[隨機分析] Ito Integral 淺談 (I) - Ito Integral 的建構與 Ito Isometry property

這次要介紹隨機分析中的 Ito  integral　的建構：

目標：建立下面的(隨機)積分 or  Ito integral 
\[
{\color {red} {I(f)(\omega) = \int_0^T f(\omega, t) dB_t}} \ \ \ \ (*) \]
其中 $T$ 為固定時間， $B_t$ 是標準布朗運動(Standard Brownian motion)。 $f(\omega, t)$是一個隨機過程。
$I(f) (\omega)$ 表示積分為一個 mapping (之後會定義該從哪邊mapping到哪邊)，且積分完畢之後會是一個隨機變數 (function of $\omega$)

Comment:
你可能會問上面的積分跟一般積分有何不同!?
第一 是積分變數 $f(\omega,t)$ 不再是定數。此時的積分變數為一個隨機過程。
第二是 後方積分對象 $dB_t$ 亦為一個隨機過程 (標準布朗運動)。此時會使原本的Riemann -Stieltjes 積分無法定義(因為寫成sum之後左端點與右端點的答案不同)。 ( Ito Integral 選擇左端點因為之後會有較好的性質 ( Ito integral is (Local) martingale. )不過這是後話。)

建構 Ito 積分的想法如下：
先透過一類簡單的函數定義出上面的積分。再將其定義域擴展到更廣的函數類別。


積分變數(Integrand)需要那些條件?
為了要讓上述的積分可以make sense， $(*)$ 式子中的積分變數 $f(\omega,t)$ 必須先滿足一些基本的可測性 (measurability) 與可積分 (integrability) 的條件。

首先考慮可測性(measurability)：
令 $\mathcal{B}:=$ the smallest $\sigma$-algebra that contains all of the open subsets of $[0, T]$
$\{ \mathcal{F}_t \}:=$ be standard Brownian filtration
且對所有的 $t \geq 0$， $\mathcal{F}_t \times \mathcal{B}:=$ the smallest $\sigma$-algebra that contains all of the product sets $A \times B$；其中 $A \in \mathcal{F}_t$ 且 $B \in \mathcal{B}$

最後我們說 $f(\cdot , \cdot)$ 是 可測的 (measurable) 如果 $f(\cdot , \cdot) \in \mathcal{F}_T \times \mathcal{B}$
且 $f(\cdot , \cdot)$ 是 adapted 如果 對所有的 $t \in [0,T]$, $f(\cdot,t) \in \mathcal{F}_t$


再者考慮積分性(integrability)：
為了建構前述 Ito 積分 $(*)$，我們會先將注意力放在 積分變數 $f(w,t)$ 是落在 $\mathcal{H}^2[0,T]$ 空間 ( $\mathcal{H}^2$ is a closed linear subspace of $L^2(dP \times dt)$ )。其中 $\mathcal{H}^2[0,T]$ 表示是由所有 measurable + adapted 函數 $f$組成的集合，且滿足下列積分限制
\[
E \left [ \int_0^T f(\omega,t)^2 dt  \right ]<\infty
\]

Comments:
1. 上式積分限制為 $L^2 (dP \times dt )$-norm ；
2. 上式積分限制為 一個雙重積分 ( 期望值由定義為 Lebesgue 積分；e.g.,  $E[X] := \int_{\Omega} X dP $  ) 注意到 $dP$ 指的是 Lebesgue 積分 對應於上式積分限制中的期望值部分， $dt$ 指的上式積分限制中  Rieman 積分的部分，亦即對應於上式的  $\int_0^T f(\omega,t)^2 dt $

現在我們可以開始定義積分。First step
回憶我們的idea：先建構 對基本函數的積分 再進一步拓展。所以在此我們先定義某一類基本函數所在的集合如下：

定義集合： $\mathcal{H}_0^2$ 為 $\mathcal{H}^2$的子集合，且此集合 $\mathcal{H}_0^2$ 由下列基本 step 函數構成
\[
f(\omega, t) := \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i (\omega) 1(t_i < t \leq t_{i+1}) \ \ \ \ (1)
\]其中 $a_i \in \mathcal{F}_{t_i}$, $E[a_i^2 ]< \infty$ , $1(\cdot)$ 為 indicator function，且定義 partition
\[
0 = t_0 < t_1 < ... < t_{n-1} < t_n =T
\] NOTE: 關於 Indicator function $1(\cdot)$有興趣的讀者請參閱 [機率論] Indicator function 

那麼，對於上式 $(1)$ ，我們定義在 $ \mathcal{H}_0^2$ 上的 Ito Integral 為
\[
 I(f)(\omega) := \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i (\omega) \{B_{t_{i+1}} - B_{t_i} \} \ \ \ \ (2)
\]

Comment:
1. 注意到上述積分 $ I(f)(\omega)$， 並未寫成一般常用的積分符號 $\int$ 是因為要強調此積分為某種mapping，且此積分目前只建構在基本step函數所構成的空間 $\mathcal{H}_0^2$，尚未值得引入標準的積分符號。
2. 上述積分的 $a_i(\omega)$是取左端點 $i$ 的值 (Ito integral)

接著，我們要開始延伸積分的定義域從 $\mathcal{H}_0^2$ 空間 到整個 $\mathcal{H}^2$ 空間。

再延伸定義域之前，我們必須先確認 $I : \mathcal{H}_0^2 \subset L^2(dP \times dt) \rightarrow L^2 (dP)$ 是一個 continuous mapping。下列引理建立了這個continuous mapping的關係

----------------------------
LEMMA 1 (Ito Isometry on ${\bf \mathcal{H}_0^2}$)
對所有的 $f \in \mathcal{H}_0^2$，我們有如下關係
\[
|| I(f) ||_{L^2(dP)} = ||f||_{L^2(dP \times dt)}
\]-----------------------
Proof
idea: 分別計算左右兩邊的 $L^2$ norm；為了方便起見我們計算 $L^2$-norm的平方，；

給定 $f \in \mathcal{H}_0^2$; i.e., $f(\omega, t) := \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i (\omega) 1(t_i < t \leq t_{i+1}) $

先計算右邊的 $ ||f||_{L^2(dP \times dt)}$，由 $L^2$-norm 定義：
\[
 ||f||_{L^2(dP \times dt)} :=  \left ( E \left [ \int_0^T f(\omega,t)^2 dt \right ] \right )^{1/2}
\]也就是 $||f||_{L^2(dP \times dt)} ^2$；照定義計算：
\[
f^2(\omega,t) = \left ( \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i (\omega) 1(t_i < t \leq t_{i+1}) \right )^2\\
\Rightarrow  f^2(\omega,t) = \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i^2 (\omega) 1(t_i < t \leq t_{i+1})
\]則

$||f||_{L^2(dP \times dt)} ^2 = E \left [ \int_0^T f(\omega,t)^2 dt \right ] = E \left [ \int_0^T;\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i^2 (\omega) 1(t_i < t \leq t_{i+1}) dt \right ] $

$\Rightarrow f^2(\omega,t) = E \left [ \int_{t_i }^{t_{i+1}} \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i^2 (\omega) dt \right ] $

$\Rightarrow f^2(\omega,t) =E \left [ \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i^2 (\omega) (t_{i+1}- t_i) \right ]$

$\Rightarrow f^2(\omega,t) = \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} E \left [ a_i^2(\omega) \right ] (t_{i+1}- t_i)) \ \ \ \ (\star)$

接著再計算左邊的 $|| I(f) ||_{L^2(dP)}$，由定義可知：
\[ || I(f) ||_{L^2(dP)}:= E \left [ I^2(f)(\omega) \right]^{1/2} \]

由於我們對基本step函數定義的積分為

$ I(f)(\omega) := \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i (\omega) \{B_{t_{i+1}} - B_{t_i} \}$

$\Rightarrow I(f)^2(\omega) = \left ( \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i (\omega) \{B_{t_{i+1}} - B_{t_i} \} \right )^2$

$ = \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i^2 (\omega) \{B_{t_{i+1}} - B_{t_i} \}^2 +  \displaystyle \sum_{i \neq j}^{n-1} a_i (\omega) a_j (\omega) \{B_{t_{i+1}} - B_{t_i} \} \{B_{t_{j+1}} - B_{t_j} \}$

兩邊同取期望值 + 利用 Brownian motion 定義 (independent increment $\Rightarrow$ 上式的交叉項取期望值 $=0$) + $a_i \in \mathcal{F}_{t_i}$可得

$E[ I(f)^2(\omega) ]= \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}E[ a_i^2 (\omega) \{B_{t_{i+1}} - B_{t_i} \}^2] $
$= \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}E[ a_i^2 (\omega) ] E[\{B_{t_{i+1}} - B_{t_i} \}^2]  =  \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}E[ a_i^2 (\omega) ] (t_{i+1} - t_{i}) \ \ \ \ (\star \star )$

現在比較 $\star$ 與 $\star \star$ 可知兩式相等，故得証。 $\square$

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現在我們得知 $I(f)(\omega)$ 確實從 $\mathcal{H}_0^2$ 映射到 $L^2(dP)$，且因為 $I(f)(\omega)$ 在映射過程保持 了 norm  (isometry property)，這暗示了 $I(f)(\omega)$ 亦將 Cauchy sequence in $\mathcal{H}_0^2$ 映射到 a Cauchy sequence in $L^2(dP)$

故下面的引理說明了我們可以用在 $\mathcal{H}_0^2$ 中的元素來逼近 落在 $\mathcal{H}^2$中的元素。

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LEMMA 2 ( $\mathcal{H}_0^2$  $\text{is Dense in}$ $\mathcal{H}^2$)
對任意 $f \in \mathcal{H}^2 \subset L^2(dP \times dt)$，存在一個序列 $\{ f_n \}$ 且 $f_n \in \mathcal{H}_0^2$  使得當  $n \rightarrow \infty$
\[
||f - f_n ||_{L^2{(dP \times dt)}} \rightarrow 0
\]---
Proof: omitted.

至此我們便完成Ito 積分的第一步，用 simple step function $\in \mathcal{H}_0^2$ 逼近(取極限) 落在 $\mathcal{H}^2$的元素，並且將此極限稱為 Ito integral in $\mathcal{H}^2$

另外由於現在 Ito 積分已經被定義在 $\mathcal{H}^2$ 空間，之前的 Ito isometry 也被拓展到 $\mathcal{H}^2$，此為Ito 積分建構中的重要結果，我們將其寫為下面的定理：

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Theorem 3 ( $ \text{Ito Isometry in}$ $\mathcal{H}^2$)
對任意 $f \in \mathcal{H}^2  \subset L^2(dP \times dt)$，我們有下列的 Isometry 性質
\[
|| I(f)(\omega) ||_{L^2{(dP)}} = ||f ||_{L^2{(dP \times dt)}}
\]---
Proof:
因為定理陳述為對任意的 $f \in \mathcal{H}^2$，故我們令 $f\in \mathcal{H}^2 $ ；則由 LEMMA2 可知，存在一個序列 $\{ f_n \}$ 且 $f_n \in \mathcal{H}_0^2$  使得當  $n \rightarrow \infty$
\[
||f - f_n ||_{L^2{(dP \times dt)}} \rightarrow 0
\]再者，因為上述為 $L^2$-norm，(反向)三角不等式 $| \ ||X|| - ||Y|| \ | \leq ||X-Y||$告訴我們
\[
| \  ||f_n||_{L^2{(dP \times dt)}} - ||f||_{L^2{(dP \times dt)}} \  | \leq ||f_n - f ||_{L^2{(dP \times dt)}} \rightarrow 0 \\
\Rightarrow ||f_n||_{L^2{(dP \times dt)}} \rightarrow ||f||_{L^2{(dP \times dt)}}
\] 同樣的， $I(f_n) \rightarrow I(f)$ in $L^2(dP)$，由三角不等式我們可知
\[
\Rightarrow ||I(f_n)||_{L^2{(dP)}} \rightarrow ||I(f)||_{L^2{(dP)}}
\] 但由 LEMMA1，我們知道，$||f_n||_{L^2(dP \times dt)}= || I(f_n) ||_{L^2(dP)} \ \ \ \ (**)$，且由前述討論可知左右兩式的極限都存在，亦即
\[
||f_n||_{L^2{(dP \times dt)}} \rightarrow ||f||_{L^2{(dP \times dt)}}
\]\[
||I(f_n)||_{L^2{(dP)}} \rightarrow ||I(f)||_{L^2{(dP)}}
\]故對式 $(**)$ 兩邊取極限可得

\[
|| I(f)(\omega) ||_{L^2{(dP)}} = ||f ||_{L^2{(dP \times dt)}} \]

上式 即為所求。 $\square$

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延伸閱讀
[隨機分析] Ito Integral 淺談 (II) - 再論 Ito 積分的建構

ref:
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer