2015年3月28日 星期六

[系統理論] Picard Iteration

考慮狀態空間
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = f\left( {t,{\bf{x}}\left( t \right)} \right),{\bf{x}}\left( 0 \right) = {{\bf{x}}^0}\]則 Picard Iteration 給定
1. Initial guess
\[
x(t) = x^0
\]2.. Update Step
\[{{\bf{x}}^{k + 1}}\left( t \right) = {{\bf{x}}^0} + \int_0^t {f\left( {\tau ,{{\bf{x}}^k}\left( \tau  \right)} \right)d\tau } \]
注意到上述迭代式為 sequence of $\{{\bf x}^k\}$


Example 1:
考慮下列非線性系統
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = \left[ \begin{array}{l}
{{\dot x}_1}\\
{{\dot x}_2}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
\cos {x_1}\\
t{x_1} + {e^{ - t}}{x_2}
\end{array} \right]
\]且 $x_1(0) = 2$ 與 $x_2(0) = -1$。
試透過 Picard iteration 求取 ${\bf x }^1(t)$

Solution:
\[\begin{array}{l}
{{\bf{x}}^{k + 1}}\left( t \right) = {{\bf{x}}^0} + \int_0^t {f\left( {\tau ,{{\bf{x}}^k}\left( \tau  \right)} \right)d\tau } \\
{{\bf{x}}^1}(t) = {{\bf{x}}^0}(t) + \int_0^t {\left[ \begin{array}{l}
\cos {x_1}\left( \tau  \right)\\
\tau {x_1} + {e^{ - \tau }}{x_2}\left( \tau  \right)
\end{array} \right]} d\tau \\
 \Rightarrow {{\bf{x}}^1}(t) = \left[ \begin{array}{l}
2\\
 - 1
\end{array} \right] + \int_0^t {\left[ \begin{array}{l}
\cos 2\\
\tau 2 + {e^{ - \tau }}\left( { - 1} \right)
\end{array} \right]} d\tau \\
 \Rightarrow {{\bf{x}}^1}(t) = \left[ \begin{array}{l}
2\\
 - 1
\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}
t\cos 2\\
{t^2} + \left( {{e^{ - t}} - 1} \right)
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
2 + t\cos 2\\
{t^2} + {e^{ - t}} - 2
\end{array} \right]

\end{array}\]

Exercise: 讀者可自行嘗試透過 Picard Iteration 求解 $x^2(t)$ 與 $x^3(t)$


Example 2: Saturation 
考慮非線性系統 $\dot{x} = f(x)$ 且 $x(0) =1$ 其中
\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}x > 2\\
\frac{1}{2}x,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left| x \right| \le 2\\
 - 1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}x <  - 2
\end{array} \right.\]試透過 Picard iteration 求取 $ x^1(t)$ 與 $x^2(t)$
Solution:
首先計算 $x^1(t)$:
\[\begin{array}{l}
{x^1}\left( t \right) = {x^0}\left( t \right) + \int_0^t {f\left( {{x^0}\left( \tau  \right)} \right)d\tau } \\
 \Rightarrow {x^1}\left( t \right) = 1 + \int_0^t {f\left( 1 \right)d\tau } \\
 \Rightarrow {x^1}\left( t \right) = 1 + \frac{1}{2}t
\end{array}\]
接著我們計算 $x^2(t)$:
\[\begin{array}{l}
{x^2}\left( t \right) = {x^0}\left( t \right) + \int_0^t {f\left( {{x^1}\left( \tau  \right)} \right)d\tau } \\
 \Rightarrow {x^2}\left( t \right) = 1 + \left\{ \begin{array}{l}
\int_0^t {\frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{2}\tau } \right)d\tau ,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}0 \le t \le 2} \\
\frac{1}{2}\int_0^t {1d\tau } ,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t > 2
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow {x^2}\left( t \right) = 1 + \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left( {t + \frac{1}{4}{t^2}} \right),\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}0 \le t \le 2\\
\frac{1}{2}t,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t > 2
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow {x^2}\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1 + \frac{t}{2} + \frac{1}{8}{t^2},\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}0 \le t \le 2\\
1 + \frac{t}{2},\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t > 2
\end{array} \right.
\end{array}\]

2015年3月21日 星期六

[推廣] 國小/國中 的線上遊戲學習平台 PaGameO

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答題介面(以國小自然科為例)


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PaGameO 官方網站 BoniO

2015年3月14日 星期六

[系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (1) - Lyapunov Stability Theory

延續前篇 [系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (0) - 先備概念,我們現在可以開始介紹 Lyapunov Stability Theory。

Definition: Lyapunov Function
一個函數 $V: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ 被稱作為 Lyapunov function for system $x^+ = f(x)$ 與 集合 $\mathcal{A}$ 若下列條件成立:
存在函數 $\alpha_1(\cdot), \alpha_2(\cdot),  \alpha_3(\cdot) \in \mathcal{K}_\infty$ 使得對任意 $x \in \mathbb{R}^n$,
  1. $V(x) \ge \alpha_1(|x|_\mathcal{A})$
  2. $V(x) \le \alpha_2(|x|_\mathcal{A})$
  3. $V(f(x)) - V(x) \le -\alpha_3(|x|_\mathcal{A})$

給定 $\mathcal{A}$ 為 closed positive invariant for $x^+ = f(x)$ 且 $\mathcal{A} \subset X$ 我們說函數  $V(\cdot)$ 為 Lyapunov function in $X$ for system $x^+ = f(x)$ 與 集合 $\mathcal{A}$ 若下列條件成立:
對任意 $x \in X$,$V(\cdot)$ 滿足上述三條不等式。

上述 Lyapunov function 與 globally asymptotically stable 息息相關,事實上此Lyapunov function 的存在性為 globally asymptotically stable 的充分條件。我們將此記做下方結果

===================
Theorem 1: Existence of Lyapunov Function Implies Globally Asymptotically Stability
假設 $V(\cdot)$ 為 Lyapuonv function for $x^+ = f(x)$ 與 $\mathcal{A}$,則 $\mathcal{A}$ 為 globally asymptotically stable。
===================

Proof:
我們要證 $\mathcal{A}$ 為 globally asymptotically stable。故須證明
1. $\mathcal{A}$ 為 locally stable。
2. $\mathcal{A}$ 為 globally attractive。

先證 $\mathcal{A}$ 為 locally stable:給定 $\varepsilon >0$ 我們要找出 $\delta >0$ 使得對任意 $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ $|x|_\mathcal{A}< \delta \Rightarrow |\phi(i;x)|_\mathcal{A} <\varepsilon $

由於 $V$ 為 Lyapunov function 故由其定義可繪製下圖幫助我們選擇 $\delta$


令 $\delta : = \alpha _2^{ - 1}\left( {{\alpha _1}\left( \varepsilon  \right)} \right)$;現在給定 $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, 我們要證明 $ |x|_\mathcal{A}< \delta \Rightarrow |\phi(i;x)|_\mathcal{A} <\varepsilon $ ;故假設 $|x|_\mathcal{A}< \delta$ 則結合前述 $\delta$ 定義 我們有
\[{\left| x \right|_{{\cal A}}} < \delta  = \alpha _2^{ - 1}\left( {{\alpha _1}\left( \varepsilon  \right)} \right)\]故
\[\Rightarrow \alpha _2^{}\left( {{{\left| x \right|}_{{\cal A}}}} \right) < {\alpha _1}\left( \varepsilon  \right)\]由Lyapunov function 定義第2條不等式可知
\[V(x) \le {\alpha _2}(|x{|_{{\cal A}}}) \Rightarrow V(x) \le {\alpha _1}\left( \varepsilon  \right) \ \ \ \ (*)
\]現在觀察 Lyapunov function 定義第3條不等式,並且令 $\phi(i,x)$ 為 $x^+ = f(x)$ 之解,且注意到 $\alpha_i(\cdot)$ 其中 $i=1,2,3$ 皆為 $\mathcal{K}_\infty$ 函數,故我們可寫下
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{V(f(x)) - V(x) \le  - {\alpha _3}\left( {|x|} \right)}\\
{ \Rightarrow V(f(x)) \le V(x)}\\
{ \Rightarrow V(f(x)) \le V(x) \le {\alpha _1}\left( \varepsilon  \right)\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array}by\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left( * \right).}\\
{ \Rightarrow V(\phi \left( {i;x} \right)) \le {\alpha _1}\left( \varepsilon  \right)}\\
{ \Rightarrow {\alpha _1}(|\phi \left( {i;x} \right){|_A}) \le V(\phi \left( {i;x} \right)) \le {\alpha _1}\left( \varepsilon  \right)\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array}by\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}1.}\\
{ \Rightarrow |\phi \left( {i;x} \right){|_A} \le \varepsilon }
\end{array}\]至此我們得到 $|x|_\mathcal{A}< \delta \Rightarrow |\phi(i;x)|_\mathcal{A} <\varepsilon $ 即為所求。

接著我們證明 global attractivity:故給定任意 $x \in X$, 要證明 $|\phi(i;x)|_\mathcal{A} \to 0 \text{ as $i \to \infty$}$。基本想法為比較不同時間點 $\phi$。 現在給定 $\phi(i;x)$ 為 $x^+ = f(x)$ 之解,由  Lyapunov function 定義第3條不等式可知
\[\begin{array}{l}
V(f(x)) - V(x) \le  - {\alpha _3}\left( {\left| x \right|} \right)\\
 \Rightarrow V(\phi \left( {i + 1;x} \right)) - V(\phi \left( {i;x} \right)) \le  - {\alpha _3}\left( {\left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right|} \right)
\end{array}\]令 $V_{i+1}:= V(\phi \left( {i + 1;x} \right))$ 且 $V_i := V(\phi \left( {i;x} \right))$ 則由上式可推知 對任意 $x$ 而言, 數列 $\{V\}_i$ 為非遞增數列 且 有下界為 $0$,故可知 $V_i$ 收斂亦即
\[{V_{i + 1}} - {V_i} \le  - {\alpha _3}\left( {\left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right|} \right) \to 0\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}as\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}i \to \infty \]故${\alpha _3}\left( {\left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right|} \right) \to 0$ 又由於 $\alpha_3 \in \mathcal{K}_\infty$,故
\[\begin{array}{l}
\left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right| = \alpha _3^{ - 1}\underbrace {\left( {{\alpha _3}\left( {\left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right|} \right)} \right)}_{ \to 0}\\
 \Rightarrow \left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right| = \alpha _3^{ - 1}\left( {{\alpha _3}\left( {\left| {\phi \left( {i;x} \right)} \right|} \right)} \right) \to 0\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array}since\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\alpha _3^{ - 1} \in {\mathcal{K}_\infty }
\end{array}\]至此證畢。 $\square$

上述定理告訴我們 asymptotically stable 的充分條件,但對於 必要條件 並無著墨。所幸透過適度的增強假設,我們仍可得到 asymptotically stable 必要條件,在此紀錄如下:

=============
Theorem 2: Converse Theorem for Asymptotic Stability
令 $\mathcal{A}$ 為 compact 且 $f(\cdot)$ 為連續函數。假設 $\mathcal{A}$ 為 globally asymptotic stable for the system $x^+ = f(x)$ 則 存在 平滑 (smooth) Lyapunov function for system $x^+ = f(x)$ 與 集合 $\mathcal{A}$。
=============
Proof: omitted

故我們將 Theorem 1 Theorem 2 整合可得如下充分必要條件:

=============
Theorem 3 
若 $\mathcal{A}$ 為 compact 且 $f(\cdot)$ 為連續函數。則集合  $\mathcal{A}$ 為 globally asymptotic stable for the system $x^+ = f(x)$ 若且唯若  存在 平滑 (smooth) Lyapunov function for system $x^+ = f(x)$ 與 集合 $\mathcal{A}$。
=============

[系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (0) - 先備概念

穩定度理論可追朔至 Aleksandr Lyapunov在 1892 出版的 The General Problem of Stability of Motion 提出,主要是透過建構 Lyapunov 函數 來判別動態系統是否穩定。以下討論我們將以 離散時間 非線性動態系統為主。

現在考慮以下 離散時間 非線性動態系統
\[
x^+ = f(x,u)
\]其中 $x \in \mathbb{R}^n$ 為當前系統狀態 且  $u \in \mathbb{R}^m$ 為當前的控制力;$x^+$ 為下個時刻的系統狀態。且假設 $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ 為連續函數。

定義 $\phi(k; x, {\bf u}) $為在時刻 $k$,對於動態系統 $x^+ = f(x,u)$ 的解 (初始值為 $x(0)=x$ ; 控制力序列 $\bf u$ $:=\{u(0), u(1), ...\}$)

若 控制律 $u := \kappa (x)$ 決定,則系統閉迴路可表為
\[
x^+ = f(x,\kappa(x)):=f_c(x)
\]注意到 $\kappa(\cdot)$ 不一定為連續函數,此時對應的 $f(x, \kappa(\cdot))$ 亦不一定為連續。對此不連續的情況我們額外假設 $f_c(\cdot)$ 為 局部有界(locally bounded)。

目標:我們希望 控制系統 要"穩定"。

在此所謂的穩定 意指 控制系統對於 初始狀態 的小擾動 不會 導致 閉迴路系統響應 大幅度擾動 且 系統狀態能夠收斂到指定的狀態 或者 收斂到指定的 狀態集合 (此情況多半發生在有外部干擾的時候)。


以下我們會針對定義 系統的 穩定度 與 漸進穩定度;在介紹之前我們需要先定義一些名詞:首先是 如何指出系統狀態的收斂

============
Definition: Equilibrium Point or Steady-State
狀態 $x^*$ 被稱作 $x^+ = f(x)$ 的 平衡點(equilibrium point) 若 $$x(0) = x^* \Rightarrow x(k) = \phi(k;x^*) = x^*, \;\; \forall k \ge 0$$
============

Comment:
1. 上述定義表示 $x^*$ 為 平衡點 若其滿足 $x^* = f(x^*)$
2. equilibrium point 為 被隔離的(isolated) 若在 $x^*$ 附近沒有其他的平衡點。
3. 非線性系統可能有多個 被隔離的平衡點


Example: Equilibrium Point of Linear System
考慮離散時間線性系統
\[
x^+  = Ax +b
\]具有平衡點 $x^*$ 則
\[\begin{array}{l}
{x^ + } = Ax + b\
 \Rightarrow {x^*} = A{x^*} + b\\
 \Rightarrow \left( {I - A} \right){x^*} = b
\end{array}\]若 $I-A$ 反矩陣存在,則我們說 此線性系統有 unique (isolated) 平衡點
\[{x^*} = {\left( {I - A} \right)^{ - 1}}b\]若 $I-A$ 反矩陣不存在,則我們說此線性系統有 連續統 (continuum) $\{x: (I-A) x=b\}$ 的平衡點。


若我們考慮 震盪系統 的穩定度,則此時不再是討論 是否收斂到某個狀態 (平衡點);而是討論收斂到某個集合。以下我們給出此類集合所需的定義:

=============
Definition: Positive Invariant Set
一個集合 $\mathcal{A}$ 稱作 positive invariant for system $x^+ = f(x)$ 若下列條件成立:
\[
x \in A \Rightarrow f(x) \in \mathcal{A}
\]=============
Comment:
1. Positive 來自於 $x^+ = f(x)$ 為動態系統隨時間 $k$ "增加" 而持續變動。
2. 考慮 closed set $\mathcal{A}:=\{x^*\}$ 且 $x^*$ 為系統 $x^+ = f(x)$ 的平衡點,則
\[
x \in \mathcal{A}\;\; (\text{since} \;x^* \in \mathcal{A}) \Rightarrow f(x) \in \mathcal{A} \;\;(\text{since} \;f(x) = x^*)
\]

=============
Definition: K, K infinity, KL function
一個函數 $g: \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ 為 $\mathcal{K}$ 類函數若下列條件滿足:
  1. $g$ 為連續
  2. $g(0) = 0$
  3. 嚴格遞增(strictly increasing);亦即 $\forall x,y$,$y > x \Rightarrow g(y) > g(x)$

我們說 一個函數 $g: \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ 為 $\mathcal{K}_\infty$ 類函數若下列條件滿足:
  1. $g$ 為 $\mathcal{K}$ 類函數
  2. 當 $t \to \infty$,$g(t) \to \infty$
我們說一個函數 $h: \mathbb{R}_{\ge 0} \times \mathbb{Z}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ 為 $\mathcal{KL}$ 類函數若下列條件滿足:
  1. 對任意 $t \ge 0$,$h(\cdot, t)$ 為 $\mathcal{K}$ 類函數
  2. 對任意 $s \ge 0$,$h(s, \cdot)$ 為非遞增(nonincreasing) 且 滿足 $\lim_{t\to \infty} h(s,t) =0$
=============
Example
1. $g(x) := x$  為 $\mathcal{K}$類函數 (亦為 $\mathcal{K}_\infty $ 函數)
2. $erf(x)$ 為  $\mathcal{K}$類函數


以下我們將前述 $\mathcal{K}$類函數的重要性質:

=============
FACT 1: Inverse K function is a K function
若 $\alpha_1(\cdot), \alpha_2(\cdot)$ 為 $\mathcal{K}$ 類函數 (或者 $\mathcal{K}_\infty$ 函數),則其反函數 $\alpha_1^{-1}(\cdot), \alpha_1^{-1}(\cdot)$ 亦仍為 $\mathcal{K}$ 類函數 (或者 $\mathcal{K}_\infty$ 函數)
=============
Proof: omitted

=============
FACT 2: 
若 $\alpha_1(\cdot)$ 與 $\alpha_2(\cdot)$ 為  $\mathcal{K}$ 類函數 且 $\beta(\cdot)$ 為 $\mathcal{KL}$ 函數,則 $\sigma (r,s): = {\alpha _1}(\beta \left( {{\alpha _2}\left( r \right)} \right),s)$ 為 $\mathcal{KL}$函數。
=============
Proof: omitted


有了以上定義我們可以開始引入 穩定度 的嚴格定義。以下我們考慮 $x^+ = f(x)$ 且假設 $f(\cdot)$ 為 局部有界(locally bounded) 且集合 $A$ 為 closed 與 positive invariant 。

==================
Definition: Local Stability (Stability in Lyapunov Sense)
給定 closed positive invariant 集合 $\mathcal{A}$ 。我們稱 此集合 $\mathcal{A}$ 為 locally stable for $x^+ = f(x)$ 若下列條件成立:
對任意 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta >0$ 使得對任意 $i \in Z_{\ge 0}$, $|x|_\mathcal{A} < \delta \Rightarrow |\phi(i; x)|_\mathcal{A} < \varepsilon$
其中 $|x|_\mathcal{A} := \inf_{z \in \mathcal{A}} |x - z|$ 
==================

Example:
考慮 $A:= \{0\}$ 則 Local Stability 可由下圖得知

上圖顯示了若給定任意初始位置 $x$ 且此 $x$ 與原點 $A:=\{0\}$ 距離落在 開球 $B_{\delta}$ 之中,且若系統 $x^+ = f(x)$ 隨時間變化演進,其解 $\phi(i,x)$ 到原點距離 $A=\{0\}$ 持續落在另一開球 $B_\varepsilon$之中,故此系統稱為 Local stable。

======================
Definition: Global Attraction
給定 closed positive invariant 集合 $\mathcal{A}$ 。我們說此集合 $A$ 為 globally attractive for system $x^+ = f(x)$ 若下列條件成立:
\[
|\phi(i;x)|_\mathcal{A} \to 0 \text{ as $i \to \infty$} \;\; \forall x\in \mathbb{R}^n
\]======================


======================
Definition: (Global Asymptotic Stability (GAS))
給定  closed positive invariant 集合 $\mathcal{A}$ 為 globally asymptotically stable for system $x^+ = f(x)$ 若下列條件成立:
$\mathcal{A}$ 為 locally stable 且 globally attractive
======================

Comment:
考慮 $\mathcal{A}:=\{0\}$,有可能 globally attractive 但並非 locally stable。比如說考慮\[
x^+ = Ax + \phi(x)
\]其中 $A$ 有 eigenvalue $\lambda_1 = 0.5$ 與 $\lambda_2 = 2$ 且對應的 eigenvector 為 $w_1, w_2$且 $\phi(\cdot)$為 平滑函數 滿足 $\phi(0) = 0$ 與 ${\left. {\frac{\partial }{{\partial x}}\phi (x)} \right|_{x = 0}} = 0$

故在 $0$ 附近,$x^+ = Ax + \phi(x)$ 行為將會非常接近 $x^+ = Ax$ ;故若 $\phi(x) =0$ 則 特徵向量$w_1$ 因為具有特徵值 $\lambda_1 = 0.5$ (落在 unit circle 之中)故此特徵向量會迫使狀態收斂到 $0$點,但 特徵向量 $w_2$ 具有不穩定的特徵值 $\lambda_2 = 2$ 故此特徵向量會迫使狀態發散。故總和此兩者,可知儘管有 globally attractive 但卻沒有 stable origin ($\mathcal{A}:=\{0\}$無法滿足 local stability 定義)


以下我們將相關的穩定度定義總結如下:
=============================
Definition: Stability without constraint
給定 closed positive invariant 集合 $\mathcal{A}$ 為
  1. locally stable 若 對任意 $\varepsilon >0$ 存在 $\delta >0$ 使得對任意 $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ $|x|_\mathcal{A} < \delta \Rightarrow |\phi(i;x)|_\mathcal{A} <\varepsilon $
  2. unstable 若 其 不為 locally stable
  3. locally attractive 若 存在 $\eta >0$ 使得 $|x|_\mathcal{A} < \eta \Rightarrow |\phi(i;x)|_\mathcal{A} \to 0\;\; \text{as $i \to \infty$} $
  4. globally attractive 若對任意 $x \in \mathbb{R}^n$, $|\phi(i;x)|_\mathcal{A} \to 0\;\; \text{as $i \to \infty$} $ 
  5. locally asymptotically stable 若其為 locally stable 與 locally attractive
  6. globally asymptotically stable 若其為 locally stable 與 globally attractive
  7. locally exponentially stable 若 存在 $\eta >0, c>0$ 與 $\gamma \in (0,1)$ 使得 對任意 $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ 而言, $|x|_\mathcal{A} < \eta \Rightarrow |\phi(i;x)|_{\mathcal{A}} \le c |x|_\mathcal{A} \gamma^i$
  8. globally exponentially stable 若 存在 $c>0$ 與 $\gamma \in (0,1)$ 使得 對任意 $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ 而言, $|\phi(i;x)|_{\mathcal{A}} \le c |x|_\mathcal{A} \gamma^i$
=============================


以下結果將前述穩定度定義 與 KL 函數做連結:
=============================
FACT: (Globally Asymptotic Stable and KL function)
令集合 $\mathcal{A}$ 為 compact 且 positive invariant; $f(\cdot)$ 為連續函數。則 $\mathcal{A}$ 為 globally asymptotic stable for $x^+ = f(x)$ 若且唯若 存在 $\mathcal{KL}$ 函數 $\beta(\cdot)$ 使得 對任意 $x \in \mathbb{R}^n$,
\[
|\phi(i;x)|_\mathcal{A} \le \beta(|x|_\mathcal{A},i)\;\; \forall i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}
\]=============================



另外,實際上若考慮系統狀態有拘束的情形,則 globally asymptotic stability 並不保證能夠達成,此時我們需要再次拓展前述定義來滿足有拘束的情況:

=============================
Definition: Stability with Constraint Set X
假設狀態拘束集合  $X \subset \mathbb{R}^n$ 為 positive invariant for $x^+ = f(x)$ 且集合 $\mathcal{A}$  closed positive invariant for $x^+ = f(x)$  且 $\mathcal{A} \subset int(X)$  ( $int(X) :=$ interior of $X$) 則我們說集合 $\mathcal{A}$ 為
  1. locally stable in $X$ 若 對任意 $\varepsilon >0$ 存在 $\delta >0$ 使得對任意 $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ $x \in X \cap (\mathcal{A} \oplus  B_\delta) \Rightarrow |\phi(i;x)|_\mathcal{A} <\varepsilon $
  2. locally attractive in $X$ 若 存在 $\eta >0$ 使得 $x \in X \cap (\mathcal{A} \oplus  B_\delta) \Rightarrow |\phi(i;x)|_\mathcal{A} \to 0\;\; \text{as $i \to \infty$} $
  3. attractive in $X$ 若 $ |\phi(i;x)|_\mathcal{A} \to 0\;\; \text{as $i \to \infty$} \; \forall x \in X$
  4. locally asymptotically stable in $X$ 若其為 locally stable in $X$ 與 locally attractive in $X$
  5. asymptotically stable  with region of attraction $X$ 若其為 locally stable in $X$ 與 attractive in $X$。
  6. locally exponentially stable with region of attraction $X$ 若 存在 $\eta >0, c>0$ 與 $\gamma \in (0,1)$ 使得 對任意 $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ 而言, $x \in X \cap (\mathcal{A} \oplus  B_\eta) \Rightarrow |\phi(i;x)|_{\mathcal{A}} \le c |x|_\mathcal{A} \gamma^i$
  7. globally exponentially stable with region of attraction $X$ 若 存在 $c>0$ 與 $\gamma \in (0,1)$ 使得 對任意 $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ 而言, $|\phi(i;x)|_{\mathcal{A}} \le c |x|_\mathcal{A} \gamma^i$
=============================

延伸閱讀
[系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (1) - Lyapunov Stability Theory


ref: J. B. Rawlings and D. Q. Mayne, "Model Predictive Control: Theory and Design", 2009