2013年2月15日 星期五

[整理]金融名詞-債卷投資組合的管理

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th 關於 債卷投資組合的管理 的一些專有名詞

利率風險 與 債卷 的 存續期間(Duration)

-Percentage spread:
$$Percentage\; Spread := \frac{Ask - Bid}{(Bid + Ask)/2}$$

1. Macaulay's 存續期間 (Macaulay’s duration, $D$)
一種對債卷有效到期日的衡量,
A measure of the effective maturity of a bond, defined as the weighted average of the times until each payment, with weights proportional to the present value of the payment,
-存續時間越長 對 利率波動越為敏感
$$\frac{dP}{P} = -D \frac{d(1+r)}{1+r}$$-對於 zero-coupon bond 存續期間 = 到期時間

2. 修正型 存續時間 (Modified duration, $D^*$)
Macaulay’s duration divided by 1+yield to maturity. Measures interest rate sensitivity of bond.
$$\frac{dP}{P} = -D^* dr$$


債卷價格對市場利率變動的敏感性
  • 受 到期時間 影響
  • 受 息票利率 影響
  • 受 到期收益率 影響

3. Immunization
透過調整存續時間來使資產淨值 免受市場利率波動 影響的策略 A strategy to shield net worth from interest rate movements (avoid risk).

4. Rebalancing
根據需要對組合中的資產比例進行調整來實現存續時間與債務之間的(免疫)平衡。
Realigning the proportions of assets in a portfolio as needed.

5. 現金流匹配 (Cash flow matching)
將固定收益組合 (債卷組合) 的現金流與 負債的現金流匹配 (債卷現金流入 = 債務支出)
Matching cash flows from a fixed-income portfolio with those of an obligation. (a process of hedging; i.e., a company matches its cash outflows (obligation) with its cash inflows.)

6. 貢獻策略 (Dedication strategy)
多個時期的現金流匹配策略;在此情況之下管理人選擇合適的債卷使每一期提供的總現金流與一系列的負債匹配。此為一勞永逸消除利率風險的辦法。
Refers to multiperiod cash flow matching.

7. 凸性 (convexity)
The curvature of the price-yield relationship of a bond.
$$\frac{dP}{P} = -D^* dr + \frac{1}{2} Convexity (dr)^2$$

(主動)積極型的債卷管理策略

  • 替代互換(substitution swap)
  • 市場間價差互換(intermarket spread swap)
  • 利率預期互換(rate anticipation swap)
  • 純收益增長互換(pure yield pickup swap)
  • 稅收互換(tax swap)

8. 替代互換 (Substitution swap)
用一種債卷交換另一種具有相似特徵(有相同的coupon rate, maturity, credit)但是卻有更吸引人價格的債卷
Exchange of one bond for a bond with similar attributes but more attractively priced.

9. 市場間價差互換 (Intermarket spread swap)
指債卷市場兩個部門之間相互交換債卷的行為。
Switching from one segment of the bond market to another

10. 利率預期互換 (Rate anticipation swap)
根據對利率變化預期做出對不同期限的債卷之間的交換,A switch made in response to forecasts of interest rate changes.
-rate goes down => switch to longer duration bonds
-rate goes up => switch to shorter duration bonds.

11. 純收益率增長互換 (Pure yield pickup swap)
轉向高收益長期限的債卷Moving to higher yield bonds, usually with longer maturities
-將 存續時間 較短的債卷換成較長的債卷 (暗示投資人願意承擔更大的風險)

12. 稅收互換 (Tax swap)
為了獲得稅收利益而進行的相似債卷之間互換
Swapping two similar bonds to receive a tax benefit.

13. Horizon analysis
Forecast of bond returns based on prediction of the yield curve at the end of the investment horizon.

2013年2月12日 星期二

[變分法] 基本變分問題

這次要與大家介紹 變分法(Variational Calculus) ,在一般傳統數學分析求極值時,微積分 (Calculus)處理的對象為函數 (Function)的極值問題,而變分法 (Variational Calculus) 所處理的對象為泛函 (Functional) 的極值問題。

所謂泛函通常是指一種 domain 為函數空間(亦即無窮維的向量空間),而 codmain 為實數 或者 Euclidean 空間的 函數。簡而言之,泛函可視為 函數的函數。

我們給出泛函定義如下:
==================
Definition: Functional
令 $X$ 為任意 Vector Space,我們稱函數 $J: X \to \mathbb{R}$ 為一個 泛函 (Functional)
==================

Comments:
考慮 $X, Y$ 為 Vector Space,則
1. $ g: X \rightarrow \mathbb{R}$ 為泛函
2. $ g: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ 為泛函
3. $ g: X \rightarrow Y$ :此稱為 operator 不稱為泛函


以下我們給出幾個 functional 例子:


Examples of Functional
0. 給定 $X$ 任意 賦範空間,則對任意 $x \in X$,定義 $f(x):=||x||$ 為一個 functional。

1.考慮 $y(x)$ 為定義在 $[a,b]$上 一階連續可微函數,則下式
\[
J[y] = \int_a^b y'^2(x)dx
\] 為一個 Functional

2. 考慮一平面上任兩點 $A,B$ ,現在假設有一 質點(particle) 具有固定速度 $v$ ,且此 質點 可以沿著任意平面上任意路徑從 $A$ 移動到 $B$,則如果想描述此質點 花多少時間來通過上述的(任意)路徑,則描述結果會是用一個積分 以 Functional  來表示。

3. 令 $F(\alpha, \beta, \gamma)$ 為三變數的連續函數,則下式
\[
J[y] = \int_a^b F[x,y(x),y'(x)]dx
\] 為一個 Functional,其中 $y(x)$ 定義在 $[a,b]$ 上一階連續可微函數。


基本變分問題
整個變分法主要處理的問題為試圖 "找出 某 Functional 的極值",下面是一些經典的變分基本問題:

1. [最短曲線問題] 
找出一曲線 $y = y(x)$ 使得
\[
\int_a^b \sqrt{1 + y'^2}dx
\]為最小。

2. [最速下降問題 (Brachistochrone problem)] 
令 $A, B$ 為固定兩點,現在考慮一質點透過重力從 $A$ 滑向 $B$ 點的時間 是與其滑動的路徑有關,故我們的目標是找出一個曲線使得 此質點由 $A$ 滑向 $B$ 的時間最短。

3. [最大面積問題] 
給定固定長度曲線段,試找出此曲線可圍成的最大面積。

事實上,上述所有問題皆可由下列 Functional 表示,再透過變分法求其極值。
\[\int_a^b F (x,y,y')dx\]


那麼我們該如何才能求解 Functional 的極值問題呢?? 事實上我們可以借鏡 數學分析中對於函數的極值問題求解方法。也就是說如果有辦法將 Functional 轉化為 Function 則我們便可以利用傳統數學分析的極值問題來對付它們:

透過 多變數函數分析 近似 Functional

首先回憶我們關心的 Functional 如下
\[
J[y] = \int_a^b F(x,y,y')dx, \;\; y(a) =A, \;\; y(b) = B
\] 我們現在利用 Rieman Integral 的想法來對付 上述 Functional,現在我們將區間 $[a,b]$ 分割成 $n+1$ 等分;亦即令
\[
a=x_0, \; x_1, \; ..., \; x_n, \;x_{n+1} = b
\]那麼我們可以將曲線 $y = y(x)$ 用 多邊線段連線,且對應的多邊線段各端點可寫為
\[
({x_0},\underbrace A_{y({x_0})}),\;({x_1},y({x_1})),\;...,\;({x_n},y({x_n})),\;({x_{n + 1}},\underbrace B_{y({x_{n + 1}})})
\]透過上述分割,我們可以將上述 Functional $J[y]$ 透過下面累加近似
\[J\left( {{y_1},{y_2},...,{y_n}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{n + 1} {F\left( {{x_i},y\left( {{x_i}} \right),\frac{{y\left( {{x_i}} \right) - y\left( {{x_{i - 1}}} \right)}}{h}} \right)} h\]其中  $h = x_i - x_{i-1}$ 且 $y_i := y(x_i)$

最後,我們讓 $n \rightarrow \infty$ 使上述近似還原回 $J[y]$ 。

也就是說,基本變分問題  或者 泛函極值問題 (Functional Extrema Problem) 可以被轉換成 對 $J(y_1,y_2,...,y_n)$ 的 $n$ 變數函數極值問題 再取極限。

Comments
1. 注意到若 $n \rightarrow \infty$ 可看出 $J[y] = J(y_1, y_2, ....)$,亦即泛函可以視為是具有無窮多變數的函數。而我們採用的變分法則可視為是對應此無窮多變數函數 類比於微積分的數學工具。

2. 由於變分問題處理的對象為 Functional,又由前述comment可知 Functional 可視為無窮多變數的函數,故我們處理此問題需要在無窮維的函數空間 (function space)。


延伸閱讀:
[變分法] 泛函極值的必要條件