2013年6月28日 星期五

[分享] 關於 幻視成真 禱告的一些看法

此文為個人回覆會友對於 幻視成真禱告策略 的討論,關於禱告的方式以及一些看法

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下文為網友的回應,原文已經過部分刪改
印象中,神並沒有要我們用「很大的信心」來禱告,他說我們只要有小小的信心,願意試著來找祂,那就夠了,就一定可以找到祂,找到祂之後,一切就都夠用了....所以我們的禱告祈求要合乎神的心意,這是神是否應允禱告的關鍵。但嚴格說起來,有誰可以確定自己(的禱告)是合神心意的呢?我們又不是神...看來「禱告」「尋求」總是放在一起是有原因的,我們只能盡可能的親近祂、認識祂,才能更「貼近祂的心」....所以才會有「要禱告XX小時才夠」的這種看似奇怪(律法>神)的說法.....

視覺化的禱告如果是合乎神心意的禱告,我倒覺得沒太大問題。耶穌在禱告的教導中也舉了挪山投海(很視覺)的比喻(這之前是因為耶穌想吃無花果(?)結果有棵無花果樹卻什麼也沒長只長葉子--生命沒有發揮他的命定,沒有為耶穌而活,所以耶穌讓這樹大大的不妙)。這些禱告的「策略」我想是因為要幫助人性的軟弱(或有限)


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下文為本人的看法

感謝回應,我想應該是有些誤會了我的用意,這邊我只想強調三件事
  1. 禱告需要信心,但這個信心應是 ( "即或不然" 與"倘若可行"的信心)
  2. 禱告應求合神心意 並非合人心意
  3. 人的本分 與 神的主權 (意思就是我們盡力禱告 盡力做本分內的事情,但神永遠掌權)
我來舉個例,假設今天我生病了,我拼命禱告,希望能得醫治,但是結果並沒有蒙神應允(也許被神延後應允 或者 神不應允),這時如果按照 幻視成真 (Visulaization) 之類的的禱告原則,或者今天許許多多教會 "喜歡使用" 的禱告原則,那麼我會被認為 病之所以不能得醫治,一定就是什麼地方『做不夠』;信心不夠、禱告不夠懇切、禱告時間不夠長,等等whatever的論點。我不知道這樣的論點淺藏的真正心理因素是甚麼,但如果以病人的這個例子而言,讓我們真真切切的詢問自己內心,所謂的"做不夠"是否意思是,我就是要上帝讓我的疾病得醫治。 我就是希望神讓我達到我想要的? 這到底是合神 或是合人呢? 如果我們依據聖經觀點來看:

「父啊,在你凡事都能,求你將這杯撤去,然而不要從我的意思,只要從你的意思」(可十四36)
「我們的上帝在天上,都隨自己的旨意行事」(詩一一五3)

所以如果我們的信心是認為 "只要有信心,就凡事必成",表面上,好像對上帝很有信心,但本質上,這樣的行為,是否已經把上帝限制在"凡事必照我所求"的想法之中呢? 至於 禱告如何能 合神心意 確實需要操練,但這並非我本來原文討論的原意。或許可以在找機會繼續討論

願我們都能 盡力的盡我們 人的本分,與神同工 但是讓 上帝確實掌權。

2013年6月22日 星期六

[集合論] 基礎集合論的數學語言 (2)- Limits of Sets

回憶在數學分析中我們定義了實數 sequence 的 limit 以及 函數 sequence 的 limt,那麼對於一組 集合 sequence 是否也能定義其極限?。 答案是肯定的。我們將仿照 實數 or 函數sequence 的 limit 來定義 集合 sequence 的極限 如下

令集合 $ A_n \subset \Omega$,我們定義
\[\mathop {\inf }\limits_{k \ge n} {A_k}: = \bigcap\limits_{k = n}^\infty  {{A_k}} ;\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\mathop {\sup }\limits_{k \ge n} {A_k}: = \bigcup\limits_{k = n}^\infty  {{A_k}} ;
\] 有了上述定義後我們可以進一步定義 $\lim\inf$ 與 $\lim \sup$
\[\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\bigcap\limits_{k = n}^\infty  {{A_k}} } ;\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n}: = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\bigcup\limits_{k = n}^\infty  {{A_k}} } ;
\] 有了$\lim\inf$ 與 $\lim \sup$,我們便可定義 集合 sequence 的 極限如下:

若存在一組集合 sequence $\{B_n\}$ 且 $B_n \subset \Omega, \; \forall n$ ,則我們說 $B_n$ 的極限存在若下列條件成立
\[\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {B_n} = \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {B_n} = B\]且 我們稱 $B$ 為 $B_n$ 的極限,並記做
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} B_n = B\; \text{ or $B_n \rightarrow B$}
\]

以下我們看個例子確保我們確實了解上述定義

Example 
試證
\[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left[ {0,\frac{n}{{n + 1}}} \right) = \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } \left[ {0,\frac{n}{{n + 1}}} \right) = \left[ {0,1} \right)\]
Proof
首先觀察
\[\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } \left[ {0,\frac{n}{{n + 1}}} \right) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcap\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)} } \right)}
 \]注意到
\[\bigcap\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left\{ \begin{array}{l}
k = 1:\bigcap\limits_{k = 1}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left[ {0,\frac{1}{2}} \right)\\
k = 2:\bigcup\limits_{k = 2}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left[ {0,\frac{2}{3}} \right)\\
...\\
k = n:\bigcup\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left[ {0,\frac{n}{{n + 1}}} \right)
\end{array} \right.
\] 故
\[ \Rightarrow \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcap\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)} } \right) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left[ {0,\frac{n}{{n + 1}}} \right) = \left[ {0,1} \right)} } \]接著觀察
\[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left[ {0,\frac{n}{{n + 1}}} \right) = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcup\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)} } \right)}
\]注意到
\[\bigcup\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left\{ \begin{array}{l}
k = 1:\bigcup\limits_{k = 1}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left[ {0,1} \right)\\
k = 2:\bigcup\limits_{k = 2}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left[ {0,1} \right)\\
...\\
k = n:\bigcup\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left[ {0,1} \right)
\end{array} \right.\]故可得
\[\bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcup\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)} } \right)}  = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\left[ {0,1} \right) = \left[ {0,1} \right)}
\]故兩者相等即為所求。$\square$

不過事實上我們可以將 集合的 sequence 的 $\lim \sup$ 與 Indicator function 連結起來。(關於 Indicator function 請參閱BLOG文章)

Lemma: The relationship between limsup and indicator function
令 $A_n \in \Omega$,我們讓 $\{ A_n \}$ 為 一組 集合 sequence。則
對於 $\lim \sup$ 我們有如下等價描述:
存在 subsequence $n_k$ 且 $n_k$ 與 $\omega$ 有關 使得
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \left\{ {\omega  \in \Omega :\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{1_{{A_n}}}\left( \omega  \right) = \infty } } \right\}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left\{ {\omega  \in \Omega :\omega  \in {A_{{n_k}}},k = 1,2,3,...} \right\}
\end{array}
\]亦即我們可寫
\[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \left\{ {{A_n}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}i.o.} \right\}\]其中 $i.o.$ 表 infinitely often.
Proof: omitted.


2013年6月21日 星期五

[整理] 數學上的等價關係

等價關係 (Equivalence relation)
首先我們先介紹 什麼是數學上的 "關係 (Relation)" 再接著介紹 什麼是 "等價關係 (Equivalence Relation)",講白了就是乘積空間的子集沒有什麼特別,只是初次看可能會覺得難以了解。

===============
Definition: 集合的(二元)關係 (Relation on a Set)
令 $X$ 為任意集合,我們說集合  $R$ 為 $X$ 上的 (二元) 關係 若下列條件滿足:
集合 $R$ 中的元素由從 $X$ 而來的 有序配對元素 (ordered pairs of elements),  $(x,y)$ 所組成,其中 $x\in X$ 與 $y \in X$。
===============

Comment: 
1.  換句話說,關係 $R$ 其實是一個 Cartesian product 的子集合; i.e., $ R \subset{X \times X}$,若 關係 $R$ 已事先知曉,我們通常用 " $x \backsim y$" 來表示 $ (x,y)\in R$。
2. 一般而言,上述討論所使用的符號 $R$ 代表 Relation,通常用 " $ \backsim $ " 改寫之。


===============
Definition: 等價關係(Equivalent Relation)
一個 在集合 $X$ 上的 等價關係(Equivalent Relation) 為一個 在集合 $X$上的 關係 " $ \backsim $ " 滿足下列三個性質:
  1. 若 $x \in{X}$, 則 $x\backsim x$. (Reflexivity)
  2. 若 $x,y \in{X}$ 且 $x\backsim y$, 則 $y \backsim x$. (Symmetry)
  3. 若 $x,y,z \in{X}$ 且 $x\backsim y$ 與 $y\backsim z$, 則 $x\backsim z$. (Transitivity)
換句話說,等價關係要求  1. $(x,x) \in R$ 對任意 $x \in X$,2. $(x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R$,3. 若 $(x,y) \in R$ 與 $(y,z) \in R$ 則 $(x,z) \in R$。
===============

等價關係建立的目的其實只是要讓我們建立一個"等式的概念",來避免在許多情況下,我們難以描述某兩個量具備相等的概念,此概念有諸多用途,比如 實數建構中應用 (實數為一個等價關係類的柯西數列: The real number is an "equivalent" class of Cauchy sequences.),或者在測度論中建構不可測集。以下我們看幾個例子。


Example 1
令集合 $X=\mathbb{R} $ (實數) ,現在定義一個特殊的關係稱作 "平方關係" 滿足
\[
R=\left \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \; x^2=y^2 \right\}
\]試證明 $R$ 為一個等價關係(Equivalence relation)。


Proof:
首先證明 Reflexivity:對所有 $x \in \mathbb{R}$,觀察 $x^2=x^2$. 所以 $(x,x)\in R$, i.e.,$x\backsim x$

接著證明 Symmetry:若 $x,y \in \mathbb{R}$ 且 $(x,y) \in R$則我們有 $x^2=y^2$,此結果表明 $y^2=x^2$,故我們得到 $(y,x)\in R$ , i.e., $y \backsim x$

最後證明若 Transitivity: $x,y,z \in \mathbb{R}$ 且 $(x,y) \in R$ 與 $(y,z) \in R$,亦即 $x^2=y^2$ 與 $y^2=z^2$, 則 $x^2=y^2=z^2$.所以$(x,z)\in R$ , i.e., $x \backsim z$ $\square$


Example 2
令 $X : = \mathbb{Z}$ 為整數集,現在定義 "除以五之後有相同餘數" 的關係滿足
\[ R:= \{(m,n) \in \mathbb{Z}^2: mod(m,5) = mod(n,5)\} \]試證明上述關係 $R$ 為等價關係
Proof: 首先證明 Reflexivity:對所有 $m \in \mathbb{Z}$,則因為 $mod(m,5) = mod(m,5) $ 故滿足 $(m,m) \in \mathbb{R}$

接著證明 Symmetry:若 $m,n \in \mathbb{Z}$ 且 $(m,n) \in R$ 則我們有 $mod(m,5) = mod(n,5)$ ,由此可知 $mod(n,5) = mod(m,5)$。所以 $(n,m)\in R$ , i.e., $y \backsim x$

最後證明若 Transitivity: $m,n,k \in \mathbb{Z}$ 且 $(m,n) \in R$ 與 $(n,m) \in R$ 則由 $R$ 定義可知我們有 $mod(m,5) = mod(n,5)$ 與 $mod(n,5) = mod(k,5)$, 則 $\mod(m,5) = mod(k,5)$,所以$(m,k)\in {R}$ , i.e., $m \backsim k$ $\square$


Example 3 (非等價關係的例子)
取任意兩實數 $r,s$ 則我們定義關係 $$
R := \{(r,s) \in \mathbb{R}^2: r<s\}
$$
則我們宣稱上述關係並非等價關係:

Proof: 檢查 reflexivity, 取 $r \in \mathbb{R}$ 則可馬上得知 $r < r$ 為錯誤宣稱,亦即 $(r,r) \notin R$ ,故不滿足 reflexivity

讀者可自行檢查上述關係亦不滿足  symmetry 但滿足 transitivity

[集合論] 基礎集合論的數學語言 (1) - Set Operations

基礎集合論(Elementary Set theory)

集合論對於往後的數學的各分支 都居極其重要的地位;e.g., 數學分析 與 機率論 都有至深至遠的影響,此文是介紹基本的集合論,讀者不須任何先備知識即可讀懂。以下依次介紹

  • 集合(Set) 
  • 集合的敘述 (Statement of Set)
  • 子集合(Subset)
  • 補集 (Complement)
  • 交集 (Intersection)
  • 聯集 (Union)
  • 差集 (Difference)
  • 積集合 (Cartesian product)
==========
Definition: Set
一個 集合 (Set) 為 一堆 " 不同的元素 distinct element " 所組成的"收集"。若某 元素 $a$ 落在集合 $A$ 中,我們稱 $a$ 屬於集合 $A$,數學上記做 $a\in{A}$
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Comments: 
0. 引述集合論大師 Cantor 說法:直觀/想像中可辨識且確定的事物 (在上述定義等價為 元素)將其收集之後視為一體。 此兩個名詞無法再繼續被追問,讀者需先有共識能接受此兩者。

1. 集合可以簡單的想成一群 "東西" 我們把他收集在一起。叫這群收集起來東西"集合"。 比如說 把一群水滴收集在一起,叫這群水滴為"水"的集合。注意到集合中元素並無次序問題。

2. 有時候我們會遭遇 所謂 集合的集合 (set of sets) 的情況,此時為了避免用字重複會改稱 family of sets,或者稱 collection of sets。

以下看一些集合的例子:

Example: some sets
a. 一個集合 $A:=\{ \text{head, tail} \}$ 表示此集合有兩個元素 $\text{head}$ 與 $\text{tail}$。此兩者都在 $A$ 中。
b. 定義集合 $A := \{ \xi_1, \xi_2, ... , \xi_n \}$ 表示此集合 $A$ 由 $\xi_1, \xi_2, ... , \xi_n $ 組成。
c. 如果一個集合裡面 沒有任何元素,我們稱此集合為 空集合(empty set),一般用 $ \emptyset $ 表示
d. 加上指標(indexed)的集合所形成的集合 (;i.e., indexed family of sets):
\[
\mathcal{E}:=\{E_{\alpha}: \alpha \in A \} = \{E_\alpha \}_{\alpha \in A}
\]另外若現在考慮 family of sets 由 $\mathbb{N}$ 做指標,則我們可建構 集合形成的數列(sequence of sets) 記做
\[
\{E_n \}_{n=1}^{\infty}
\]
e. 若集合中含有的元素仍為集合,比如說 $\mathcal{A}=\{ \{2,3\}, \{5,6,7\}\}$ 我們稱此 $\mathcal{A}$ 為 collection of sets  或者 family of sets。

集合的敘述
接著我們介紹更常見的集合表示法,稱作集合的敘述表示, 一般而言,在數學上常見的集合表示法為使用下列符號
\[
\left\{x\in{X}: \text{ statement involving property $x$ } \right\}
\] 上述稱為 集合的敘述表示法,說明了此集合是由所有 $x \in{X}$組成,且對所有 $x$ 而言,其敘述 (statement) 都必須為真, 注意到 statement 扮演的腳色等同"定義",故如果想要說明某個元素是否落在集合之中,則必須檢驗其是否符合此 statement

我們看下面一些集合以敘述表示的例子 :

Example 1:
試將開區間 $(a,b)$ 用集合敘述表示:
\[
\{x: a<x<b\}
\]讀者可自行練習 $(a,b]$,$[a,b]$, $(a,\infty)$...


Example 2
假設 $k \in \mathbb{N}$,定義集合 $A$
\[
A:=\{k \geq 1: \text{$k$  is  even} \}
\]上述集合 $A$ 表示的是 對 所有的 $k \geq 1$ 且滿足 $k$ 必須是偶數( even) 。且把這些符合條件的元素全部收集起來叫做集合 $A$。所以重點是 $k$ 但是這個  $k$  必須滿足給定的特殊性質 比如在此例中是 為偶數

Example 3
定義集合 $A := \{ \text{all positive integer} \}$ 表示此集合 $A$ 由 所有正整數 $1,2,3,...$ 所組成。

==========
Definition: 子集合 (subset):
設$A$ 與 $B$ 為二集合,若所有在 $A$ 集合中的元素 亦都 落在集合 $B$ 中,則我們稱 $A$ 為 $B$ 的 子集合(subset)。數學上記做 $A\subset{B}$;i.e.,   
\[
\forall x\in{A}, x\in{B}
\]==========
注意:上述符號 $\forall$ 表示 對所有 (for all...)
另外注意到符號 "$\subset{}$" 允許 $A=B$ 的可能性 

ref: Wikipedia


Comment:
1. 如果想要證明兩個集合相等 $A=B$ 則我們必須證明 $A\subset{B}$ 與 $B\subset{A}$
證明的方法便是利用上述的定義:
$\forall x\in{A}, x\in{B}$ 證明 $A\subset{B}$
$\forall x\in{B}, x\in{A}$ 證明 $B\subset{A}$


2.
 $A,B,C$ 為任意集合,我們有以下子集合性質
\[\begin{array}{l}
A \subset A\\
A \subset B\& B \subset C \Rightarrow A \subset C\\
A \subset C\& B \subset C \Rightarrow A \cup B \subset C\\
A \supset C\& B \supset C \Rightarrow A \cap B \subset C
\end{array}\]

Example 1: subset and the number of all subsets
若考慮一集合 $B=\left\{{1,2}\right\}$ 那麼
集合 $B$所有 子集合為
\[\emptyset  \subset B;\;\left\{ 1 \right\} \subset B;\;\left\{ 2 \right\} \subset B;\;\left\{ {1,2} \right\} \subset B\]事實上,如果一個集合有 $n$ 個元素,則其全部可能的子集合數目為 $2^n$ (power set)。以此例而言集合 $B$ 全部可能的子集合數目為 $2^2 = 4$ 個。那麼有沒有一種表示法可以用來表示某個集合的"所有"子集合呢?答案是有的。我們稱此集合為 Power Set 。如下面例子。


Example 2: Power sets
考慮集合 $X$,現在考慮 $X$ 中所有的子集合所形成的集合 (family of all subsets of a set $X$) 我們稱其為冪集合(Power Set),符號記做 $\mathcal{P}(X)$ 且定義為
\[
\mathcal{P}(X) := \{ {E: E \subset X} \}
\]

關於 Power set的例子:
考慮 $A = \{1,2,3\}$ 則 其 power set 為
\[{\cal P}(A) = \{ \emptyset ,\{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} ,\{ 1,2\} ,\{ 2,3\} ,\{ 1,3\} ,\{ 1,2,3\} \} \]
==========
Definition: 補集 (Complement)
考慮子集合 $A \subset X$,則我們說 $A$ 的補集 (記做 $A^c$) 定義為
\[
A^c := \{x \in X : x \notin  A \}
\]==============
補集有一些重要的性質值得我們一看:令 $A \subset X$,則
\[{({A^c})^c} = A;\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\emptyset ^c} = X;\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{X^c} = \emptyset \]

==============
Definition: 交集 (Intersection)
設${A,B,X}$為三集合,且 $A\subset{X}$, $B\subset{X}$ 現若有一個新的集合,其包含的所有元素 同時由 屬於集合 ${A}$ 又屬於 ${B}$ 所組成,我們稱此新的集合為 $A$ 集合與 $B$ 集合的交集(intersection),數學上記做 $A\cap{B}$
==============

下圖為兩集合交集的示意圖


Comment
1. 若 $\cal{E}$ 為 family of sets,我們可以建構其元素的 intersection 如下
\[
\bigcap_{E \in \cal{E}} :=\{x : x \in E \;\; \forall E \in \cal{E} \}
\] 2. 若兩集合 $A,B$ 滿足 $A \cap B = \emptyset$,則我們稱此兩個集合彼此為 disjoint。
3. 令 $A,B$ 為兩集合,  $A \bigcap B = B \bigcap A$
4. 令 $A,B$ 為兩集合,則 $A \bigcap B \subset A$ 且 $A \bigcap B \subset B$

以下我們看一些例子:

 Example 1:
\[\bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {0,\frac{1}{n}} \right)}  = \emptyset \]

Example 2:
\[
\bigcap_{n \in \mathbb{R}} [-n, 1) = \emptyset
\]
Example 3:
\[
\bigcap_{n \in \mathbb{N}} [-n, 1) = [-1,1)
\]
Example 4:
\[
\bigcap_{n \in \mathbb{R}, n >0} [-n, 1) = [0,1)
\]

==========
Definition: 聯集(Union)
設 ${A,B,X}$ 為三集合,且 $A\subset{X}$ 現若有一個新的集合,其所包含的所有元素由 屬於集合 ${A}$ 與屬於 ${B}$ 的元素所組成,而沒有其他元素,我們稱此新的集合為 $A$ 集合與 $B$ 集合的聯集(union),數學上記做 $A\cup{B}$
==========
下圖為兩集合聯集的示意圖


Comment
1. 若 $\cal{E}$ 為 family of sets,我們可以建構其元素的 union 如下
\[
\bigcup_{E \in \cal{E}} :=\{x : x \in E \; \text{for some } E \in \cal{E} \}
\]2. 令 $A,B$ 為兩集合,$A \bigcup B = B \bigcup A$

3. 令 $A,B,C$ 為三集合,則 $(A \bigcup B ) \bigcup B = A \bigcup (A \bigcup B)$
4. 令 $A,B$ 為兩集合,  $A \bigcup B = B \bigcup A$
5. 令 $A,B$ 為兩集合,則 $A \subset A \bigcup B$ 且 $B \subset A \bigcup B$

以下我們看一些聯集的例子:
Example 1:
\[\bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left[ {0,\frac{1}{{n + 1}}} \right)}  = \left[ {0,1} \right)\]
Example 2:
\[\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}}^{} {\left[ { - n,1} \right)}  = \left( { - \infty ,1} \right)\]
Example 3:
\[\begin{array}{l}
\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N},m \in \left( {0,1} \right)}^{} {\left( {1 - \frac{1}{n},10 - m} \right]}  = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}}^{} {\left( {\bigcup\limits_{m \in \left( {0,1} \right)}^{} {\left( {1 - \frac{1}{n},10 - m} \right]} } \right)} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}}^{} {\left( {1 - \frac{1}{n},10} \right)} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left({0,10} \right)

\end{array}\]

=====================
Definition: 差集 (Difference)
若 $A, B$ 為兩集合,我們定義此兩者的 差集 $A \backslash B$ 如下
\[
A\backslash B := \{x: x\in A \text{ and } x  \notin B \}
\]====================

Example: $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} = \{0, -1, -2,...\}$

關於差集有一些重要的性質我們陳述如下:

Property 1: $A\setminus \emptyset = A$

Property 2: $A\setminus B  = \emptyset \Leftrightarrow A \subset B$

Property 3: $A \setminus (A \setminus B) = A \cap B$

==========
Definition: Cartesian product
設 $A, B$ 為兩集合,則\[A \times B: = \{ (x,y):x \in A,\;y \in B\} \]==========

以下我們看幾個例子:

Example 1:
考慮 $A:=\{a_1, a_2, a_3\}$ 且 $B:= \{b_1,b_2\}$ 則
\[
A \times B = \{(a_1,b_1),(a_1,b_2), (a_2, b_1), (a_2,b_2), (a_3,b_1), (a_3,b_2)\}
\]

Example 2:
考慮 $A:=\{1,4\}, B:=\{2,3\}$ 則
\[\begin{array}{l}
A \times B = \{ (x,y):x \in A,y \in B\} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \{ (x,y):x \in \left\{ {1,4} \right\},y \in \left\{ {2,3} \right\}\} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \{ (1,2),(1,3),(4,2),(4,3)\}
\end{array}\]

Example 3:
考慮  $A:=[1,4], B:=[2,3]$ 則
\[\begin{array}{l}
A \times B = \{ (x,y):x \in A,y \in B\} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \{ (x,y):x \in [1,4],y \in [2,3]\} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \{ (x,y):1 \le x \le 4,2 \le y \le 3\}
\end{array}\] $A \times B$ 如下圖所示



Comments:
1. 座標平面可視為 Cartesian product; e.g., $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$
2. 我們亦可定義三個集合的 Cartesian product
設 $A, B, C$ 為三集合,則\[A \times B \times C: = \{ (x,y,z):x \in A,\;y \in B, \; z \in C\} \]同理,我們可定義 $N$ 個集合的 Cartesian product 甚至 無窮個集合的 Cartesian product。

延伸閱讀
[集合論] 基礎集合論的數學語言 (2)- Limits of Sets

2013年6月18日 星期二

[分享] 關於數學證明的一點點思路 (II)-contrapositive proof 與 proof by contradiction

OK,承接上篇證明的思路(I):
在搞清楚定義之後。才可以開始證明!

再者寫下證明的每一步。都必須是 "正確無誤" 的陳述。如果寫下的陳述有一部分是錯的或者在有一些情況下可能是錯的。那麼整個證明就必然無疑的存在嚴重的瑕疵。這種證明並非是證明,單純只是錯誤的陳述或者在某種情況下會出錯的陳述。

所以在確保定義清楚 外加 每一步都正確的概念之下,我們才可以來討論證明的策略。

數學證明的方法(策略),就種類來說大致可分成四種
今天想要分享的是 逆否命題法(contrapositive proof) 與 矛盾證法(proof by toward to contradiction)

考慮命題為 : If P then Q
  1. 直接證明法 (用已知假設P 透過逐步邏輯推演以及已經證畢的定理,逐步直接的 推出Q)
  2. 反證法(逆否命題)  (將原命題改為 If NOT Q, then NOT P: 亦即用 NOT Q 當作假設 透過逐步證明推出 NOT P)
  3. 間接證明-矛盾證法 或稱 歸謬法 (維持原命題假設 If P 而且額外再假設 if NOT Q, 逐步證明與某個已知事實矛盾? i.e., 將原命題改為 If P and NOT Q 去證明某個矛盾)
  4. 數學歸納法

以下我們先看個例子說明 歸謬證法

FACT: 令 $a,b$為兩實數,若對任意 $\varepsilon >0$,$a \le b + \varepsilon$,則 $a \le b$。
Proof
利用歸謬法,假設 $a > b$。並試圖找出矛盾點。

由於我們已知 對任意 $\varepsilon >0$,$a \le b + \varepsilon$,故我們觀察
\[\left\{ \begin{array}{l}
a \le b + \varepsilon \\
a > b
\end{array} \right. \Rightarrow b < a \le b + \varepsilon  \Rightarrow 0 < a - b \le \varepsilon
\]故現在令
\[
\varepsilon := \frac{a-b}{2}
\]仍滿足 $\varepsilon >0$。將上述 $\varepsilon $ 帶入 $a \le b + \varepsilon $ 得到
\[a \le b + \varepsilon  \Rightarrow a \le b + \frac{{a - b}}{2} \Rightarrow a \le b
\]上式結果與 $a > b$ 矛盾;故我們一開始假設的 $a > b$ 有誤。至此得證。$\square$


事實上關於反證 與 矛盾證明常有時機使用的問題,就是到底何時該採用反證法 何時 適用 矛盾證明?

使用時機:任何時候對一個證明應先嘗試直接證明法,如果對於 直接證明 完全毫無頭緒時,再接著嘗試採用反證或者矛盾證法

例: 欲證 質數(prime numbers)有無窮多個

如果透過直接證法,你就必須真的去找出 "無窮多個" 質數,但這種方法很明顯無法使用(why?)
因為我們時間有限,無法真的找出無窮多個 質數出來,你也不可以說你找到很多個就OK,因為原命題是要求要找出"無窮多個"故此時應
轉而使用反證法/矛盾證法 來處理這類問題。


事實上,對於大多數 存在性的命題(existential statment) 
If X then there exists Y such that Z
都可考慮採用矛盾證明法,因為在這命題中,我們被要求用X當假設,然後必須"建構" OR "找出" 一個Y使得Z成立。但大多時候我們對Y基本上沒有頭緒。這時可以採用矛盾證法,將其納入為額外假設,試著找出矛盾點。

2013年6月16日 星期日

[基礎數學] 關於數學證明的一點點思路 (I)

以往在工學院學習的數學,較偏重在計算與應用部分,對於證明較少著墨,
有時因為時間關係,很容易把定理的結果直接使用,自動跳過證明,假設它是對的先用再說。這樣的方法雖然在當下節省很多時間,但對於學習其實並不是很好。也讓自己後來在學習較高等的數學時吃足了苦頭;

最大的困難我想就是在一開始接觸 抽象化 & 嚴格證明的時候,常常會發生儘管"自認"已經對定義相當清楚,但等到做題的時候,仍然對證明之中每個推理與邏輯間思路的連結沒有頭緒。這種事在初學的時候實在是很大的挑戰。

不過其實數學證明是有規則可循的,這很類似於下棋,比如說我們下棋之前(EX 西洋棋、圍棋、象棋等等棋類),我們都必須先學會各種棋子對應的規則,才能開始去想下棋的策略與戰勝對手的妙方,事實上,對於數學證明也是如此,如果規則(定義)不懂,定理不明,看到題目就埋頭苦證,拼命思考各種技巧與策略(反證法、逆否命題、數學歸納法、直接證法),我想也很難有所突破。因為根本就不清楚你的敵人是誰(也就是根本不清楚到底要證明甚麼!?)

尤有甚者,就算看了解答也是常常不明白作者為何可以甚麼都不說就從某一步會跳到某一步,這其實最根本的原因就是定義不清所導致的問題。

先總結一個重要概念。證明之前先問自己
  • 是否已經清楚 "基本定義" !? 

Comments:
1. 對於想要了解一般證明策略的讀者,建議可略過此文直接閱讀
關於數學證明的一點點思路(III)-Forward-backward method。

2. 除了基本定義之外,兩種"量詞" (quantifier: "for all" 與 "there exists") 的掌握也是證明中極為重要的技巧,但這篇文章重點不在此故不贅述。有興趣的讀者可參閱 Daniel Solow, How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes 2e, 2001

3. 關於 清楚明白定義的重要性,讀者可直接參閱此篇
[數學分析] 淺談 Metric Space and Topology


以下文章將專注在清楚定義之後,邏輯間思路的連結。我們先看個簡單的例子

------------
Example 1
考慮下列兩個已知假設為 真:
1. 所有 生物都會死
2. 人 是 生物
試證 人會死。
------------

Proof:
[證明1] 已知人是生物,又已知 所有生物都會死,故 人會死。$\square$
或者
[證明2] 已知所有生物都會死,又已知人 是生物,故由 "所有生物都會死" 可得 人會死。$\square$

Comment:
在數學教科書或者文獻上,作者常將主要的結果用 定理 (Theorem), 或者前置定理 (Lemma),又或者衍生定理 (Corollary) 來描述。而其中最重要的結果是定理。一個數學的定理包含假設 (Hypothesis)與結論(Conclusion):若以 Example 1來看,則假設的部分為 “所有生物會死” 與 “人是生物”,結論的部分則為 “人會死”。此結果可被稱為一個定理。


現在看看下面這個(不太)簡單的數學證明思路

一般而言,在證明某個結果之前,我們可能會知道 (或者嘗試去找到) 某些已知的結果 與我們的假設 或者 待證目標 有直接或間接相關。現在假設我們事先已知下列三個結果  (我們稱為定理)。

------------
Example 2
已知 定理 X: $P \; \& \;T \Rightarrow R$
已知 定理 A:  $P  \Rightarrow S$
已知 定理 B:  $S \; \& \;Q \Rightarrow T$

試證:若 $P, Q$ 成立,則 $R$ 成立。
------------
NOTE: 上述陳述中使用的 $P \Rightarrow Q$ 在數學上表示 If $P$ then $Q$;

Proof:
一般而言,一個好的習慣是先寫下 已知假設 (hypothese) 以及 待證的目標(conclusion),故我們寫下:

已知假設: $P \; \& \; Q$
待證目標: $R$

那現在我們的目標就是 如何從 已知假設 $P \; \& \; Q$ 透過一連串的邏輯推理,推到結果為 $R$ 會成立。故唯一要做的事情就是把彼此之間的關聯性用 "邏輯" 連結起來。步驟如下:

Step 1: 讓 $P, Q$ 成立。

Step 2: 觀察手邊工具。首先由於 定理A 告訴我們 若 $P$ 成立,則 $S$ 成立,讀者可發現此定理直接與我們手邊有的假設 $P$ 相關,故我們可以馬上使用 定理A 得到
\[
P \Rightarrow S
\]所以現在變成 已知 $P \; \& \; Q$ $\Rightarrow S$

Step 3: 由於我們手邊已經有了 $P,Q$ 以及 $S$,觀察手邊工具可發現與前述相關的 定理 B : $S \; \& \;Q \Rightarrow T$ 。也就是說我們現在手邊能得到的所有 邏輯推理關係 為 已知 $P \; \& \; Q$ $\Rightarrow S$  且 $S \; \& \;Q \Rightarrow T$ (by 定理 B);故合併兩者我們可馬上推至 $ T$ 的結果。

Step 4: 現在再度觀察上述結果,發現 定理 X 告訴我們 $P \; \& \;T \Rightarrow R$,此即為我們要證明的目標,故將此 定理 X 用上去 Step 3,便可推得證欲證的 $R$ 至此證明完畢。$\square$


想法圖如下"
證明想法圖














Ref:  Robert S. Strichartz, "The Way of Analysis revised edition",


延伸閱讀: