考慮 離散時間 線性非時變 (Discrete Time Linear Time Invariant, DT-LTI)系統 \[\begin{array}{l} x(k + 1) = Ax(k)\\ y(k) = Cx(k) \end{array}\] $x \in \mathbb{R}^n, y \in \mathbb{R}^p$。 我們說上述系統為 可觀察 (observable) 或稱 $(A,C)$ 可觀察 若下列條件成立: 存在 常數 $N < \infty$ ,使得對任意 初始狀態 $x(0)$ 而言,可用 $N$ 組量測輸出 $\{y(0), y(1),...,y(N-1)\}$ uniquely 決定該初始狀態 $x(0)$。 Comment 1. 上述定義可類比 可控制性條件, 2. 事實上若我們無法透過 $n$ 組 量測輸出 來區別 $x(0)$ 則就算給額外再多的量測輸出 e.g., $N>n$ 組 仍無法區別 $x(0)$。(此結果可由 Cayley-Hamilton Theorem 證明。) 以下我們看個 unobservable 的例子 上方的方塊圖 顯示了 子系統 $G(z)$ 的狀態 無法從輸出 $Y(z)$ 觀察到。 (圖中的 $(z)$ 表示對原系統做 Z-transform。) 觀察性基本問題: 透過 sensor 所量測到的輸出 $y$ 是否足夠讓我們找出系統 初始狀態 $x(0)$ uniquely ? 為何我們關心 初始狀態? 因為一但有初始狀態則其餘任意時刻狀態均可透過狀態方程求解獲得。亦即 給定 $x(0)$ 則 \[\left\{ \begin{array}{l} x(1) = Ax(0)\\ x(2) = {A^2}x(0)\\ ...\\ x\left( N \right) = {A^N}x\left( 0 \right) \end{array} \right.\]故若給定初始狀態 $x(0)$ 則其餘任意時刻狀態 $x(1), x(2),...,x(N)$均可透過狀態方程 $x(k+1) = Ax(k)$ 獲得。 但現在我們僅給定 $y(0),...,y(N)$ 亦即我們僅知道 \[ \Rightarrow \le
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya