2013年12月24日 星期二

[控制理論] 線性化(Linearization)

這次要跟大家介紹的是 線性化 (Linearization) 的概念,讀者建議須先具備基本 Taylor Series 概念,如果不熟悉的讀者可先參閱 [微積分] 泰勒展開式 與 泰勒級數 。

為何要做線性化?
其實線性化的動機很簡單,主要是因為一般在分析動態系統的時候,大部分系統行為都是呈現非線性(EX: 電路系統(二極體 I/V curve),倒單擺、撓性機構、機器人、生物細胞、金融模型...),但這些非線性行為會有一個大的困難,就是難以直接求解其動態行為。且發展成熟的線性系統理論沒有辦法(有效的)應用在上面,但如果能夠透過一些假設/機制,我們可以把原本非線性的系統轉成線性系統,如此一來原本沒辦法使用的線性系統理論便可以派上用場!!

如何做線性化?
至於實際如何做到對任意 非線性函數 (e.g., $\sin, \cos, \exp, x^n$, ...)線性化呢? 簡單來說,就是採用切線 (微分) 的概念,如果我們對關心的某一點對該點取導數,則我們可以得到一條對該點的切線,此切線可以在某種程度上用來近似 該點附近的函數行為。

https://controls.engin.umich.edu/wiki/index.php/LinearizingODEs


----- 以下進入正題 ----

若用數學來描述非線性的系統可以寫成
\[
\dot x(t) = f(x)
\]其中 $x(t) \in \mathbb{R}^n$ 稱作系統狀態(state variable) (這邊考慮 $n$ 維空間,故有 $n$ 個系統狀態變數); $\dot x(t)$ 為系統狀態的一階導數; $f$ 為用以描述動態系統的任意函數

在此我們考慮系統狀態為 $n$ 階。意思就是有 $n$ 個不同的系統狀態,記做  $x \in \mathbb{R}^n$


在介紹線性化之前,我們得先介紹 "平衡點(equilibrium point)"

=====================
Definition: Equilibrium point
若 $f(\bar{x})=0$ ,則系統狀態 $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ 被稱作 平衡點(equilibrium point)。
=====================

Comments
由上述定義可以推知,如果 $x(0)=\bar{x}$ ,則 $x(t)=\bar{x}, \forall t \geq 0$ ;
也就是說一旦 在最一開始( $t=0$ )的時候,系統就處在平衡點的狀態,則對任意時刻 $t \geq 0$,系統狀態會持續處在平衡點的狀態。

====================
Definition: 穩定平衡點 (Stable equilibrium point)
平衡點若被稱為穩定的,或稱 穩定平衡點(stable equilibrium point),則其必須滿足 在任意時刻 之狀態 $x(t)$ 都需收斂到平衡點 $\bar{x}$,亦即
\[
x(t) \rightarrow \bar{x}
\](  $|| x(0)-\bar{x} ||$ 為足夠小 )
反之,若不收斂則稱為 不穩定的平衡點(unstable equilibrium) 其中
 \[
|| x(0)-\bar{x} || := \left ( \displaystyle \sum_{i} (x_i(0)-\bar{x}_i)^2 \right )^{\frac{1}{2}}\] 為 2-norm
==================

Comments:
上述定義指明 所謂的 穩定平衡點是指 考慮 任意時刻的狀態 $x(t), \forall t$,若此狀態都會回到 某個平衡點 $\bar{x}$ 則我們說他是一個 穩定的平衡點。

在介紹完平衡點之後,我們便可介紹所謂的 線性化,誠如先前所說,線性化的基本概念是微分,所以在此我們會假設動態系統充分可微(smooth),故我們可以進行 泰勒展開 (微分近似)。

=================
線性化(Linearization):
注意:我們僅對 穩定平衡點 做線性化。(不穩定的平衡點亦可線性化只是實際用處不大)

現在我們回頭考慮 $n$ 階非線性系統
\[
\dot x(t) = f(x)
\]其系統狀態 $x(t)$ 可表為 平衡點狀態 $\bar{x}$ 加上 狀態(小擾動)增量( $\Delta x(t)$ );注意。在此我們假設擾動 $\Delta x$ 不能太大。
\[
x(t) = \bar{x} + \Delta x(t)
\]則我們可寫下
\[
f_1 (x) = f_1 (x+\Delta x)\]
若此 $f$ 為 平滑函數(smooth) (也就是說可以對其做泰勒展開),則我們可改寫上式如下:

對 $f_1$ 可寫出其泰勒展開式 (對 $0$ 點展開)

$\Rightarrow f_1(x) = f_1(\bar{x}) + \frac{\partial f_1}{\partial x_1}|_{x=\bar{x}} \Delta x_1  + ... + \frac{\partial f_1}{\partial x_n}|_{x=\bar{x}} \Delta x_n + H.O.T$ ....(1)

同樣的,我們也可以對 $f_2...f_n$ 展開。

$\Rightarrow f_2(x) = f_2(\bar{x}) + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}|_{x=\bar{x}} \Delta x_1  + ... + \frac{\partial f_2}{\partial x_n}|_{x=\bar{x}} \Delta x_n + H.O.T.$

$\vdots$

$\Rightarrow f_n(x) = f_n(\bar{x}) + \frac{\partial f_n}{\partial x_1}|_{x=\bar{x}} \Delta x_1  + ... + \frac{\partial f_n}{\partial x_n}|_{x=\bar{x}} \Delta x_n + H.O.T$

其中 $H.O.T$ 表示 高階項(Higher Order Terms)

然後因為增量 $\Delta x_1, \Delta x_2...$ 假設為很小的擾動,在高階項的影響可被忽略

現在,回憶我們手邊有的狀態
\[
x(t) = \bar{x} + \Delta x(t)\]
對上式兩邊對時間微分,可得
\[
\dot x(t) = \Delta \dot x(t)\]
再者,因為我們知道 系統為 $\dot x(t) = f(x)$, 由式 (1) 我們可以帶入泰勒展開到 $f(x)$ 之中,最後整理可得線性化之後的 增量(擾動)系統
\[
 \Delta \dot x(t) = A \cdot \Delta x(t)  \ \ \ \  (2) \]
其中 $A$ 為矩陣其第 (i,j) 元素由下式表示
\[
a_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}|_{x=\bar{x}}\]

上式 $(2)$ 即稱為 線性化後的動態系統。由於此為線性,故所有的線性系統理論 (eigenvalue, controllability, observability) 便可以在其上進行討論




2013年12月14日 星期六

[整理]金融名詞-債卷價格與收益率

債卷特徵

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th
第10章 風險與收益 的一些專有名詞

1. 債卷 (Bond)
一種固定收益證卷(Fixed-income securities),債卷發行者 有義務 在確定的期限之內 對債卷持有者 支付確定金額的證卷
-一般而言債卷的息票利率(coupon rate)為半年(182 days)支付一次。
-債卷價格可由(有限期數股息折現公式DDM)下式求得
\[
P_0 := \frac{C}{1+r} + \frac{C}{(1+r)^2}+...+\frac{C+Par}{(1+r)^n}
\]也就是說:債券價格 $P_0$, 是債券的 預期現金流 $C$ ,經過合適的折現率 $r$ 折現以後的現值。

-Dirty Price = Clean price + Accrued interest
-Invoice Price = Flat price + Accrued interest
-Accrued interest

2. 債卷面額 (Face Value, Par Value)
當債卷到期時,債卷發行人 向 債卷持有人 支付債卷的面額來清償該筆債務。

3. 債卷息票利率 or 票面利率(Coupon rate)
年利息支付額 (Coupon payment, C) 等於債卷息票率 $\times$ 債卷面額
\[
C = ParValue \times Coupon \ Rate
\]
4. 零息債卷 (Zero-coupon bond)
不支付利息的債卷且到期時只會支付投資人債卷面額。為了補償此利息上的損失。零息債卷多折價發行。(the selling price is below par value)

5. 美國常見的債卷
U.S. Treasury bills: maturities of 3 or 13, 26 or 52 weeks.
U.S. Treasury notes: maturities of 2,3,5,7 and 10 years
U.S. Treasury bonds: maturity of 30 years

公司債卷(Corporate Bonds)

  • 可贖回債卷(Callable bonds)
  • 可賣回債卷(Puttable bonds)
  • 可轉換債卷(Convertible bonds)
  • 浮動利率債卷(Floating-rate bonds)


5. 可贖回 (買權) 債卷 (Callable bonds)
在贖回期內 債卷發行人(公司)可以按照特定的價格 向當初購買此債卷的投資人 進行回購的一種債卷。(一般而言在市場利率下跌的時候 公司可進行債卷贖回 並在更低的利率上重新發行新的債卷)

(因為有被贖回的風險 一般 callable bonds 比 noncallable bonds有較高的息票利率 與 較高的到期收益率YTM)
-usually sell at lower price.

下圖顯示一個例子 普通債卷 (Straight bond) 與 可贖回債卷 (Callable bond) 的差別。


圖中可以發現,可贖回債卷的價值在於如果利率跌至較低的水平 (EX: 低於8%),則公司就進行贖回以確保債卷價值不會被拉高。在利率較高的水平(EX: 大於13%)此時普通債卷與可贖回債卷收斂至相同的價格。


6. 可賣回 (賣權) 債卷 (Put bond)
債卷持有人 可以選擇在 特定日期將債卷兌換 債卷面額 或者 延展一定期限的債卷
- 一般而言,當債卷的 息票利率 > 當前市場利率時,債卷持有人會選擇繼續持有債卷
- 反之若債卷的 息票利率過低的時候,債卷投資人可以將本金(債卷面額)收回

7. 可轉換債卷 (Convertible bonds)
一種可以給予 債卷持有人 將債卷轉換成一定數量公司股票的債卷.
- 一般而言,因為具有可轉換優勢,所以 可轉換債卷  的息票利率 與 到期收益率 都會比 不可轉換債卷 略低

8. 浮動利率債卷 (Floating-rate bonds)
根據市場利率 階段性的調整 息票利率的一種債卷

債卷定價

債卷與利率的反向關係
下圖為一個例子 (8% Coupone rate, 30-year maturity, 半年支付利息債卷) 顯示
債卷價格(Bond Price) 與 利率(Interest Rate)之間呈現反向關係 (嚴格來說是價格與利率具備數學上的 凸性 Convexity,在此不贅述)。




9. 到期收益率 (Yield to maturity (YTM))
YTM 是債卷投資人購買債卷之後 持有直到該債卷到期的收益率;此YTM也是債券投資的 內部收益率(I.R.R.)

- YTM 是一種IRR 故是一種折現率 (使債卷息票支付額 = 債卷價格 的一種利率)

-債卷價格可由(有限期數股息折現公式DDM)下式求得
\[
P_0 := \frac{C}{1+r} + \frac{C}{(1+r)^2}+...+\frac{C+Par}{(1+r)^n}
\](can be viewed as the avg. return to an investor who buy a bond and holds it until its maturity date)

10. 當期收益率 (Current yield)
息票年利息支付額 與 債卷價格之比
\[
 Current \ Yield = \frac{Annual \ coupon}{bond \ price}
\]
11. 溢價債卷 (Premium bonds)
以高於面額發行的債卷。
- 一般而言,溢價債卷的 債卷息票利率 高於YTM

12. 折價債卷 (Discount bonds)
以低於面額發行的債卷。

下圖為溢價債卷與折價債卷價格與到期關係。

圖中可以發現,當越接近到期日,溢價債卷與折價債卷之價值收斂至相同價位

13. Realized compound return
Compound rate of return on a bond with all coupons reinvested until maturity.

違約風險(Default risk)


14. 期限分析 (Horizon analysis)
依據對債卷YTM 和 息票利息的 再投資率 的預測而進行的對債卷跨年度的收益分析。

15. 再投資風險 (Reinvestment rate risk)
息票利息再投資時 未來累計價值的不確定性

16. 投資級債卷 (Investment grade bond)
S&P 評價為 BBB 以上之債卷; Moody's公司 評價為 Baa and above

17. 投機債卷 or 垃圾債卷 (Speculative grad or junk bond)
S&P 評價為 BB or 以下; Moody's公司 評價為 Ba or 以下 or 無等級債卷

下圖顯示了1984年到2010 年之間,各風險級別債卷與 垃圾債卷的收益率價差(Yield spread %)。
違約風險(Default risk)越大,相對的違約溢價就會越高。




債卷契約

  • 抵押品(collateral)
  • 償債基金(sinking funds)
  • 從屬條款(subordinate clause)
  • 信貸違約掉期(Credit Default Swap, CDS)


18. 債卷契約 (Indenture)
債卷發行人 與 債卷持有人之間的合約。

19. 償債基金 (Sinking fund)
公司建立的一種基金,用來在每年公開市場上贖回一部分尚未償付的債卷,或者按照特定價格贖回一部分尚未償付的債卷。
- 要求債卷發行人 在 到期之前必須 定期 贖回發行 一部分上在外金額依定比率的債務合約。

20. 從屬條款(Subordination clauses)
要求在公司破產時,優先支付給較為早期債卷持有人的限制性條款。

21. 抵押品 (Collateral)
為了防止債卷違約而抵押的資產
-有特定抵押品支持的債卷為 公司債卷中最為安全的一種

22. 無抵押債卷 (Debenture)
沒有特定抵押物作為支持的債卷
- 比起有抵押債卷,此類無抵押債卷教具風險 (less safer than collateralized bonds)

23. 違約溢價 (Default premium)
用以補償賠償債務違約風險而 額外增加的保證收入

24.信貸違約掉期(Credit Default Swap, CDS)
一種對抗違約風險的保險策略

收益率曲線 (Yield curve)

  • 預期假說理論(Expectation Hypothesis)
  • 流動性偏好理論(Liquidity Preference theory)

25. 收益率曲線 (Yield curve)
到期時間YTM 作圖的曲線
-當政府採取擴張型 財務政策 與 貨幣政策,可以得到最陡峭的上升收益曲線

下圖顯示了四種不同的收益率曲線
A. 平坦型 B. 上升型 C. 反向型 4. 山丘型


26. 利率期限結構 (Term structure of interest rates)
債卷YTM 與 到期時間之間的關係

27. 預期假說 (Expectation hypothesis) (BUT it is NOT true)
認為 債卷的YTM是由未來 預期的短期利率 決定的一種理論:
-認為遠期利率 $f_n $ 與 預期的未來短期利率$ \mathbb{E}[r_n]$ 相等;亦即
\[
f_n = \mathbb{E}[r_n]
\]
28. 遠期利率 (Forward rate)
一種利率,特指在給定的短期利率(spot rate)中 從未來的某一時刻 到另一時刻的利率。

29. 流動性偏好理論 (Liquidity preference theory) (of the term structure)
認為投資人較偏好流動性,所以對於長期債卷 (低流動性, 長期風險) 必須給予一定風險溢價 作為補償的一種理論
-short-term bond have more liquidity than long-term bonds.
-forward rate > expected spot rate, or

30. 流動性溢價 (Liquidity premium)
投資人對要求作為長期風險進行補償的一種額外期望風險溢價;也就是說
\[
f_n = \mathbb{E}[r_n] + Liquidity \ premium
\]

Ref: Z. Bodie, A. Kane, A. Marcus, Essentials of Investments 9th.

2013年12月11日 星期三

[整理] 金融名詞-風險與收益 (Risk and return)

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th 第5章 風險與收益 的一些專有名詞

1. (單一)持有期收益率 (Holding-period return, HPR)
在特定投資期限之內的 收益率 (rate of return, $r$  )。其定義如下
\[
HPR := r = \frac{EV-BV+D}{BV}
\]其中 $EV$ 表示持有期間的 期末價格 (Ending Value); $BV$ 表示 期初價格 (Beginning Value); $D$ 表示期末配發的 現金股息(Dividend)

多個時期收益率的測量方法
  • 算術平均法 (Arithmetic average)
  • 幾何平均法 (Geometric average)
  • 資金加權平均法 (Dollar-weighted average)

2. 算術平均法(Arithmetic average (of n periods))
對各時期的收益率 $r_i$ 取平均得到平均收益率 $m$
\[
m:=\frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} r_i
\]
3. 幾何平均法 (Geometric average (of n periods))
將各時期的收益率 $r_i$ 取幾何平均(考慮複利的效果)可得幾何平均收益率 $g$ 亦即 $g$ 滿足
\[
 (1+g)^n = (1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)...(1+r_n)
\]
4. 資金加權平均法 (Dollar-weighted average of n periods)
此法可計算出內部收益率(Internal Rate of Return, IRR on an investment)
其概念為應用 現金流折現模型計算內部收益率
\[
PV = \frac{C}{1+IRR} +  \frac{C}{(1+IRR)^2} +...+ \frac{C}{(1+IRR)^n}
\]其中 $PV$ 為現值, $C$ 為現金流, $IRR$ 為內部收益率, $n$為期數




風險與風險溢價 (Risk and Risk premium)

兩種分析收益率的方法: 
  • 對未來預測:使用情境分析 (機率論)
  • 對過去分析:使用歷史資料 (統計學)

4. 情境分析 (Scenario analysis (= events))
列舉一些可能的經濟情況(比如經濟衰退、經濟復甦),接著對每一種經濟情況給定其對應可的發生可能性。
- 在機率論上 情境分析等同 單純給定各種可能的"事件" 並進行分析(=給定機率)。

5. 機率分布 (Probability distribution)
把在情境分析中對所有已給定的事件將其列舉並給定對應的機率。
- 在機率論上 機率分布有嚴格的數學定義,我們在此並不贅述


下圖給出上述情境分析與機率分布一個例子

6. 預期收益率 (Expected return, $\mathbb{E}[r]$)
對於情境分析而言,預期收益率定義如下
\[
\mathbb{E}[r] := \displaystyle\sum_{i=1}^{n} r_i p_i
\]其中 $p_i$ 為情境(事件) $i$ 發生的機率; $r_i$ 為情境(事件) $i$ 的持有其收益率; $n$ 為情境(事件)個數


風險溢價 (Risk Premium) 與 風險厭惡 (Risk Aversion)
-文獻中上述風險厭惡 又稱 風險趨避


風險 (Risk) 
通常由統計上的 變異數 $\sigma^2$ 或者 標準差 $\sigma$ 來描述風險
- 變異數 (Variance):
\[
Var :=\sigma^2= \displaystyle \sum_{i=1}^{n} p(i) (r_i-\mathbb{E}[r])^2
\]
- 標準差 (Standard deviation): $\sigma := \sqrt{Var}$

在金融體系中,常將標準差 (稍作年化處理) 稱作波動度(Volatility)

下圖為1920-2010之間三種資產類別的收益率圖
(1) 大公司股票(Large stocks)
(2) 長期債卷(Long-term bonds)
(3) 國庫卷(T-bills)



注意到上圖大公司股票收益率震動幅度遠遠大過其他兩者,我們說 大公司股票的波動性大過長期債卷與國庫卷。


7. 無風險收益率(Risk-free rate, $r_f$),   
指確定(或者損失風險極低)能夠獲得的收益率
-ex: 國庫卷(Treasury Bills)、大額定存(Certificate Deposits, CDs)

8. 風險溢價 (Risk premium)
超過無風險收益率的超額(預期)收益稱作風險溢價;也就是
\[
Risk \ Premium := \mathbb{E}[r] - r_f
\]
9. 超額收益率 (Excess return)
- 超過無風險收益率 $r_f$ 的收益率
- 超額收益率 有時又稱 超額報酬。

10. 風險厭惡 (Risk Aversion) 
指投資人傾向於不接受風險,也就是說投資人呈現風險厭惡
-風險厭惡系數, $A$
\[
A := \frac{\mathbb{E}[r_m]-r_f}{\sigma_M^2}
\]注意
a. 上式中 $\mathbb{E}[r_m]$ 表示投資人關注的收益率是整體市場組合
b. 上式中的分母為市場收益率的變異數 $\sigma_M^2$ 而波動度(標準差)

11. 夏普指數(Sharpe Ratio, S);又稱 報酬-波動性比 (Reward-Volatility Ratio)
投資組合 (非單一股票!!) 的風險溢價 $\mathbb{E}[r_p]-r_f$ 比上 其標準差 $\sigma_p$;也就是
\[
S:=\frac{\mathbb{E}[r_p]-r_f}{\sigma_p}
\]其中 $r_f$ 為無風險利率。
- Sharpe Ratio 越高,代表越好 (標準差越小,風險溢價越高);一般而言 Sharpe ratio 高於 1 可以視為較佳的投資指標;若高於 2 被視為極為優秀的投資指標。
- 注意: the standard deviation of return is useful risk measures for diversified portfolios but not useful way to think about the risk of individual securities. the sharpe ratio is a valid statistic only for ranking portfolios it is not valid for individual assets.


12. 均值-標準差分析 (Mean-variance analysis)
依據Sharpe Ratio 來給投資組合排序

通貨膨脹與實際收益率

13. 通貨膨脹率 (Inflation rate, i)
透過消費者指數(Consumer Price Index, CPI)的增長率來衡量價格上漲的比率

通貨膨脹率: $i:=\frac{I_1}{I_0} -1$,其中 $I_1$ 為期末消費者指數 $I_0$ 為期初消費者指數。

下圖為1920-2010間的國庫卷利率(看成名義利率)、通貨膨脹率、與實際國庫卷利率(實際利率)。



14.名義利率 or 名義收益率(Nominal interest rate (not adjusted for purchasing power)
尚未經過通貨膨脹率 $i$ 調整的利率


15. 實際利率 與 實際收益率 (Real interest rate) (Real rate of return)
透過通貨膨脹率 $i$ 調整的利率。實際收益率 $r$ 可由下式計算
\[
r:=\frac{EV/I_1}{BV/I_0}-1 = \frac{R+i}{1+i}
\]其中 $I_1$ 為期末消費者指數 $I_0$ 為期初消費者指數; $R$ 為名義收益率。

16. 資產分配(Asset allocation)
再投資類別中進行投資組合的選擇
-ex: 50% 股票 + 50% 債卷 即為一種投資組合,其資產分配到股票與債卷上

17. 完全組合 (Complete portfolio)
整個投資組合由 無風險資產 與 風險資產組成。

18. 資產分配線 (Capital Allocation Line, CAL)
透過對無風險資產 (由無風險利率表示 $r_f$ ) 與 風險資產( 由投資組合的預期收益率表示 $\mathbb{E}[r_p]$ )進行組合分配獲得的收益與風險,將其作圖而得。此圖斜率即為 Sharpe ratio.

-Capital allocation (the choice between risky & risk-free assets)
-Capital market line, CML: (CAL but using market index portfolio as the risky asset)

下圖給出了 常見的標準資產分配線

CAL斜率即為Sharpe Ratio: $S:=\frac{\mathbb{E}[r_p]-r_f}{\sigma_p}$


19. 被動型投資策略(Passive strategy)
不主動對證卷進行分析,主要為透過 買入-持有投資組合(通常為市場指數)的一種投資策略,
- 相對應是 主動型投資策略(Active strategy): e.g., 主動選股並進行個股分析的投資策略

20. 峰度 (Kurtosis) 
峰度衡量 實數隨機變數的峰態 (分布是呈現高山狀 還是 有扁平尾)
-機率論中定義為四階動差(4-th order moment),在此不贅述
Kurtosis of normal is zero.

21. 偏斜度 (Skew)
偏斜度衡量 實數隨機變數 機率分布的 非對稱性
-機率論中 定義為 三階動差(3rd order moment),在此不贅述
If skew <0, it implies the extreme negative value > extreme positive value

22. 風險價值 (Value at risk (VaR)) 
在給定的信賴區間(通常是95%信賴區間)之下,資產投資組合在持有期間內由於市場價格變動所導致的最大預期損失的數值


2013年12月10日 星期二

[投資理論]權證定價(II) - 固定增長股息貼現模型(Constant growing DDM)

[投資理論]權證定價(II) - 固定增長股息貼現模型(Constant growing DDM) 


這次是延續上一次與大家分享 的股息貼現模型(DDM)
 [投資理論]權證定價(I) - 股息貼現模型(Dividend Discounted Model, DDM) 

我們在上一篇文章中有簡介DDM的推導,並於最後提到DDM本身的缺陷 (DDM需要知道任何未來年份的配發股息預期值。但事實上這仍是難以估計),為了克服這個問題,Gordon 教授於1956年 提出外加一個簡化的假設來企圖使DDM可以容易使用:

假設:股息全部由固定增長率來增加

此修正型的股息貼現模型 我們稱作 固定增長股息貼現模型 或者 Gordon 模型

在介紹模型之前,我們得先再回頭看看 Gordon 教授提出的簡化假設到底是甚麼意思?
也就是說什麼叫做 股息全部由固定增長率來增加? 在甚麼樣的情況之下這件事情會成立:

這個問題的答案就是如果某間公司是 所謂的 固定增長公司 (Constantly Growing Firm),則其具備股息為固定增長率來增長。

固定增長公司假設:
  1. 公司無任何負債,也就是說資產-債務表上: 資產 = 股東權益
  2. 公司的 股本權益收益率(Return on Equity, ROE) 為固定常數
  3. 公司的 再投資率(Plowback ratio, b)為固定常數
  4. 公司利潤(Earning) $E_t$、配發股息(Dividend) $D_t$、與股東權益(Equity = Book Value) 全為固定速率增長
也就是說公司增長率:
$g:= b \times (ROE) =  \left ( \frac{E_t}{E_{t-1}}-1 \right )= \left( \frac{D_t}{D_{t-1}}-1 \right) = \left( \frac{BV_{t}}{BV_{t-1}} \right) $
若上述假設成立,則固定增長速率的公司可以讓我們推論:

首先透過會計或者資產-債務表 (balancing sheet)中,可得到初始 帳面價值(Book Value), $BV_{t-1}$

接著,由初始帳面價值 $BV_{t-1}$ 可以計算:

公司的年末利潤: $E_t = BV_{t-1} \times (ROE)$
公司的年末配發股息: $D_t := E_t(1-b)$
公司留存準備再投資的部分利潤: $E_t - D_t = E_t  \times b$
公司年末的帳面價值(=年初帳面價值 + 利潤 - 配發股息): $BV_t := BV_{t-1} + E_t - D_t$

注意:公司增長率: $g := b \times (ROE)$

如果公司滿足上述假設,我們說此公司為 固定增長公司,此時我們便可引入 固定增長股息折現模型(Constant Growth DDM)

其概念如下:
回憶標準DDM
\[
{\color{red}  {P_0 = \frac{\mathbb{E}[D_1]}{1+\mathbb{E}[r]} +  \frac{\mathbb{E}[D_2]}{(1+\mathbb{E}[r])^2}+ \frac{\mathbb{E}[D_3]}{(1+\mathbb{E}[r])^3}+...}}\]

現在考慮公司所配發的股息以固定增長速率 $g$ 增長; i.e.,
\[
D_t = D_0(1+g)^t\]
且令 $k := \mathbb{E}[r]$ 為預期必要收益率 or 市場資本化比率,注意此收益率可由CAPM模型來求得, i.e.,
\[
k:=r_f + \beta (\mathbb{E}[r_{market}] - r_f) \]
將 $D_t$ 與 $k$ 代入標準DDM則我們可以改寫如下
\[
 \Rightarrow  P_0 = \frac{D_0(1+g)}{1+k} +  \frac{D_0(1+g)^2}{(1+k)^2}+ \frac{D_0(1+g)^3}{(1+k)^3}+...\]
透過無窮等比級數公式可知
\[
 {\color{red} { P_0 = \frac{D_0(1-g)}{k-g} = \frac{D_1}{k-g}}} \]
上式即被稱為 固定增長股息貼現模型(Constant growing DDM)  或者 Gordon Model

Comments:
1. 上式如果 $g>k$ 或者 $g=k$ 則Gordon Model失效 2. 注意到我們亦可由Gordon Model 反求(對Gordon Model做簡單的移項即可求得) 預期的必要收益率 or 市場資本化比率 k \[
{\color{red} k = \frac{D_1}{P_0} + g = Dividend \ yield + Capital \ gains \ yield} \]
上式被稱作 現金流折現公式 (Discounted Cash Flow (DCF) Formula)



[整理] 金融名詞-權益證卷的估值

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th 第13章 權益證卷的估值 的一些專有名詞

1. 比較估值法:
此法為透過觀察 “類似”的企業中  其 股票價格 和 各種決定因素 之間的關係,並透過這些關係來推算目標公司的價值。e.g., 比如說要估計 Intel 的股價,可以透過觀察相關的軟體產業 AMD 來大致推估。

2. 帳面價值(Book Value)
根據 資產-負債表(balance sheet) 確定公司普通股的淨值(The net worth of common equity)
-Book to Market Ratio, BM ratio:
$$\text{BM ratio}:= \frac{BV_0}{P_0}$$
3. 清算價格(Liqudation value (per share))
指一家公司出售所有資產,償付所有負債之後,所剩餘(可分配給股東)的現金。

注意比較下列三種價值
-Book Value: accounting value of equity
-Market Value: price per share $\times$ outstanding shares
-Intrinsic Value = fair value = Net present Value of Cash flow;
if Intrinsic Value > Price (mispricing), then we want to BUY!

4. 重置成本(Replacement cost)
指按照當前市場條件,重新取得同樣一項資產所需支付的現金或現金等價物金額。(對一個 設備or資產 如果重買的話會花多少成本)

5. Tobin's q 比率 (Tobin’s q)
由經濟學家James Tobin提出,是一個 市場價值 比上 重置成本 的比率。
$$Tobin's q : = \frac{Market Value}{Replacement Cost}$$-Tobin 認為從長期來看此比率應趨近於1,但實證顯示並無此結果



內在價值與市場價格

6. 內在價值(Intrinsic value) = Fair value = Net present Value of Cash flow;
內在價值 $P_0$ 可由 公司預期的未來淨現金流(expected future net cash flow) 透過 要求收益率(Required rate of return, k)折現 進行估計。

if Intrinsic Value > Price (mispricing occurs), then we want to BUY!

7. 市場資本化比率 (Market capitalization rate, k)
指市場對要求收益率(Required rate of Return, k)的共識。我們稱作市場資本化比率
- (= required rate of return, k which can be determined by CAPM model) = yield to maturity in bond

8. 股息貼現模型(Dividend Discount model)
使公司內在價值 = 公司所有未來預期股息的模型
$$P_0 = \frac{\mathbb{E}[D_1]}{1+k} + \frac{\mathbb{E}[D_2]}{(1+k)^2}+\frac{\mathbb{E}[D_3]}{(1+k)^3}+...$$延伸閱讀: [投資理論]權證定價(I) - 股息貼現模型(Dividend Discounted Model, DDM)

9. 固定增長股息貼現模型(Constant-growth DDM):
DDM + 假設所有配發股息以 固定增長率 $g$ 來成長。
$${ P_0 = \frac{D_0(1+g)}{1+k} + \frac{D_0(1+g)^2}{(1+k)^2}+\frac{D_0(1+g)^3}{(1+k)^3}+...}$$透過無窮等比級數展開可得下式
$$\Rightarrow \frac{D_0(1+g)}{k-g} = \frac{D_1}{k-g}$$其中 $g := b*ROE$, $b$ 為 再投資比率(plowback ratio)

上式稱作 固定增長股息貼現模型 或稱 Gordon Model
注意:固定增長股息貼現模型 只有在 $g<k$ 時有效


10. 股本回報率 (ROE: return on (shareholder) equity) or Return on equity capital)
衡量相對於股東權益的投資報酬之指標,反映公司利用資產淨值產生利潤的能力。

11.  再投資率 or 收益留存率 (Plowback ratio, Earnings retention ratio, b)
指公司收入中用於 再投資 的比率 (不配發股息),通常以 $b$ 表示
$b=0$ 表示公司不進行 再投資 => 公司零增長: $g := 0$

12. 股息支付率 (Dividend payout ratio)
指公司收入中用於配發股息給股東的比率,以 $1-b$ 表示

下圖為(具有增長前景的)公司在兩種配發股息策略的的現金流:

  • 低再投資率(Low reinvestment, = 較低的 $b$ ) 策略會使的公司在起初有較高的股息支付能力 (但較低的股息增長率)
  • 高再投資率(High reinvestment = 較高的 $b$ ) 策略會使得個公司在最終有較高的股息支付能力。






12. 增長機會現值 (Present value of growth opportunities (PVGO))
表示某公司未來投資的淨現值;
PVGO = 每股股票價格 - 零增長情況下的每股價值
$$PVGO = P_0 - \frac{E_1}{k}$$其中 $k$ 為 必要報酬率 (Required rate of Return)

13. 階段股息折現模型 (Two-stage DDM)
分析師為了評估暫時具有高增長率的公司,所引入的一種 多階段股息貼現模型,概念是預期某公司一開始時具備高增長的股息,接著對其計算對應的折現值,一但公司進入穩定增長階段(constant growth),再引入固定增長股息折現模型的進行估值。


P/E Ratio

12.價格收益乘數or市盈率 (Price-earnings multiple)
每股股票價格與每股收益之比, i.e.,
$$\frac{P_0} {E_1} := \frac{1}{k} \left [1 + \frac{PVGO}{E_1/k} \right ] $$注意到當 $PVGO = 0$ 時,上式變成 $\frac{P_0} {E_1} := \frac{1}{k}$
上式亦可進一步改寫為
$$\Rightarrow \frac{P_0} {E_1} := \frac{1-b}{k-b \times (ROE)}$$- 當ROE上升 $\Rightarrow$ P/E Ratio 跟著上升
- GDP 上升 $\Rightarrow$ 高P/E ratio
- lower government bond yield $\Rightarrow$ lower risk-free rate $\Rightarrow$ higher P/E
- higher equity risk premium $\Rightarrow$ higher required return

13. PEG ratio
P/E Ratio 除以 收入增長率 $g$ 的比值
- 一般而言,PEG ratio應等於1.0

12. 收益管理(Earning management)
透過會計準則的靈活性來提高公司獲利能力的方法。
- 收益管理因為會計準則的操作,使得合理的 P/E ratio 難以被準確估計


自由現金流的估價方法

13. 自由現金流估價模型(Free Cash Flow Valuation Model)
適用於沒有配發股息的公司估值。
公司自由現金流 (Free Cash Flow to the Firm, FCFF)由下式計算

FCFF = EBIT $\times$ (1 - tax) - 折舊花費 - 資本支出 - 淨營運資本 
其中 EBIT (Earning before interests and taxes) 為 利息/稅前 利潤

或者可以考慮股東權益所有者的現金流(Free Cash Flow to Equityholders, FCFE)
FCFE = FCFF - 利息支付 $\times$ (1-tax) + 債務淨增加值


Ref: Z. Bodie, A. Kane, A. Marcus, Essentials of Investments 9th.

2013年12月9日 星期一

[整理] 金融名詞-巨觀經濟分析與產業分析

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th
第12章 巨觀經濟分析與產業分析 的一些專有名詞

1. 基本面分析(Fundamental analysis)
對於某公司之價值的一種分析。主要透過尋找各種決定因素來分析該公司價值,比如透過公司未來的收入,或者未來配發的股息。
-top-down 的證卷定價方法:由全球或者國內巨觀經濟開始
-bottom-up 的證卷定價方法:  由特定公司股票開始


2. 匯率(Exchange rate)
本國貨幣兌換其他國家貨幣(外幣)的比率。
-匯率波動 $\rightarrow$ 由外幣定價的商品價格亦會產生波動



國內巨觀經濟的關鍵影響因素

  • GDP
  • 失業率
  • 通貨膨脹率
  • 利率
  • 心理因素
  • 政府政策
    • 財務政策
    • 貨幣政策

利率(Interest Rate, I.R.) 與巨觀經濟之間的關係
-注意到 利率為 股價/債卷 的反向指標
-對公司而言:利率上升 $\rightarrow$  公司貸款利息加重 $\rightarrow$   利潤下降 $\rightarrow$   股票價格下降
-對投資人而言: 利率上升 $\rightarrow$  投資人會把錢從股市抽離轉存銀行或其他金融市場
-對巨觀經濟而言: 利率上升 $\rightarrow$   通貨緊縮 $\rightarrow$   股市資金減少 $\rightarrow$   股價下跌 
相反的如果利率下降 $\rightarrow$   公司貸款利息減輕 $\rightarrow$   利潤上升 $\rightarrow$   股價上升

3. 國內生產總值 or 國內生產毛額 Gross domestic product, GDP
在一段時間內(通常是一年),其國內 生產商品or提供服務 的市場價值(market value)
- typically measure 1 year (annual GDP), sometimes measure quarterly (quarter GDP)
- GDP 如果快速成長 => 該國經濟正在迅速擴張

4. 失業率 (Unemployment rate)
失業率 := 失業人口總數 / 總勞動人口數 

5.通貨膨脹率(Inflation rate)
通貨膨脹率為一個比率,用以表明 商品or服務 總體價格水平的上漲程度。
-政府可以透過 1.提高利率 或者 2.降低 貨幣供給 來抑制通貨膨脹 (製造通貨緊縮)
-企業: 通貨膨脹會導致成本提升 $\rightarrow$   利潤下降

6. 預算赤字(Budget deficit)
政府的支出超過收入稱作預算赤字。
-大量的政府借款 => 抬高利率 => 阻礙企業投資

需求與供給的衝擊


7. 需求衝擊(Demand shock)
經濟體中衝擊 產品需求或者勞動需求 的事件,通常與利率和通貨膨脹率做同向變動
-ex of positive demand shock: reduction of tax rates, increases money supply increases government spending, increases foreign export demand.
-ex: 政府支出增加 $\rightarrow$  資金需求增加 $\rightarrow$   利率上升;若需求超過總生產力$\rightarrow$   cause inflation 
-ex: 對外出口需求增加

8.供給衝擊(Supply shock)
經濟體中衝擊 生產能力和成本 的事件,通常與利率和通貨膨脹率做反向變動
-ex: oil price change, drought, education level.
-ex: 油價上漲 $\rightarrow$   生產成本增加 $\rightarrow$   總輸出減少


巨觀經濟的政府政策:

目標:使經濟趨於零失業率但不引發通貨膨脹。 
  • 財政政策  
  • 貨幣政策

9.財政政策(Fiscal policy)
政府透過 支出(spending)與稅收(taxing) 來達成穩定經濟等特殊目的的政策,是刺激或者減緩經濟發展最直接(但因為行政效率的關係執行緩慢)的方式。

- 透過考察政府預算赤字/盈餘,可以看出財政政策的淨效果:
EX: 巨大的政府預算赤字 $\rightarrow$    "政府支出>>稅收" $\rightarrow$  淨效果就是透過政府的支出提高產品需求/通過稅收減少產品需求 $\rightarrow$   刺激經濟成長
- 擴張型的財務政策(expansionary fiscal policy) $\rightarrow$   增加GDP, 提高利率
- 循環財務政策: Government deficits are planned during economic recessions, and surpluses are utilized to restrain inflationary booms

10.貨幣政策(Monetary policy)  (印錢)
由中央銀行等機構透過影響 貨幣供給 或者 調整利率/貼現率 的政策
-擴張型貨幣政策(expansionary monetary policy) $\rightarrow$  增加貨幣供給 $\rightarrow$  降低短期利率 $\rightarrow$  最終刺激投資/消費需求 $\rightarrow$    股價上升
-間接影響經濟體系,操作容易

-擴張型貨幣政策 + 擴張型財務政策 $\rightarrow$   最陡峭的上升斜率收益率曲線

經濟週期


11. 經濟週期(Business cycles)
經濟衰退(Contraction)與復甦(Expansion)的一種週期 (景氣循環)

12. 波峰(Peak)
由經濟成長開始轉向經濟萎縮的轉折點

13. 波谷(Trough)
由經濟萎縮開始轉向經濟成長的轉折點



14.週期型行業(Cyclical industries)
對經濟狀況的敏感度(high beta stocks) 高於平均 的行業類別 (對景氣循環較為敏感)
Ex: 汽車工業、洗衣機工業,耐用品消費製造業   (因為在景氣較差的時候人們傾向於晚點再買)

15. 防守型行業(Defensive industries)
對經濟狀況的敏感度(Low-beta stocks.) 低於平均 的行業類別 (對景氣循環較不敏感)
Ex: 食品業,醫療/藥品業, 自來水/電力公司等行業.

經濟指標


  • 先行指標(Leading indicator)
  • 同步指標(coincident indicators)
  • 滯後指標(lagging indicators)

16.經濟先行指標(Leading economic indicators)
在經濟週期中預先上升或下降的指標
EX: S&P500股票指數、收益率曲線、最優惠利率(Bank Prime Loan Rate)、貨幣供應量

產業分類


17. 北美產業分類系統碼 (North American Industry Classification System code, NAICS codes)
區分各種工業類別的一種編碼。
-NAICS 前4位數相同的企業一般屬於同一個行業 
(Table 12.5: EX: NAICS編碼為 23xx 開頭 都跟建築業(construction)相關)





18.部門(產業)輪換(Sector rotation)
基於巨觀經濟分析,試圖將現有的投資組合改變到 預期會有較好表現的產業投資組合 的一種投資策略

-下圖顯示各種產業在歷史資料中經濟週期的表現


企業對經濟週期的敏感度三因素

  • 銷售物品的敏感性(Sensitivity): 民生必需品 與 非必需品的販售
  • 營業槓桿(Operating leverage): 固定成本與可變成本的比
  • 財務槓桿(Financial leverage): 債務的使用)
-營業槓桿係數 (Degree of leverage, DOL)

$$ DOL := 1 + \frac{Fixed \ costs}{Profits}$$

產業生命週期


19.產業生命週期(Industry life cycle)
公司走向成熟時期經歷的階段
-創業階段(Start-Up) $\rightarrow$   成長階段(Consolidation) $\rightarrow$   成熟階段(Maturity) $\rightarrow$   衰退階段(Relative decline) (如下圖所示)






Peter Lynch 採用的6種產業分類法

  1. 緩慢成長型(Slow growers): EX: 歷史悠久 (成熟)的大公司
  2. 強壯型(Stalwarts): 著名的大公司 (增長速度快過緩慢成長型) EX: 可口可樂 
  3. 快速增長型(Fast growers): 積極進取的小公司
  4. 週期型(Cyclicals): 銷售與利潤隨經濟週期規則成長或減少的公司EX: 汽車/鋼鐵/建築業
  5. 危機轉變型(Turnarounds): 已破產或者破產邊緣卻能及時逆轉恢復的公司
  6. 資產運作型(Asset Play): 高價值資產公司 (但其資產並未反映在股價上)



繼續閱讀:[整理] 金融名詞-權益證卷的估值

Ref: Z. Bodie, A. Kane, A. Marcus, Essentials of Investments 8th.

[投資理論]權證定價(I) - 股息貼現模型(Dividend Discounted Model, DDM)

權證定價(I) - 股息貼現模型(Dividend Discounted Model, DDM) 

這次要跟大家分享權證定(估)價的基本方法。
不過在分享前,讓我們先處理一個問題。

Q: 我們為何需要估價?
基本想法很簡單:因為如果投資人可以找到某個市場價格偏離"真實"價格的股票。則此時便存在透過 買低賣高 來賺取利潤的機會 (亦即 存在 套利 (arbitrage) 的機會)。

注意到,我們並未定義 "何謂股票的真實價格",一般而言 "真實價格" 指的是某證卷(EX: 股票/債卷...)的 內在價值(Intrinsic Value),而 估價方法(Valuation) 就是要試圖(合理的)找出某證卷的內在價值。

所以現在問題變成
Q: 如何(合理的)找到某證卷的內在價值呢?
這個問題最早是由 John Burr Williams 於1938年提出解決之道,之後由經濟學家 Myron J. Gordon 教授引入一個稱作 股息貼現模型(Dividend Discounted Model)來回答這個問題

股息貼現模型的基本想法如下:
Gordon教授認為
股票的價格應該可由 其未來所有配發的股息 將其折現(discounted)求得。

所以以下我們將逐步推導此模型

現在考慮某股票的初始股價 $P_0$ (我們想要估算此初始股價),
接著考慮一年後股價(price)為 $P_1$,一年後配發股息(dividend)為 $D_1$,則我們可以計算一年後收益率(return) $r$為
\[
r=\frac{P_1+D_1}{P_0}-1
\]不過注意到一年後的股價 $P_1$ 與 一年後配發的股息 $D_1$ 事實上是未知數。因為我們無法準確預測一年後股價or股息會是多少。所以在數學上的取巧方法就是對它們取期望值,表示我們"預期"一年後股價與股息是多少

所以上式中 $P_1$ 由  $\mathbb{E}[P_1]$  取代,  $D_1$  由  $\mathbb{E}[D_1]$  取代。
則此時收益率$r$就變成了"預期"收益率 $\mathbb{E}[r]$ 故我們得到
\[
\mathbb{E}[r]=\frac{\mathbb{E}[P_1]+\mathbb{E}[D_1]}{P_0}-1
\]現在將上式做一點移項,改寫可得 (why? 因為我們想估算股票現在的價格 $P_0$)

\[
\Rightarrow P_0 = \frac{\mathbb{E}[P_1]+\mathbb{E}[D_1]}{1+ \mathbb{E}[r]} \ \ \ \ (1)
\] 注意到上式中,對於一年後的股價 $P_1$ 我們可以用第二年的股價 $P_2$ 與 第二年配發的股息 $D_2$ 來估計,如下:

\[ \mathbb{E}[P_1] = \frac{\mathbb{E}[P_2]+\mathbb{E}[D_2]}{1+ \mathbb{E}[r]}
\]將上式帶入 (1) 式,可得

\[P_0 = \frac{\mathbb{E}[D_1]}{1+ \mathbb{E}[r]} +  \frac{\mathbb{E}[D_2] + \mathbb{E}[P_2]}{(1+ \mathbb{E}[r])^2} \ \ \ \  (2)
\]然後 我們又需要第二年的股價 $P_2$ 的期望值,故可透過
\[ \mathbb{E}[P_2] = \frac{\mathbb{E}[P_3]+\mathbb{E}[D_3]}{1+ \mathbb{E}[r]}
\]將其帶入 (2)中,接著不斷重複上述步驟
可得到股票現值 ${\color{red} P_0}$ 由如下方程式表示 \[ {\color{red}  P_0 = \frac{\mathbb{E}[D_1]}{1+\mathbb{E}[r]} +  \frac{\mathbb{E}[D_2]}{(1+\mathbb{E}[r])^2}+ \frac{\mathbb{E}[D_3]}{(1+\mathbb{E}[r])^3}+...}
\] 上式表明 股票現值應等於所有未來股息的貼現和,我們稱之為 股息貼現模型(Dividend discount model, DDM)

Comments:
此模型雖看似合理,但存在使用上的極大困難。注意到
1. 股息貼現模型的最終表述中我們需要知道任何年份的配發股息預期值。但事實上這仍是無法準確預期。
2. 股息貼現模型的 分母項(貼現項)  $1+\mathbb{E}[r]$  中的 預期收益 $ \mathbb{E}[r]$ 一般而言可由 CAPM 模型進行估計,也就是說
\[
 \mathbb{E}[r] = r_f + \beta(\mathbb{E}[r_M]-r_f)
\]其中 $r_f$ 為無風險收益率, $\mathbb{E}[r_M]$ 為預期的整體市場收益率


總結以上兩點,為了使用上的需求,Gordon 教授於引入了額外的簡化假設(假設股息以固定速率增長),並提出所謂的 固定增長股息貼現模型(Constantly Growing Model),之後我們會在介紹。

繼續閱讀:[投資理論]權證定價(II) - 固定增長股息貼現模型(Constant growing DDM) 

2013年12月7日 星期六

[機率論] 淺談機率公理 與 基本性質

機率公理(Axioms of probability) 是由俄國數學家 Andrey Kolmogorov (1903-1987) 建立。我們的目的主要是簡介此公理系統 並 進而檢驗由此公理系統所衍生的一些性質。

閱讀前建議具備基礎集合論概念。
讀者可參閱此文:[整理] 基礎集合論的數學語言與證明


再談之間機率公理之前我們先思考兩個 隨機實驗:

  1. 從閉區間 $[0,1]$ 之中 任選一個數字
  2. 做無限次的丟銅板實驗

上述兩個實驗,我們每做一次紀錄其 實驗結果 $\omega$,並將每次的輸出結果收集起來,此結果形成一個 樣本空間(sample space) $\Omega$。

對 實驗1 而言,樣本空間即為 $ \Omega :=[0,1]$ ,其 實驗結果記做 $\omega$

對於實驗2,我們可以定義樣本空間為
\[
\Omega_\infty := \{ \text{the set of infinite sequences of Heads' and Tail's}\}
\] 樣本輸出結果 $\omega = \omega_1 \omega_2 ...$ 其中 $\omega_n$ 為第 $n$ 次丟銅版的結果。

那麼如何對上述樣本空間中發生的 "事件" 定義 "機率" 呢? 我們需要 機率空間(Probability space) 的概念:

=====================
Definition: Probability Space
一個 機率空間 (Probability space) 為一個三元素組成的集合記做 $(\Omega, \cal{F}, P)$。其中 $\Omega$ 定義為 實驗結果所形成的 非空集合(又稱為樣本空間),$\cal F$ 為 事件(or 多個事件) 形成的集合,而 $P$ 為一個函數 $P : \cal{F} \rightarrow [0,1]$ 用作指定對應事件的機率。
====================

Comment:
上述定義提及 $\cal{F}$ 又稱 $\sigma$-algebra or $\sigma$-field 滿足下列條件
(i) 對任意子集合 $A \subset \Omega$,若 $A \in \cal{F}$,則 $A^C \in \cal{F}$
(ii) 對任意 countable 子集 $A_1,A_2,... \in \Omega$,若 $A_i \in \cal{F},\;\; \forall i$ 則其 union $A_1 \cup A_2 \cup ... \in \cal{F}$
(iii) $\emptyset \in \cal{F}$ 且 $\Omega \in \cal{F}$

有了上述想法,我們可以開始討論 機率公理:

============================
機率公理(Axioms of Probability):
給定任何 非空集合 $\Omega$ 為 樣本空間(Sample space),接著我們定義一個函數 $P$ 在上述樣本空間  $\Omega$ 的子集合 $\cal F$ 上。則我們稱此函數 $P$ 為一個 機率測度 (Probability Measure) 若此函數能(同時)滿足下列四條公理

  1. 空集合 $\emptyset$ 稱為 不可能發生的事件(Impossible event),此不可能發生的事件(樣本空間上的子集合) 機率為 $0$,亦即 $P(\emptyset)=0$.

  2. (非負性質) 機率 $P$ 為非負值,亦即 對任意事件 $A$而言,$P(A) \geq 0$.

  3. (可數加法性質) 若 $A_1, A_2, ...$ 為兩兩互斥事件 (pairwise disjoint or mutually exclusive),也就是說 對任意 $n \neq m$, $A_n \displaystyle \bigcap A_m = \emptyset $;則

    $P(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)$

  4. 整個樣本空間的機率被稱作 確定事件(sure event) ,此事件發生之機率為1;亦即 $P(\Omega) =1$。
注意到若一個事件 $A \neq \Omega$ 但滿足 $P(A)=1$ 我們說此事件 $A$ 為 幾乎確定事件(almost-sure event)
============================

Comments:
1. 事實上所謂的公理 就是"
你我在理性上認為是對的or直接同意的陳述,換句話說,我們可以把公理看成是無法被證明對錯,但(在你我的理性)被假設為不證自明的一個命題

對於公理1,其實非常直覺,不可能發生的事件 <=> 發生機率為0 (0% 發生)
對於公理4,一定發生的事件 <=> 發生機率為1 (100% 發生)
對於公理2,任意事件發生的機率應該是在0~1之間(非負) (0~100%之間)
對於公理3,可看成若事件本身互斥 (EX: 比如說丟一枚銅板一次,不可能同時出現正面又出現反面,我們就說 出現正面 與 出現反面的事件為互斥事件);則這麼一來,所有可能發生的事件可以看成個別相加。

2. 注意! 機率測度 本質上是一個 "函數" (事件 吐出 某個介於 0到1的 " 數值" ) ;亦即 考慮機率空間為 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 則 機率測度定義為
$P : \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$

其中 $ \mathcal F$ 為 $\Omega$ 的子集合。 (一般稱 $\mathcal{F} $ 為 $\sigma$ - algebra);且 $\mathcal{F}$ 中的元素稱為 事件 "event:"。
對 $\sigma$-algebra 有一點興趣的讀者可以前往閱讀此篇:
[測度論] Sigma Algebra 與 Measurable function 簡介



以下我們介紹一些機率公理的衍生性質:

定義機率空間   $(\Omega, \mathcal{F}, P)$,$A \in \mathcal{F}$ 為事件。則我們有以下結果

FACT 1 : $P(A^c) = 1 - P(A)$
Proof: 
首先觀察 $\Omega = A \cup A^c$ 且 $A $ 與 $A^c$ disjoint。故由 $P(\Omega)= 1$,可知道
\[\begin{array}{l}
\underbrace {P(\Omega )}_{ = 1} = P(A \cup {A^c}) = P(A) + P({A^c})\\
 \Rightarrow 1 = P(A) + P({A^c})\\
 \Rightarrow P({A^c}) = 1 - P(A) \ \ \ \ \square
\end{array}\]

FACT2: (Inclusion-Exclusion Formula)
考慮兩事件 $A,B \in \mathcal{F}$,則我們有
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]Proof: 
首先觀察 \[\left\{ \begin{array}{l}
A = \left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap B} \right)\\
B = \left( {B \cap {A^c}} \right) \cup \left( {A \cap B} \right)
\end{array} \right.\]且上述兩事件 $A,B$ 各自被表為 disjoint union,故其對應的機率為
\[\left\{ \begin{array}{l}
P\left( A \right) = P\left( {A \cap {B^c}} \right) + P\left( {A \cap B} \right)\\
P\left( B \right) = P\left( {B \cap {A^c}} \right) + P\left( {A \cap B} \right)
\end{array} \right.
\]現在觀察
\[\begin{array}{l}
\left( {A \cup B} \right) = \left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {B \cap {A^c}} \right)\\
 \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = \underbrace {P\left( {A \cap {B^c}} \right)}_{ = P\left( A \right) - P\left( {A \cap B} \right)} + P\left( {A \cap B} \right) + \underbrace {P\left( {B \cap {A^c}} \right)}_{ = P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)}\\
 \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) \ \ \ \ \square
\end{array}\]

FACT3: (Monotonicity Property)
考慮兩事件 $A,B \in \mathcal{F}$,若 $A \subset B$ 則
\[
P(A) \le P(B)
\]Proof: 
由 $A \subset B$ 可推知 $B = A \cup {(B \backslash  A)}$ 且 $A$ 與 $B \backslash A$ 為 disjoint,故
\[P\left( B \right) = P\left( A \right) + \underbrace {P\left( {B\backslash A} \right)}_{ \ge 0} \ge P\left( A \right) \ \ \ \ \square
\]

FACT4: (Subadditivity)
考慮 countable 事件 $A_n \in \mathcal{F}, \; \forall \; n \in \mathbb{N}$,則
\[P\left( {\bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}} } \right) \le \sum\limits_{n = 1}^\infty  {P\left( {{A_n}} \right)} \]
Proof:
觀察事件 $\bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}}  = {A_1} \cup \left( {{A_2} \cap A_1^c} \right) \cup \left( {{A_3} \cap A_2^c \cap A_1^c} \right) \cup ...$ 。注意到我們將 countable union 事件  $\bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}} $ 改寫成 disjoint unions,故
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow P\left( {\bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}} } \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2} \cap A_1^c} \right) + P\left( {{A_3} \cap A_2^c \cap A_1^c} \right) + ...\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right) + ... \square
\end{array}\]

FACT5: ( Continuity)
我們稱 機率測度 $P$  對 monotone sequence of events $\{A_n\}$ 連續 若下列任一情況成立:
(i) 若 $A_n \uparrow A$ 且 $A_n \in \mathcal{F}$ 則 $P(A_n) \uparrow P(A)$
(ii) 若 $A_n \downarrow A$ 且 $A_n \in \mathcal{F}$ 則 $P(A_n) \downarrow P(A)$
Proof:
我們只證明 (i):
由於 monotone sequence of events $\{A_n\}$,且 $An \uparrow A$,我們可設
\[{A_1} \subset {A_2} \subset {A_3} \subset ... \subset {A_n} \subset ...
\]接著我們定義新的事件集合 $B_1 := A_1, B_2 := A_1 \backslash A_2, ..., B_n := A_n \backslash  A_{n-1}$ 則我們有以下結果
\[\bigcup\limits_{i = 1}^n {{B_i} \equiv {A_n}} ;\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {{B_i}}  = \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {{A_i} = A}
\]故現在觀察
\[\begin{array}{l}
P\left( A \right) = P\left( {\bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {{B_i}} } \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty  {P\left( {{B_i}} \right)} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {P\left( {{B_i}} \right)}  = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {\bigcup\limits_{i = 1}^n {{B_i}} } \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {{A_n}} \right)
\end{array}\]

2013年12月6日 星期五

2013/12/24 板橋長老教會燭光平安夜

歡迎一同前往 :)
願神的平安常常與我們同在







==========================

相關連結
主日禮拜時間:
《台語禮拜》週日上午09:30~11:00
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2013年12月1日 星期日

[整理] 金融名詞-共同基金與其他投資公司

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th
第4章 共同基金與其他投資公司 ( Mutual Funds and investment companies)  的一些專有名詞

投資公司

1. 投資公司 (investment companies)
將個人投資者的資金投資於眾多股票和其他資產的金融中介機構 (financial intermediaries)。
-基本想法就是 集中資產 實現多樣化。

2. 淨資產價值 (Net Asset Value (NAV))
資產市值 減去 負債 除以 發行在外的股份數
\[
NAV = \frac{Market \ Value \ of \ assets - liabilities}{Outstanding \ shares}
\]


投資公司的類型

  • 單位投資信託 (無管理)
  • 有管理的投資公司
    • 開放式基金: 允許投資人隨時以NAV價格 購買或贖回基金股份
    • 封閉式基金: 交易價格不同於NAV,購買或贖回股份的行為在封閉基金的投資人之間。無法直接對基金公司進行購買或贖回


3. 單位投資信託 (Unit investment trust)
 在基金存續期間之內,投資於 固定 的資產組合,其來源為眾多投資者的資金之集合
-無額外管理 $\Rightarrow$ 管理費用較為低廉
-固定投資組合

4. 開放式基金(open-end fund)
允許隨時以 NAV 購買或贖回 基金股份的一種基金
- 股票可贖回
- 基金股份價格永遠不低於NAV

4. 封閉式基金 (closed-end fund)
交易價格不同於 NAV 的基金,股票可以不按照NAV價格贖回
- 交易價格不同於NAV,在開放市場中交易

5. 銷售費用(load)
傭金的一種,用以購買/銷售共同基金所需支付給賣方的銷售費用
-主要有兩種:一種為前端費用(front-end loads) 一種為後端費用(back-end loads)

其他投資機構

  • 混合基金(Commingled funds)
  • 不動產投資信託(Real Estate Investment Trusts, REITs)
  • 避險基金(Hedge funds)

6. 避險基金 (hedge fund)
對富有的投資人或大型投資機構開放,本身不受 證卷交易委員會(SEC) 的約束。可以投資於比共同基金風險更高的證卷。常見的避險基金交易策略:
  • 槓桿 leverage:額外借入資金進行投資,並預期該證卷價格於未來會上漲
  • 放空 short selling:賣出手中並未持有的證卷,並預期該證卷價格於未來會下跌
  • 避險 hedging:平衡可能的已知風險(通常多透過購入衍生證卷如期貨/選擇權來達成)。
  • 套利 arbitrage:尋找證卷價格中的偏離,來買低賣高獲利。


7. 軟貨幣酬金 (soft dollars)
經紀商為了換取投資經理人業務而免費提供的研究服務 (for research services)
-共同基金的投資經理人可透過使用軟貨幣酬金來對投資人隱藏真實的基金開銷成本

8. 基金週轉率 (turnover rate)
組合交易量相對於組合總資產的比率;用以測量資產組合每年被替換的比例
higher turnover rate => higher transaction cost
\[
Turnover := \frac{Value \ of \ sales}{Portfolio \ Value} =  \frac{Value \ of \ purchases}{Portfolio \ Value} \]

共同基金的投資策略

  • 貨幣市場基金(Money market funds): 投資於貨幣市場證卷 如商業票據、大額定存
  • 權益基金(Equity funds):
    投資於股票市場
  • 特殊行業基金(Specialized sector funds): 投資於特定產業如生物科技、國營企業、貴重金屬等
  • 固定收益(債卷)基金(Bond funds): 投資於固定收益資產如債卷、國庫卷
  • 國際基金(International funds):
     
    投資於國際市場的投資,如全球債卷
  • 均衡基金(Balanced funds): 為投資人個人設計的投資組合,基金中既持有股票也持有債卷並保持一定的權重比率,且不隨意更動此權重比率
    • 組合基金or基金中的基金(fund of funds): 均衡型基金的一種,但主要投資於其他基金的共同基金,不直接投資股票或債券
  • 資產分配基金(Asset allocation funds): 與均衡基金相同,都同時持有股票與債卷,但是會因為投資人對市場表現的預測大幅度的調整投資權重
  • 指數型基金(Index funds): 投資於市場指數的基金 
    • 被動投資策略主要採用此類基金。

共同基金的投資成本

  • 營運費用(Operating expenses)
  • 前端費用(front-end load): 購入證卷時所需付出的手續費或傭金
  • 後端費用(back-end load): 贖回或退出的過程中所收取的費用
  • 12b-1費用 (12b-1)(用於支付促銷(廣告費、刊登費等等)和分配成本的年費)


交易所買賣基金(exchange-traded funds, ETF)

允許投資人項交易股票一樣的交易組合指數的投資組合 (trade index portfolio)
  • 優勢: can be traded during the day, like stock, much lower transaction cost, no load charges, management fees, and minimum investment amounts.
  • 缺點: must be purchased from brokers for a fee, investors incur a bid-ask spread.
  • Example: 台灣50 (0050) 或者 美股 SPY (追蹤 S&P500指數的 ETF) 或者 VTI


2013年11月28日 星期四

[投資理論] 利率 與連續複利 問題

這次要介紹 投資理論中一個重要但又容易搞混的概念:利率 (Interest Rates)

首先是關於 無風險利率 (Risk-free interest rates)
一般而言被當作是無風險利率主要有兩種:
  1. Treasury rates
  2. LIBOR (London Interbank Offered Rate)
Treasury rates:
主要是由投資人購買Treasury securities, e.g., Treasury bond, Treasury notes 所採用的利率。

LIBOR:
中文稱作 倫敦銀行同業拆息 為英國銀行間的短期資金借貸款採用的利率。此利率每個營業日都可能不同。


有了以上的概念之後,我們來思考一件事,就是 Interest Rates 該如何計算?

==================
Example: (Compounding Frequencies matters)
考慮將現金量 $A_0$ 放置某銀行存款,且其年利率 $10 \%$,則一年之後 $A_1$會得到多少錢回來呢??

在回答這個問題之前,必定要先問 此利率的計息次數 (Compounding frequencies) 是怎麼定的。比如說是一年計算利息一次? 還是半年計息一次? 還是三個月計息一次。

以一年計息一次為例,則一年後可得回的金額為
\[ A_1 = A_0 (1 + 10 \%)^1 \]若以一年計息兩次 (亦即半年計息一次)為例,則一年後可得回的金額為
\[ A_1 = A_0 (1 + \frac{10 \%}{2})^2 \]若以一年計息四次 (亦即三個月計息一次) 為例,則一年後可得回的金額為
\[ A_1 = A_0 (1 + \frac{10 \%}{4})^4 \]

現在考慮如果 年利率 $r \%$ 為每年計息 $m$ 次,則一年後可得回的金額為
\[
A_1 = A_0 (1 + \frac{r}{m})^m
\]那麼現在如果 $t$ 年後呢?
\[
A_t = A_0 (1 + \frac{r}{m})^{mt}
\]

有了上述概念之後,我們來考慮如果年利率為 $r \%$,且每年計息 $\infty$ 次,則我們稱此利息為連續複利(continuous compounding interest rate, $r_c$ ),其與前述複利 $r$ 的定義有如下關係:
\[\begin{array}{l}
{A_t} = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {A_0}{(1 + \frac{r}{m})^{mt}} = {A_0}{e^{rt}}\\
 \Rightarrow {A_t} = {A_0}{e^{rt}}
\end{array}
\]也許你會說上述每年計息無窮次根本不會發生,但我們可利用 一年365天每天都計息來逼近也就是說我們取 $m = 365$,則得到的利率會接近上述連續複利的利率,我們將其定義如下:
連續複利的利率 $r_c$ 與 原本利率 $r$ 之間有如下關係:
\[
e^{r_c} := (1+ \frac{r}{m})^m
\]

Comments:
1. 一般而言,我們亦可由微分方程觀點來看連續複利問題:假設在 $t$ 年之後投資人帳戶為 $A(t)$ 則在 $\Delta t$ 年之間時,其帳戶可近似為 $A(t) r \Delta t $ 因此
\[
A(t + \Delta t) - A(t) \approx r A(t) \Delta t
\]現在對上式同除 $\Delta t$ 且令 $\Delta t \to 0$ 則我們可得以下微分方程
\[
A'(t) = r A(t)
\]若假設 $A_0$ 為初始帳戶,則對下列初始值問題
\[
A'(t) = r A(t), \;\;\; A(0) = A_0
\]的解為
\[
A(t) = A_0 e^{rt}, \;\; t\ge 0
\]
2. 注意到跟投資人如果跟銀行借款,那麼一樣要付出利息,計算方法同上。


以下我們提及一個有趣的 規則,稱作 Seven-Ten Rule :

Seven-Ten Rule :每年投資假設利率為 7% ,則大約十年之後資產可以翻倍。每年投資假設利率為 10 % 則大約七年之後資產可以翻倍。

[隨機過程] 隨機過程淺淺談(III) - Brownian motion (or Wiener Process)

這次要介紹的是 隨機過程中一個極為重要的過程,稱作
布朗運動(Brownian motion) or 維納過程(Wiener process)

介紹定義之前先看一下 布朗運動 長什麼樣子
上圖黑線部分即為布朗運動的實現 (Realization);或稱 sample path。
可以發現
  1. Brownian motion 的 sample path 非常不規則(very wiggly),(此不規則性質將導致對任意一處都無法微分)
  2. Brownian motion 隨著時間增大的時候,其散開程度 (之後會用 variance 描述) 越明顯

有了上述直覺之後我們看定義會比較清楚。

以下是 Brownian motion 的定義
===================
Definition: (Standard Brownian Motion or Wiener Process)
一個實數連續時間的隨機過程 $\{ B_t\}_{0 \leq t < \infty}$ 為一個標準布朗運動(Standard Brownian Motion),如果其滿足下列四個性質:

(1) $B_0 =0$ almost surely (亦即: 機率 $P(\{B_0 =0\}) =1$)

(2) 考慮時間區間 $(t_1,t_2], (t_2,t_3],...(t_n,t_{n+1}]$ 互為分離(disjoint)的區間,則其對應的增量增量彼此獨立;亦即對任意 $0=t_0 < t_1 < ... < t_n$,隨機變數
\[
\{ B_{t_1} - B_{t_0}, B_{t_2} - B_{t_1}, ..., B_{t_n} - B_{t_{n-1}} \text{are independent}\}
\](3) 布朗運動的增量服從高斯分佈;亦即$B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,t-s)$

(4) 對 almost every $\omega$ 而言,$t \mapsto B_t(\omega)$ 為連續;亦即
\[
P(\{ \omega \in \Omega: B_t(\omega) \text{ is a continuous function of $t$}\}) =1
\]
===========================

Comments:
1. 注意到性質 (4),布朗運動為"連續"函數,(但處處不可微分;此性質會在之後再作介紹。)
2. 若性質(3) 改為 布朗運動的增量服從高斯分佈;亦即
$$
B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s))
$$ 我們稱此為 Brownian motion (不再是 "standard" Brownian motion),也就是說 $\sigma =1$ 稱為 standard Brownian motion

3. 由於性質(3),布朗運動增量服從高斯分佈,故另外布朗運動還有一個等價定義,
4. 上述 Brownian motion 可透過 MATLAB 進行模擬,有興趣的讀者我們將 MATLAB 程式碼給出如下:



===================
Definition: (Standard Brownian Motion is a Gaussian Process)
一個實數連續時間的標準布朗運動隨機過程 $\{ B_t\}_{0 \leq t < \infty}$ 為一個
mean 為 $E[B_t]=0$ 且 covariance 為 $E[B_s B_t] = s \wedge t$ 的高斯過程(Gaussian Process)
且對 almost every $\omega$ 而言,$t \mapsto B_t(\omega)$ 為連續
===========================

Comment:
1. 對於布朗運動有兩種常見的修正變體,稱作 算術布朗運動 Arithmetic Brownian Motion (ABM) 與 幾何布朗運動 Geometric Brownian Motion (GBM)。有興趣的讀者可以參閱本部落格內相關文章。

現在我們首先看個 Brownian motion 的結果:



==================
FACT 1:
給定 $B_t$ 為 Brownian motion 則 $E[B_t] = 0$ 且 $E[B_t^2] = \sigma^2t$ 以及 $Var[B_t^2]=  E[B_t^2]  =\sigma^2 t$
==================
Proof: omitted (easy to show).


Comments: 除了透過定義求證上述 FACT 之外,我們還有其他方法值得一提:回憶 Brownian motion 滿足 $B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2(t-s))$,故我們可以利用 Moment Generating Function (mgf) 來求得對應的 一階動差 與 二階動差 ,回憶 mgf 定義 我們可寫下
\[{M_{{B_t} - {B_s}}}(q): = E[{e^{q\left( {{B_t} - {B_s}} \right)}}] = \exp \left( {\frac{{{q^2}{\sigma ^2}}}{2}{{\left( {t - s} \right)}}} \right)\]由此不難求得 FACT 1 所給出的待求的各項。




==================
FACT 2:
考慮 $W_t$ 為 Brownian motion,現若給定任意時間 $t_1, t_2$,則其對應的 covariance 為
\[
cov(W_{t_1} W_{t_2}) = \sigma^2 \min(t_1, t_2)
\]==================

Proof
首先注意到給定任意 $t>0$,$E[W_t - W_0] = 0$,亦即 $E[W_t] =0$。現在給定 $t_1, t_2$;在不失一般性情況下我們令 $t_2 > t_1$,由 covariance 的定義可知
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow cov({W_{{t_1}}}{W_{{t_2}}}) = E\left[ {\left( {{W_{{t_1}}} - E\left[ {{W_{{t_1}}}} \right]} \right)\left( {{W_{{t_2}}} - E\left[ {{W_{{t_2}}}} \right]} \right)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{W_{{t_1}}}{W_{{t_2}}}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{W_{{t_1}}}\left( {\left( {{W_{{t_2}}} - {W_{{t_1}}}} \right) + {W_{{t_1}}}} \right)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E\left[ {{W_{{t_1}}}\left( {{W_{{t_2}}} - {W_{{t_1}}}} \right)} \right] + E\left[ {{W_{{t_1}}}{W_{{t_1}}}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \underbrace {E\left[ {{W_{{t_1}}}} \right]}_{ = 0}\underbrace {E\left[ {{W_{{t_2}}} - {W_{{t_1}}}} \right]}_{ = 0} + E\left[ {{W_{{t_1}}}^2} \right]
\end{array}\]最後一行等號成立由於 Brownian motion 的 independent increment,故現在我們有
\[cov({W_{{t_1}}}{W_{{t_2}}}) = E\left[ {{W_{{t_1}}}^2} \right] = E\left[ {{{\left( {{W_{{t_1}}} - {W_0}} \right)}^2}} \right] = {\sigma ^2}{t_1}
\]
注意到如果我們當初讓 $t_1 > t_2$,則有 $cov(W_{t_1}W_{t_2}) = \sigma^2 t_2$,故總結如下:
\[
cov(W_{t_1}W_{t_2}) = \sigma^2 \min(t_1,t_2). \ \ \ \ \ \square
\]





後記:布朗運動性質與相關研究 非常非常廣泛,有興趣讀者可以閱讀 Stochastic Process/Stochastic Calculus  或者 Advanced Probability 相關書籍或者論文。


2013年11月24日 星期日

[隨機過程] 隨機過程淺淺談(II) - 波松過程 Poisson process

這是要介紹的是 波松過程 (Poisson Process),他其實就是我們之前介紹的 計數過程(Counting process) 的一種 (詳見 隨機過程淺淺談(I) - 計數過程Counting process)

那麼我們先把定義給出

===========================
Definition: (Standard Poisson Process)
我們把一個計數過程 $\{ N_t, t \geq 0 \}$ 稱做 波松過程 如果下列三個條件滿足:
  1. $N_0=0$ (with probability 1),也就是說 $N_0$ 是一個常數 $0$ 隨機變數
  2. 對任意有限時間點 $0 \leq s < t < \infty $,其計數增量(increment) $N_t- N_s$ 是一個 波松 隨機變數 (Possion random variable) 伴隨 參數為 $\lambda (t-s)$;也就是說其 機率質量函數:\[ P(N_t-N_s=k) = \frac{[\lambda(t-s)]^k e^{- \lambda (t-s)}}{k!}, k=0,1,2...\]且計數增量的期望值 $\mathbb{E}[N_t-N_s]=\lambda(t-s)$ 其 變異數為 $var(N_t-N_s)=\lambda(t-s)$上式中的 $\lambda$ 代表 波松過程的 發生率(rate) 或者 強度(intensity)
  3. 如果考慮時間區間 $(t_1,t_2], (t_2,t_3],...(t_n,t_{n+1}]$ 為分離(disjoint)的區間,則其對應的增量
    $N_{t_2} - N_{t_1}$ , $N_{t_3}-N_{t_2}$,...$N_{t_{n+1}} - N_{t_n}$ 全為獨立(independent)。也就是說 波松過程 具備 獨立增量(independent increment),也就是在分離時間區間中的發生次數互為獨立
===========================

下圖顯示了 one sample path of Poisson process (jump time $S_1, S_2,...$)


===========================
FACT: Mean and Variance of Poisson Increment
令 $0 \le s < t$ 試證 $E[N_t - N_s] = \lambda (t-s)$
===========================

Proof:
注意到由於給定 $s,t$ 故 $N_t - N_s$ 可視為隨機變數,由期望值定義出發,\[\begin{array}{l}
E[{N_t} - {N_s}] = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {kP\left( {{N_t} - {N_s} = k} \right)} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {k\frac{{{{[\lambda (t - s)]}^k}{e^{ - \lambda (t - s)}}}}{{k!}}} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \lambda (t - s){e^{ - \lambda (t - s)}}\underbrace {\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{{\lambda ^{k - 1}}{{(t - s)}^{k - 1}}}}{{\left( {k - 1} \right)!}}} }_{ = {e^{\lambda (t - s)}}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \lambda (t - s){e^{ - \lambda (t - s)}}{e^{\lambda (t - s)}} = \lambda (t - s)
\end{array}\]上式最後第 3 個等號利用下面的 FACT
\[{e^x} = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{{x^k}}}{{k!}}}  = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{{x^{k - 1}}}}{{\left( {k - 1} \right)!}}} \]


===========================
FACT: Second Moment of Poisson Increment
令 $0 \le s < t$,$E[(N_t - N_s)^2] = \lambda^2 (t-s)^2 + \lambda (t-s)$
且 $Var(N_t- N_s) = \lambda (t-s)$
===========================

Proof: omitted.


===========================
FACT: Martingale Property for Compensated Poisson Process
令 $N_t$ 為 Poisson process with intensity $\lambda$, 定義 compensated Poisson process $M_t := N_t - \lambda t$ 則 $M_t$ 為 Martingale
===========================

Proof (sketch):
在此只檢驗 Martingale 性質 (i.e., 要證 $E[{M_t}|{F_s}] = {M_s}$),其餘性質留給讀者檢驗:
注意到 $N_t - N_s$ 與 $F_s$ 獨立 且 $E[N_t - N_s] = \lambda (t-s)$,故觀察
\[\begin{array}{l}
E[{M_t}|{F_s}] = E[{N_t} - \lambda t|{F_s}]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E[{N_t}|{F_s}] - \lambda t\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E[\left( {{N_t} - {N_s}} \right) + \left( {{N_s} - {N_0}} \right)|{F_s}] - \lambda t\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E[\left( {{N_t} - {N_s}} \right)|{F_s}] + E[\left( {{N_s} - {N_0}} \right)|{F_s}] - \lambda t\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = E[\left( {{N_t} - {N_s}} \right)] + {N_s} - \lambda t\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \lambda \left( {t - s} \right) + {N_s} - \lambda t = {N_s} - \lambda s = {M_s}
\end{array}\]


Example 1
對任意 $t>0$,試計算 $E \left[C^{N_t}\right]$,其中 $C>0$ 為固定常數 且 $\{N_t\}$ 為 standard Poisson process

Proof:
固定 $t>0$ 注意到 $N_t$ 為隨機變數,不再是 隨機過程 ;故利用期望值定義,$$\begin{array}{l}
E[{C^{{N_t}}}] = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{C^k}P\left( {{N_t} = k} \right)}  = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{C^k}{e^{ - \lambda t}}\frac{{{{\left( {\lambda t} \right)}^k}}}{{k!}}} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = {e^{ - \lambda t}}\sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{{{\left( {C\lambda t} \right)}^k}}}{{k!}}}  = {e^{ - \lambda t}}{e^{C\lambda t}} = {e^{\left( {C - 1} \right)\lambda t}}
\end{array}$$


Example 2
現考慮一個光感測器,其光電子(photoelectrons)服從波松過程,且每分鐘以速率 $\lambda$ 從光感測器射出。現在試問 在對任意 兩個連續分鐘間隔,有超過5個光電子被射出的機率是多少?

Sol
第一步先把文字轉為數學機率問題
令 $N_t$ 表在時間 $t$ 時,光電子被射出的個數 (此 $N_t$為 Random Variable)

現在考慮 兩個 連續分鐘時間間隔分別為 $t_0$ ~ $t_1$, $t_1$ ~ $t_2$,
則 在任意兩個連續分鐘時間間隔 有超過五個光電子被射出的機率可寫成
$P(\{N_{t_1}-N_{t_2} >5\} \cap \{N_{t_2 }- N_{t_1} >5\})$

接著,由於其服從波松過程,故可知 時間間隔為獨立 且 $N_t - N_s$ 為波松隨機變數,故上式改寫為
\[
P(\{N_{t_1}-N_{t_2} >5\})P(\{N_{t_2} - N_{t_1} >5\}) \]
其中 \[\begin{array}{l}
P(\{ {N_{{t_1}}} - {N_{{t_2}}} > 5\} ) = 1 - P(\{ {N_{{t_1}}} - {N_{{t_2}}} \le 5\} )\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = 1 - \sum\limits_{i = 0}^5 {\frac{{{{[\lambda ({t_2} - {t_1})]}^k}{e^{ - \lambda ({t_2} - {t_1})}}}}{{k!}}} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = 1 - \sum\limits_{i = 0}^5 {\frac{{{{[\lambda  \times 1]}^k}{e^{ - \lambda  \times 1}}}}{{k!}}}
\end{array}\]最後一行等式成立是因為間隔一分鐘,所以 $N_t - N_s =1$ 最後將兩個機率寫出來,可知
$$P(\{N_{t_1}-N_{t_2} >5\} \cap \{N_{t_2} - N_{t_1 }>5\})=\left( 1-\sum_{i=0}^{5}\frac{[\lambda]^k e^{- \lambda}}{k!} \right)^2$$

====
[數學] 隨機過程淺淺談(0)-先備概念
[數學] 隨機過程淺淺談(I) - 計數過程Counting process
[數學] 隨機過程淺淺談(III) - 布朗運動 or 維納過程 (Brownian motion or Wiener Process)

2013年11月23日 星期六

[分享] 聖靈感動、方言與積極態度的討論

此文為個人回覆會友對於 "聖靈感動、方言與積極態度" 等等 的討論
以及個人一些看法
===================
Question:
認識一些人他們聚會說那聖靈充滿,然後一些人會有許多倒地失控的狀態,或者強調導告要說方言才算聖靈充滿,對這些我一直在腦中打問號,可是如果當我們說一些不完全支持的言論,感覺這些人就防衛了起來,然後認為是我們不懂⋯這是否合聖經教導呢?
---------------------
ANS:
我要強調一點,因為聖靈在我捫心中動工,也許當下自然而然有感動流淚,這當然很好。

但這絕對不代表 沒有感動流淚 就是聖靈沒動工,就是聖靈不同在。
更 不代表沒有說方言、沒有跟著倒下、沒有翻滾、沒有呼天喊地 就是聖靈不同在

--------------------------------
額外關於方言與聖靈的解說:

要知道聖經對這方面是非常保留的。使徒保羅曾說:要說方言可以,旁邊的人要能"解"方言,如果不能解,不過就是一堆奇怪的嗓音鬼扯+自high罷了..
.
林前12:10 又叫一人能行異能,又叫一人能作先知,又叫一人能辨別諸靈,又叫一人能說方言,又叫一人能翻方言。

林前12:28 神在教會所設立的:第一是使徒,第二是先知,第三是教師,其次是行異能的,再次是得恩賜醫病的,幫助人的,治理事的,說方言的。

林前12:30 豈都是得恩賜醫病的嗎?豈都是說方言的嗎豈都是翻方言的嗎

又說

林前14:13 所以那說方言的,就當求著能""出來。
.
林前14:19 但在教會中,寧可用悟性說五句教導人的話,強如說萬句方言。

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以下關於積極不積極的討論
.
我反對成功神學 但我支持應該要有積極態度
差別在哪? 差別在於 成功神學認為你只要信了耶穌就能解決所有問題 直接轉職昇天(到底在信什麼都搞不清楚? ..)

但我所謂的積極態度是指,在面對各種挑戰/苦難/疾病/貧乏 也能繼續勇敢面對的態度!這是本分問題。我們本來就要努力過每一個日子。因為聖經很明白的寫了

提前4:10 我們勞苦努力,正是為此,因我們的指望在乎永生的神;他是萬人的救主,更是信徒的救主
.
太11:12 從施洗約翰的時候到如今,天國是努力進入的,努力的人就得著了。
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願神幫助我們

[分享] 宣告、吸引力法則等等,是自我催眠或是真有功效?

此文為個人回覆會友對於 "宣告、吸引力法則等等禱告策略 的討論
以及個人一些看法

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Question : 
宣告、吸引力法則等等,到底是自我催眠或是真有功效⋯?
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ANS:
以歸正神學的角度來看,必須要很嚴正的說 關於一切這類
【宣告、吸引力法則、方言、內在醫治、幻視成真、正面積極思想、聖靈充滿+淚流滿面地上翻滾、生病/遭禍全都怪到魔鬼撒旦身上、被牧者按手就撲倒在地,沒倒還會被說不屬靈、或者各種稀奇古怪用感情超過理性的敬拜方式】

上述泛屬成功神學的教導,都是非常 "不" 正確的 (這邊正確標準只有一個,就是以聖經作為標準) 。追求神的真道不該是讓 感情超過理性,不過現今教會還是 太多太多人在吹捧類似的教導。因為

1. 人們愛聽成功、積極、正面 的教導、最好就是那種專講 信耶穌就百病得醫治、錢財滾滾來、諸事大吉之類的廢話... (但聖經明明就寫人生在世會有苦難 怎麼不提呢?)

2. 人們愛聽上帝的 愛與憐憫,卻不喜歡聽上帝的罪與罰,最好就是專講 犯罪沒關係,反正神愛我 (但聖經明明除了寫 神的愛與憐憫 更有寫著 "神的公義" 怎麼不提呢?);以歸正神論或者聖經的觀點而言,要知道基督徒之所以為基督徒,是因為在萬世以前就受神蒙恩受揀選,但因為我們都是罪人,如果沒有神的憐憫。得到神的公義 不過就是剛好而已。

3. 世人不要神,只想要世界的成功 (想要控制神讓自己成功)



這是人之常情,但卻是我們亟需努力操練的部分,願主幫助我們;


後記:
雖然筆者自認懂的聖經/神學實在是少得可憐,但對於正面積極思想/成功神學 這塊的反對卻是極為肯定。想要親自認識神國的道理? 真的,先好好自己拿起手邊的聖經開始讀,好好思想。千萬不要因為某某牧師的名氣;或者所說的道理剛好很合你心,就開始盲目的跟從。神賜給我門智慧,是要我們自己去追尋真理,去真實的認識神,去明辨是非對錯。絕非單單盲從。

如果有心想要了解 "歸正神學" (簡單說就是 凡事回歸聖經、強調罪與悔改,用聖經當作標準來檢驗各事的神學);不過這種神學對於現今時代其實非常的不討喜,因為很容易讓聽的人不開心or不如聽成功神學開心。有興趣 也許有機會我們可以再多多討論

願神的道 光照我們
因為經上記著說:你們必曉得真理,真理必叫你們得以自由 (約翰福音8:32)

2013年11月22日 星期五

[隨機過程] 隨機過程淺淺談(I) - 計數過程Counting process

首先給出 計數過程( Counting Process )的定義如下

========================
Definition: Counting Process
我們說一個 計數過程 $\{N_t, t \geq 0\}$ 是一個從時間 $0$ 到現在時間 $t$ 計算某事物發生次數的 隨機過程
========================

注意定義中所指的事物可以想成表示為任何可以計數的事,其在 時間 從 $0$ 到 $t$ 發生的次數 我們把他叫做 $N_t$ (你也許會問,為何要叫 $N_t$ 其實很簡單就是英文 Number 的縮寫

舉例來說,我們可以把 $N_t$ 想成某網站從開站至今的點擊次數;或者汽車通過收費站的次數

好了,這個定義其實不是很直覺,我們來看張 計數過程 示意圖也許會清楚一點

上圖中橫軸是時間 $t$,縱軸是某事件發生到該時間的(累計)次數 $N_t$, 觀察上圖,我們可以發現一些現象
  1. 階梯狀的計數,表示次數逐漸增加(每計數一次就 $+1$)
  2. 時間 $T_i$是隨機的,也就是 計數過程 隨機的部分是在於我們不知道某事件到底會在什麼時候發生
  3. 計數過程 是右連續(簡單說就是 上圖對任易計數的右方逼近可以得到實黑點EX: 在時間 $T_2$ 計數為 $2$ 不是 $1$)

Comments
1. 現在假設 給定我們關心的計數時間為 $0 \leq t_1 \leq t_2 < \infty $ (也就是說我們不考慮無窮久的情況),然後我們想要知道在時間 $t_1$ 與 $t_2$ 之間,我們所關心的某事物(比如網站點擊率)發生的次數有多少。那麼我們該如何計算呢?

由前方定義我們知道 $N_{t_2}$ 表示的是在 時間從 $0$ 到 $t_2$ 發生的次數
同樣的, $N_{t_1}$ 表示的是在 時間從 $0$ 到 $t_1$ 發生的次數

所以如果我們把 $N_{t_2}$ 與 $N_{t_1}$ 相減,也就是 $N_{t_2} - N_{t_1}$,那我們得到的就是 在時間從 $t_1$ 到 $t_2$ 的發生次數 (看圖)

2. 我們把 $N_{t_2} - N_{t_1}$ 叫做 計數過程的 增量(increment)


[延伸閱讀]
[數學] 隨機過程淺淺談(0)-先備概念
[數學] 隨機過程淺淺談(II) - 波松過程Poisson process
[數學] 隨機過程淺淺談(III) - 布朗運動 or 維納過程 (Brownian motion or Wiener Process)

[Ref: J. A. Gubner, Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers, Cambridge, 2006]

2013年11月20日 星期三

[整理] 金融名詞-證卷市場

以下為整理BKM- Essential of Investment 9th  的一些專有名詞

公司如何發行證卷?

  • 首次公開募股(Initial Public Offering, IPO)
  • 增發(再次發行)


1. 一級市場 (Primary markets)
用於發行新證卷的市場,通常由 投資銀行(investment banker) 進行證卷發行
-IPO 與 增發 皆在此市場完成

2. 二級市場 (Secondary markets)
投資人買進/賣出已發行之證卷所在的市場稱為二級市場 (investor trading issued securities, after IPO, for already-existing securities)
-corporation sell stock in primary stocks, while investors buy stock from other investors in the secondary market

3. 承銷商 (underwriter)
從發行公司處購買證卷並將證卷再次販售出去的公司

下圖顯示了在證卷發行過程中,發行公司、主要承銷商、與公眾之間的關係


4. 募股說明書(Prospectus)
對公司及其發行股票的描述,須由證卷交易委員會(SEC)批准

5. 私募(Private placement)
不公開的首次發行,公司股票直接被出售給一小部分的機構或者富有的投資者。

6. 首次公開募股IPO (the first time a company sells stock to public)
-SEO (seasoned equity offering, an issuance of stock has already undergone an IPO)

交易市場的種類

  • 直接交易市場(Direct search markets): ex: used car, used refrigerator, rare coins
  • 經紀人市場(Brokered markets):ex: real estate, primary market, block trading (the developing country use this market)
  • 交易商市場(Dealer markets)ex: bonds trade in OTC market, used car, rare coins
  • 競價拍賣市場(Auction markets)



7. 交易商市場(Dealer markets)
在該市場中交易商專注於某種特殊資產,並用自己的帳戶買賣該種資產
-交易商購買(bid)價格 與 出售(ask)價格的價差(Bid-Ask spread)是其利潤來源
-Ask price (you buy, dealer sale)
-Bid price (you sell, dealer buy)
-Bid-Ask spread: Ask-bid的價差
-Percentage spread:
\[
Percentage \ spread := \frac{Ask-Bid}{(Bid+Ask)/2}
\] -EX: 場外交易OTC


8. 競價拍賣市場 (Auction market): 
所有交易者聚集在一處進行資產買賣的市場
-鄭和最好的證卷交易市場
(ex: NYSE, OTC dealer market, 2nd market stock exchang)

交易指令的類型

  • 市場指令(Market orders)
  • 價格附帶執行指令(Price-contingent orders)
    • 限定價格購買(賣出)指令(limit buy (sell) order)
    • 止損指令(stop order)

9. 市場指令(Market order)
立即以當前的市場價格執行買入或者賣出的指令
-無執行的不確定性但有報價價格的不確定性。

9. 止損指令(Stop order)
在股價達到限定水平之後才會執行的指令


交易機制

  • 交易商市場網路(場外交易市場)
  • 電子通信網路
  • 專家經紀商市場網路

10.場外交易市場(Over the counter, OTC)
由經紀商與交易商組成的非正式網路,該市場的交易價格由此兩者協商。

11. 電子通信網路ECNs
允許直接交易而無須經由造市商的電子交易網路
-High-frequency trading

12. 專家經紀商 (Specialist)
為一家或以上的公司股票做市的交易商,並透過自買自賣維持公平而有效的市場

美國證卷市場

  • 那斯達克證券市場(Nasdaq Stock Market, NASDAQ) (www.nasdaq.com)
  • 紐約證券交易所 (New York Stock Exchange, NYSE) (www.nyse.com)
  • 美國證券交易所 (American Stock Exchange, AMEX) (www.amex.com)

13. 股票證卷交易所 (Stock exchanges)
為一種二級市場,其會員之間 在此交易已經發行的證卷。

14. 網路延遲(latency)
-low latency = low delay.

新的交易策略

  • 演算法交易策略(Algorithmic trading):
    透過電腦程式的幫助來達成快速交易決策
    • 高頻率交易策略(High-frequency trading): 演算法交易策略的一種,但依賴電腦做出非常快速的交易決策
  • 大宗匿名交易(Dark Pools)
    • 大宗交易(Blocks): 大量交易(一般而言超過一萬股的買賣)
    • 大宗匿名交易(Dark Pools): 
  • 債卷交易

保證金信用購買

15. 保證金信用購買 (Buy on Margin)
通過部分從經紀商借款的方式來購買證卷,保證金為投資人帳戶的淨值。
\[
Margin_{buy} := \frac{ \text{ Equity in account }}{ \text{Value of  stock} }
\]

賣空

16. 賣空(short sale)
投資人出售從經濟商借來的證卷 (投資人自己本身沒有證卷),之後在從市場上購買並還清借來的證卷 (非現金)
-此法用於預期股票即將下跌,故可以用一個較低的方式來購入原先以較高價格賣掉的股票並將其還給經紀商,從中取得利潤
-常與 stop buy 指令合併使用
\[
Margin_{short} := \frac{\text{Equity  in  account}}{\text{Value of  shares owed (debt)}}
\]

NOTE: 在金融市場中,shorting = selling = writing 三者等價。指賣出

2013年11月8日 星期五

[投資理論] 效率市場假設

效率市場假設(Efficient Market Hypothesis, EMH)

今天想跟大家分享一下投資理論(Investment Theory)中的 「效率市場假設」。

簡單的說,這是一個對於金融市場的"假設" (也就是還在爭執中,並非已經被證實的定理)。
那麼既然不過只是個假設為什麼要了解他呢? 因為效率市場的行為確實在某種程度上存在,特別是在已開發國家的金融市場中。以及競爭激烈的 Wall street。

以下我們先看個例子 [1]
下圖為2002年,J.A. Busse and T.C. Green, 發表的文章: Market Efficiency in Real Time, Journal of Financial Economics,指出了一個很有趣的發現,也就是他們觀察美國 CNBC TV 午間評論中,當日被評論提及的公司平均股價,對於消息發布的時間反應圖


橫軸(Minutes relative to mention)
為消息發布後的時間(0表示消息發布的當下,10表示消息發布的10分鐘後)。
縱軸(cumulative return (%))
為被評論提及的公司平均股價的收益
實線(Midday-Positive)
代表如果CNBC評價為正面時,出現在正面評價報導中的公司平均價格反應,
虛線(Midday-Negative)
代表CNBC評價為負面時,出現在正面評價報導中的公司平均價格反應。

可以看出在 15 分鐘左右消息就已經反應在股票價格上面 (正面評價的平均股價收益大約 5分鐘以內就已經進入穩態,負面消息的平均股價收益在12分鐘之後還持續下降? 也許壞消息傳的比較慢 :-) )

---
由上述的例子可以看出,效率市場假設 傳遞出一個概念
任何可得的 資訊/消息/情報,全部都應(立即)反映在金融商品的市場價格上

那麼甚麼是 "效率" 市場

所謂的效率 意指 市場反映出 "可得資訊" 的程度。然後效率市場假設任為金融商品的市場價格全部都由"可得訊息"反應出來。

依照資訊可得的程度分類,可以分成不同等級的效率市場假設
  1. 弱-效率市場假設 (Weak-form EMH): 假設所有可得的資訊 僅為過去金融市場交易的歷史資料。(便宜低廉,且所有人都非常容易獲得)
  2. 半強-效率市場假設 (SemiStrong-form EMH): 假設所有可得的資訊包括過去交易歷史資料以及各公司的財務資料、政府機構的各種向大眾公開的資料皆涵蓋其中。
  3. 強-效率市場假設 (Strong-form EMH): 是最強烈的假設,此假設涵蓋所有可能的資訊都反映在市場價格上(包含內線交易的資訊也涵蓋在其中)
那麼這有甚麼用呢??
首先,如果效率市場是正確的,也就是說效率市場確實存在
所有可得的資訊都會反應到金融商品的市場價格。那麼下列推論成立
  • 1. 金融商品價格呈現隨機漫步 (Random walk),因為所有資訊已經反應在價格上面,過去的資訊已經也反映出來,也就是說沒有人可以"預測" 未來的金融商品走勢
  • 2. 技術分析 (Technical Analysis) 失效 (因為金融商品價格服從隨機漫步,無法用任何圖形識別或者各樣技術分析來預測,也就是說看圖說故事的大師們都是錯的)
  • 3. 基本面分析 (Fundamental Analysis) 失效 (因為所有公開資訊已經反應在價格上,提升收益)
  • 4. 行為金融學 (Behavioral Finance) 失效 (因為效率市場中的投資人為理性)
  • 5. 被動投資策略 (Passive investment)為最佳投資組合(市場指數為最佳投資組合)
  • 6. 主動投資策略 (Active investment) 失效: (選擇特定股票方式/共同基金 永遠會敗給市場指數)

可以看得出來上面效率市場假設完全反對 
技術分析/基本面分析/主動投資/

那麼這是否是真的呢? 效率市場是否存在呢?
如果是? 那麼 股神 Warren Edward Buffett 靠著基本面分析成為億萬富翁,難道不是一個證據說明市場並非效率市場嗎?

事實上,市場具備某種程度的效率,但並非超級效率 (強效率市場假設失效)
目前學界多認為市場呈現的是 弱 or 半強式 效率市場假設


這類相關的問題其實非常有趣。也許有空我們在多聊聊。

Reference
[1]: Bodie, Kane, and Marcus, Essentials of Investments, 9th, Chapter 8


2013年11月1日 星期五

[隨機過程] 隨機過程入門-先備概念

此文主要介紹隨機過程的定義,基本上建議讀者需要先對機率論有一些基本了解。比如說如果有一點 隨機變數 (可測函數) 與 $\sigma$-algebra 的基本認識,那麼在之後接觸較為抽象的概念時會比較容易上手,有興趣的讀者請參閱此文:[測度論] Sigma Algebra 與 Measurable function 簡介


隨機過程 在概念上其實並不複雜(雖然數學上很複雜...),簡單說就是把很多的隨機變數蒐集起來並加上時間指標。嚴格來說:隨機過程 (Random process) or (Stochastic process) 是一個 隨機變數的集合(家族),一般通常可分為 離散時間 與 連續時間 的隨機過程來討論。


========================
Definition: 離散時間 隨機過程 (Discrete-time stochastic process)
一個離散時間隨機過程是隨機變數 $\{X_n\}$ 的集合,其中 $n$ 的範圍落在給定的整數集合中 ($n$ 想成是(離散的)時間指標)。
========================

Example
比如說下列都是離散時間隨機過程
$\{X_n, n=1,2,...\}$ 或者 $\{X_n, n=0,1,2,...\}$, 或者 $\{X_n, n=0, \pm 1, \pm2,...\}$


Comments:
1. 隨機變數 既不隨機也不是變數,他的本質是一個函數!!
2. 上述定義中,隨機變數 必須定義在機率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$
因為 隨機變數是一個定義在樣本空間 $\Omega$的函數,我們可以有兩種方法來看待 $X_n(\omega)$
  1. 將 $n$ 固定住,則 $X_n(\omega)$ 為 $\omega$ 的函數 且為一個隨機變數
  2. 將 $\omega$ 固定住,則 我們可以得到一系列的數 $X_1(\omega), X_2(\omega), ...$此系列稱作對一個隨機過程的 實現(realization),或者稱作 隨機過程的取樣路徑(sample path),或者 隨機過程的取樣函數(sample function)
先看張圖感受一下甚麼是隨機過程的實現:
上圖為五種不同的 離散隨機過程 (或稱 時間序列) 的sample path。
White: White Noise
RWD: Random Walk with Drift
DT: Deterministic Trend + White noise
IMA (1,1): Integrated moving Average
ARMA (1,1): Autoregressive moving Average

======================
Definition: 連續時間 隨機過程(Continuous-time stochastic process)
一個連續時間隨機過程是隨機變數 $\{X_t\}$ 的集合,其中 $t$ 的範圍落在給定的區間之中。($t$ 想成是(連續的)時間指標)
======================

Example
比如說下列都是連續時間的隨機過程

$\{X_t, t \geq 0\}$, 或者 $\{X_t, 0 \leq t \leq T\}$, 或者 $\{X_t, -\infty < t< \infty\}$


Comments:
1. 令 $\cal{T}$ 為 index set,隨機過程 $\{X_t, t \in T \}$ 視為一個雙變數函數;亦即
\[
\{X(t, \omega), t \in T, \omega \in \Omega \}
\]其中 $\Omega$ 稱為 sample space。

2. 一般而言,財務市場中的 股票價格波動 $S_t$ 通常被視為連續時間 隨機過程 (的實現 !)一般以 Geometric Brownian Motion (一種 隨機微分方程(Stochastic Differential Equation, SDE) 來描述股價。
\[
dS_t = S_t \mu dt + S_t \sigma dB_t
\]其中 $\mu$ 為股市飄移項, $\sigma$ 為波動項, $B_t$ 為標準布朗運動 (為一個極為重要的隨機過程)。不過在此我們不贅述太多細節。現在我們可以用例子來看看,下圖為 IBM 2008年1月 - 12月的 每日股價走勢 (一年共252個交易日,故橫軸為$ t=0, ..., 252$),可以感受一下


另外在此列舉幾類特殊隨機過程

  1. 平穩過程 (Stationary Stochastic Process)
  2. 鞅 (Martingale)
  3. 馬可夫鏈 (Markov Chain)

大部分可被分析的隨機過程皆落在上述三類之中,有興趣的讀者可以搜尋本 Blog 其他文章或者閱讀相關論文/書籍 做進一步了解。


隨機過程的描述

有了前面的粗淺概念與定義,現在我們想要更進一步描述隨機過程。首先回憶對於單一隨機變數 $X$ 而言,如果我們知道其 機率密度函數 (probability density function )或者 知道機率質量函數 (probability mass function, pmf),則我們可以得知 對任意集合 $B$  的機率 $P(X \in B)$ 或者 給定任意函數 $g$,其對應的期望值 $E[g(X)]$。亦即此 隨機變數 $X$ 的特性被完整描述。

現在若我們考慮一組 隨機變數 $(X,Y)$ 而言,假設已知其 joint pmf 或者 joint density 則我們亦可寫下對任意集合 $B$ 或者函數 $g$ 的機率 $P(X,Y \in B)$ 或者期望值 $E[g(X,Y)]$。上述結果推廣到 對有限多個隨機變數:亦即 一但我們 已知 joint pmf 或者 joint density 則有限多個隨機變數仍可以毫無困難的被完整描述。

但隨機過程而言,事實上是一組 無窮多個隨機變數,我們想知道是否上面的方法依然可行? 所幸 Kolmogorov 為我們證明了一個隨機過程 $X_t$ 仍可以被完整的描述,但由於條件牽涉較繁複的推導,這邊不贅述有興趣的讀者可參閱 J. A. Gubner, Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers, Chapter 11.。

隨機過程的 mean 與 correlation function
回憶對單一隨機變數而言,我們可以計算 mean 與 variance,對於一組相關的隨機變數 $X,Y$而言,我們可計算個別的 mean, variance 以及相關性 $E[XY]$。現在我們將此想法拓展到 隨機過程中:
====================
Definition: mean function
若 $X_t$ 為一個隨機過程,則對任意固定時間 $t$,$X_t$ 為一個隨機變數且此時對應的 mean  $E[X_t]$ 定義如下
\[
m_X(t) := E[X_t]
\]我們稱上式為 隨機過程的 mean function。
====================


====================
Definition: (auto) correlation function
若 $X_t$一個隨機過程,且 $X_{t_1}$ 與 $X_{t_2}$ 為對應於此隨機過程在 $t_1$ 與 $t_2$ 的兩個隨機變數,則  $X_{t_1}$ 與 $X_{t_2}$ 的 correlation, $R_X(t_1, t_2)$ 定義為
\[
R_X(t_1,t_2) := E[X_{t_1}X_{t_2}]
\]我們稱上式為 隨機過程的 correlation function。
====================

Comments
1. mean function 描述了 隨機過程的平均狀態
2. correlation function 定義在 同一個 隨機過程 (不同時間的隨機變數),並非兩個不同隨機過程故我們又稱此 correlation function 為 autocorrelation function。
3. correlation function 描述了 隨機過程的行為平滑還是多曲折如下圖:


上圖中 $\tau := t_1 - t_2$

現在我們看個例子:

Example
考慮一隨機過程 $X_t := \cos( 2 \pi f t + \Theta)$,其中 $\Theta \sim \text{uniform}[-\pi, \pi]$試求 mean function 與 correlation function。

Solution
由 mean function 定義
\[\begin{array}{l}
{m_X}(t): = E[{X_t}] = E[\cos (2\pi ft + \Theta )]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \int_{ - \infty }^\infty  {\cos (2\pi ft + \theta ){f_\Theta }\left( \theta  \right)d\theta } \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \int_{ - \infty }^\infty  {\cos (2\pi ft + \theta )\frac{1}{{\pi  - \left( { - \pi } \right)}}d\theta } \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {\cos (2\pi ft + \theta )d\theta }
\end{array}\]上式為對 $\cos$ 函數積分,故 mean function $m_X(t) =0$。

接著我們計算 correlation function
\[{R_X}(t): = E[{X_{{t_1}}}{X_{{t_2}}}] = E[\cos (2\pi f{t_1} + \Theta )\cos (2\pi f{t_2} + \Theta )]
\]由三角函數積化和差
\[\cos A\cos B = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {A + B} \right) + \cos \left( {A - B} \right)} \right]\]可得
\[\begin{array}{l}
{R_X}(t): = E[{X_{{t_1}}}{X_{{t_2}}}]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{2}E\left[ {\cos \left( {2\pi f{t_1} + 2\pi f{t_2} + 2\Theta } \right) + \cos \left( {2\pi f{t_1} - 2\pi f{t_2}} \right)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{2}\underbrace {E\left[ {\cos \left( {2\pi f\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 2\Theta } \right)} \right]}_{ = 0} + \frac{1}{2}\cos \left( {2\pi f{t_1} - 2\pi f{t_2}} \right)\\
 \Rightarrow {R_X}(t): = \cos \left( {2\pi f{t_1} - 2\pi f{t_2}} \right)
\end{array}\]注意到上式 $E[cos(2 \pi f (t_1 + t_2) + 2 \Theta)]$ 已在 mean function 部分計算過,此為 cosine 函數對 $\theta$ 積分,故為 $0$。$\square$

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以下討論較抽象,讀者可越過無妨

有了上述基本的隨機過程定義,我們可以開始討論 (某些) 隨機過程的性質。以下要介紹兩個重要的概念,一個稱作 Filtration: (這個字翻譯成中文可能不是很精確,不過可以想成是類似把資訊用漏斗一層一層過濾...) 一個稱作 adapted

首先給出 Filtration 定義如下:

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Definition: Filtration
定義一個 indexed set $\mathcal{T} := \{0, 1, 2, ... \} $ or $ = [0, \infty)$。我們說一個 Filtration $\{\mathcal{F}_t : t \in \mathcal{T} \}$ 是一個 family of $\sigma$-algebra (簡單說就是由 $\sigma$-algebra 所組成的集合) 使得下列條件滿足:
\[
s < t \Rightarrow \mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t
\]======================

Comments:
1. 我們永遠預設有一個固定的機率測度空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$供我們討論。如上述 Filtration 亦定義在此機率測度空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 之上。亦即我們 Filtration on $(\Omega, \mathcal{F}, P)$。且滿足
\[
s < t \Rightarrow \mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t \subset \mathcal{F}
\]

2. Filtration 可以被想成是資訊的揭露。甚麼意思呢? 比如說,考慮離散時間的情況,由Filtration 定義我們知道
\[
\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2...
\]亦即表示在時間 $t=1$的時候,我們亦可知道時間 $t=0$ 的情況,亦即 $t=1$ 的時候包含了 $t=0$ 的資訊,但 不包含 $t=2$ (未來)的資訊。

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Example 1: Natural Filtration 
對於一個 連續隨機過程 $\{ X_t \}$ 而言, Natural Filtration $ \mathcal{F}_t^X $ 可以選由此隨機過程產生的 smallest $\sigma$-algebra
\[
 \mathcal{F}_t^X := \sigma(X_s, s \le t)
\]如果是離散隨機過程 $\{X_n \}$,我們可以選
\[
 \mathcal{F}_n^X := \sigma(X_1, X_2, ..., X_n)
\] 作為其  Natural Filtration。

Example 2: Natural Filtration for Random Walk 
現在考慮 $\{X_i \}_{i=1}^{\infty}$ 為 i.i.d. 隨機變數 sequence,現在令 $S_0 =0$ 且其partial sum:
\[
S_n := X_1 + X_2 + ... + X_n
\]則此隨機過程 $S_n$ 對應的 Natural Filtration 為 $\mathcal{F}_n^S := \sigma(X_1, X_2, ..., X_n) = \mathcal{F}_n^X$

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有了 Filtration  (一群 $\sigma$-algebra,或者簡單說就是一群事件。) 的定義,我們便可以介紹一個隨機過程 適應(adapted) 某個 Filtration 的概念,亦即這是一類隨機過程具有 隨著時間的流逝,資訊才漸漸的被 "揭露" 出來的特性: (亦即無法預知未來的隨機過程),而 Filtration 則可以想成是這些 資訊 存放的地方。

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Definition: A process adapted to the filtration (or so called: non-anticipating process)
我們說一個隨機過程 $\{ X_t\}$ 是 adapted to the filtration $\{\mathcal{F}_t \}$ 如果下列條件成立:

對任意 $t \in \mathcal{T}$,若 $X_t$ 為 $\mathcal{F}_t$-measurable;亦即 對任意集合 $B \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ (Borel Set on $\mathbb{R}$),$X_t^{-1} (B) \in \mathcal{F}_t $
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上述的 non-anticipating process 直覺上可以想成 股票的波動 (為一種隨機過程),且今日股價的波動並無法用來預知明日股價的波動如何。 (在投資理論上稱此為效率市場假設,認為所有資訊已經充分反映在今日股價,對明日股價無任何預知作用,數學上我們用 non-anticipating process 來說明這個事情)

事實上 non-anticipating process 在定義 Ito Integral 時候會需要用到,但在此我們不贅述,
對於 Ito Integral 有興趣的讀者可以參閱BLOG 隨機分析的系列文章: [隨機分析] Ito Integral 淺談 (I) - Ito 積分的建構與Ito Isometry property

對於效率市場假設有興趣的讀者可以參閱此篇:[投資理論] 效率市場假設


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[延伸閱讀]

[數學] 隨機過程淺淺談(I) - 計數過程 Counting process
[數學] 隨機過程淺淺談(II) - 波松過程 Possion process
[數學] 隨機過程淺淺談(III) - 布朗運動 or 維納過程 (Brownian motion or Wiener Process)


ref:
[1] J. A. Gubner, Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers.
[2] K. J. Astrom, Stochastic Control Theory