:

===========================
Property 1: 若 $f$ 與 $g$ 為 log-concave,則 $h:=f g$ 為 log-concave。
===========================
Proof:
令 $f$ 與 $g$ 為 log-concave ,我們知道 $f,g >0$。故$h=fg >0$。接著觀察
\[
\log(h) = \log(fg) = \log f + \log g
\] 且 $ \log f , \log g$ 為 concave (因為  $f$ 與 $g$ 為 log-concave);最後注意到 函數加法運算 可維持 concavity;亦即 $\log f + \log g$ 為 concave;故 $h:=f g$ 為 log-concave。$\square$



===========================
Property 2: (Prekopa's Lemma)
若 $f : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ 為 log-concave,則
\[
g(x) = \int_{\mathbb{R}^m} f(x,y) dy
\]為 log-concave of $x \in \mathbb{R}^n$
===========================
Proof: 證明繁雜,請參閱 [2]。




接著我們介紹一個重要結果:回憶 凸分析中,我們知道 期望值運算可以維持 concavity (or convexity),故我們想問是否 期望值運算 也能保證維持 log-concavity 呢? 答案是否定的。 以下我們看個例子。

===========================
Property 3: Expectation Does NOT preserve the log-concavity.
期望值運算 不保證維持 log-concavity
===========================
反例:
考慮 $Y$ 為隨機變數 滿足 $P(Y=0)=P(Y=1)=1/2$。現在定義
\[
g(x,Y)=e^{Yx}
\]則 $g(x,Y)$ 為 log concave in $x$ 因為 $\log g(x,Y) = Yx$ 為線性 (in x) 函數。故若我們計算其期望值可得
\[
E[g(x,Y)] = \frac{1 + e^x}{2}
\]故
 \[
\log E[g(x,Y)] = \log(1/2) + \log(1 + e^x)
\]此函數不再是 log-concave。(如下圖)


參考文獻
[1] S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge, 2004
[2] A. Prekopa, "On Logarithmic Concave Measures and Functions". Acta Scientiarum (Szeged), vol. 34 pp. 335-343, 1973

留言

這個網誌中的熱門文章

[數學分析] 什麼是若且唯若 "if and only if"

數學上的 if and only if  ( 此文不討論邏輯學中的 if and only if,只討論數學上的 if and only if。) 中文翻譯叫做  若且唯若 (or 當且僅當) , 記得當初剛接觸這個詞彙的時候,我是完全不明白到底是甚麼意思,查了翻譯也是愛莫能助,畢竟有翻跟沒翻一樣,都是有看沒有懂。 在數學上如果看到 if and only if  這類的句子,其實是表示一種 雙條件句 ,通常可以直接將其視為" 定義(Definition)" 待之,今天要分享的是這樣的一個句子如何用比較直觀的方法去看他 假設我們現在有 兩個邏輯陳述句 A 與  B. 注意到,在此我們不必考慮這兩個陳述句到底是什麼,想表達什麼,或者到底是否為真(true),這些都不重要。只要知道是兩個陳述即可。 現在,考慮新的陳述:  "A if and only if B" 好了,現在主角登場,我們可以怎麼看待這個句子呢? 事實上我們可以很直覺的把這句子拆成兩部分看待,也就是 "( A if B ) and ( A only if B )" 那麼先針對第一個部分  A if B  來看, 其實這句就是說  if B then A, 更直白一點就是 "if B is true, then A is also true".  在數學上等價可以寫為 "B implies A" .  或者更常用一個箭頭符號來表示 "B $\Rightarrow$  A"  現在針對第二個部分  A only if B 此句意指  "If B is not true, then A is also not true". 所以如果已知 A is true,  那麼按照上句不難推得 B is also true 也就是說  A only if B  等價為 "If A is true then B is also true". 同樣,也可以寫作   "A implies B"   或者用箭頭表示  "A   $\Rightarrow$     B".

[數學分析] 淺談各種基本範數 (Norm)

這次要介紹的是數學上一個重要的概念: Norm: 一般翻譯成 範數 (在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 Norm 想成長度就好 (事實上norm是長度的抽象推廣), 也許讀者會認為好端端的長度不用,為何又要發明一個 norm 來自討苦吃?? 既抽象又艱澀。 事實上想法是這樣的: 比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "! 但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說 \[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T \]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$??? 再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣 \[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right] \],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。 也正是如此,可以發現我們確實需要新的 "長度" 的定義來幫助我們如何去 measure 矩陣/向量/甚至是函數的大小。 故此,我們首先定義甚麼是Norm,(也就是把 "長度" or "大小" 的本質抽離出來) ================== Definition: Norm 考慮 $V$ 為一個向量空間(Vector space),則我們說  Norm 為一個函數 $||\cdot|| : V \rightarrow \mathbb{R}$ 且滿足下列性質