[系統理論] 連續時間 週期訊號的 Fourier Transform Representation

延續前篇
[系統理論] 連續時間 非週期訊號的 Fourier Transform Representation，我們知道 非週期訊號$x(t)$ 若滿足 Dirchlet conditions 則 Fourier Transform 存在，且我們可寫成
\[\left\{ \begin{array}{l}
X\left( {j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}dt} \ \ \ \  (1) \\
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega} \ \ \ \ (2)
\end{array} \right.\]上式中 $(1)$ 稱為 $x(t)$ 的 Fourier Transform，$(2)$ 稱為 Inverse Fourier Transform。

事實上，對於週期訊號而言，除了 Fourier Series 之外， 我們亦可對 週期訊號 求解 Fourier Transform 。 那麼該怎麼做呢?

想法: 透過 Impulse function 幫助我們對 Fourier Transform 進行"取樣"

首先我們先做個觀察如下：
考慮一個訊號 $x(t)$ 其 Fourier Transform $X(j \omega)$ 為落在 $\omega = \omega_0$ 且面積為 $2 \pi$ 的單位脈衝函數如下
\[
X(j \omega) = 2 \pi \delta(\omega - \omega_0)
\]現在利用 Inverse Fourier Transform 我們可得回 $x(t)$
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {2\pi \delta (\omega  - {\omega _0}){e^{j\omega t}}d\omega}  = {e^{j{\omega _0}t}}
\end{array}
\]上述的結果暗示了我們可以得到 $x(t) = e^{j k \omega_0t}$，此 complex exponential 訊號確實為週期訊號。 現在我們回憶 Fourier Series  Representation，週期訊號 $x(t)$ 可以透過 complex exponential 做線性組合。故我們試圖拓展上述想法，目標是如果可以找出一個 Fourier Transform $X(j \omega)$ 使得 $x(t)$ 具有 Complex exponential 做線性組合的形式 (亦即具有 Fourier Series 的形式)，我們便大功告成

現在我們拓展上述想法，由於前述 我們利用脈衝函數當作 Fourier Transform 確實可以得回 complex exponential 訊號，故我們繼續沿用此脈衝函數，且更進一步拓展為一組脈衝函數的線性組合看看會有甚麼發現。

故考慮 $x(t)$ 的 Fourier Transform, $X(j \omega)$ 為 一組脈衝函數的線性組合
\[X\left( {j\omega } \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {2\pi {a_k}\delta \left( {\omega  - k{\omega _0}} \right)} \]則透過 Inverse Fourier Transform 我們可得
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {2\pi {a_k}\delta \left( {\omega  - k{\omega _0}} \right)} {e^{j\omega t}}d\omega} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}} \int_{ - \infty }^\infty  {\delta \left( {\omega  - k{\omega _0}} \right){e^{j\omega t}}d\omega} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}
\end{array}\]上式即為 Fourier Series。

小結：
若 週期函數 $x(t)$ 存在 Fourier Series
\[
x(t) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}
\] 則其對應的 Fourier Transform: $X(j \omega)$ 為 一組脈衝函數的線性組合
\[X\left( {j\omega } \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {2\pi {a_k}\delta \left( {\omega  - k{\omega _0}} \right)} \]
一般而言，對於週期函數我們可預先求解 Fourier coefficient, $a_k$ ，若需要計算其對應的 Fourier Transform，則直接使用上式


我們現在看一些例子：
Example 1
考慮週期方波訊號如下圖

試求其Fourier Transform $X(j \omega)$。
Solution
首先注意到此方波訊號為週期方波，且滿足 Dirchlet conditions，故存在 Fourier Series。因此我們先求解 Fourier Series Coefficient：
\[\begin{array}{l}
{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x\left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {x\left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt}  = \frac{1}{T}\int_{ - {T_1}}^{{T_1}} {{e^{ - jk{\omega _0}t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{2}{{k{\omega _0}T}}\frac{{{e^{jk{\omega _0}{T_1}}} - {e^{ - jk{\omega _0}{T_1}}}}}{{2j}} = \frac{2}{{k{\omega _0}T}}\sin k{\omega _0}{T_1}
\end{array}\]且 由 $T = 2 \pi/ \omega_0$ 帶入上式，
\[{a_k} = \frac{1}{{k\pi }}\sin \left( {k{\omega _0}{T_1}} \right), \; k \neq 0 \ \ \ \ (*)
\]且若 $k=0$，可計算得到 $a_0$
\[{a_0} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x\left( t \right)dt}  = \frac{1}{T}\int_{ - {T_1}}^{{T_1}} {1dt}  = \frac{{2{T_1}}}{T} \ \ \ \ (**)
\]有了Fourier Series Coefficients 之後，我們便可計算其對應的 Fourier Transform。現在回憶對於週期訊號的 Fourier Transform 為 面積為 $2 \pi$ 且頻率等分的脈衝函數的線性組合，亦即
\[
X(j \omega) = 2 \pi \sum_{k = - \infty}^{\infty}a_k \delta( \omega - k \omega_0)
\]現在代入我們剛剛算出的 Fourier Series Coefficient，我們可得
\[\begin{array}{l}
X(j\omega ) = 2\pi \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}} \delta (\omega  - k{\omega _0})\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = 2\pi \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\frac{1}{{k\pi }}\sin \left( {k{\omega _0}{T_1}} \right)} \delta (\omega  - k{\omega _0})\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = 2\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\frac{1}{k}\sin \left( {k{\omega _0}{T_1}} \right)} \delta (\omega  - k{\omega _0}) \ \ \ \ (\star)
\end{array}\]上式即為 週期方波的 Fourier Transform。 $\square$

Comments
延續上例，現在我們來看看 Fourier Transform 與 Fourier Series 的差別，令 $T = 4 T_1$，我們用  $(\star)$ 繪製 Fourier Transform 的圖形

圖1. Fourier transform plot for periodic square wave

接著透過 $(*)$ 與 $(**)$ 我們可繪製 Fourier Series Coefficients 的圖形

圖2. Fourier series plot for periodic square wave

其中Fourier Series Coefficient 可由我們先前推出的式子計算而得：
 $a_0 = 1/2,$ $a_1 = a_{-1}=1/\pi$, $a_3 = a_{-3}=-1/3\pi$, $a_5 = a_{-5} = 1/5\pi$
注意到 圖2 的橫坐標 $k$ 表示 第  $k$ 個 fundamental frequency, $k \omega_0$。

現在比較兩圖，兩圖可發現 Fourier Transform 對週期方波 不過是透過 脈衝函數 對原本的 "sinc 包烙線" 做取樣 (sampling) 的動作。

圖1 與 圖2 之間差別只有下面兩點：

1. Fourier transform 圖形採用脈衝函數 (impulse function, $\delta(\cdot)$) 而 Fourier Series 採用條狀圖 (bar graph)。
2. Fourier transform 為 Fourier Series 放大 $2\pi$ 倍

Example 2 (Impulse Train)
考慮下列 脈衝週期訊號
\[x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\delta \left( {t - kT} \right)} \]試求 Fourier Series coefficients 與 Fourier transform。
Solution
由於 脈衝週期訊號 $x(t)$ 週期為 $T$，且滿足 Dirchlet condtions，故我們有 Fourier series coefficient:
\[\begin{array}{l}
{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x\left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt}  = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {\delta \left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {\delta \left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt}  = \frac{1}{T}\underbrace {\int_{ - \infty }^\infty  {\delta \left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt} }_{ = {e^{ - jk{\omega _0}0}} = 1} = \frac{1}{T}
\end{array}\]接著計算此週期脈衝訊號的 Fourier transform，由前面討論可知週期訊號 $x(t)$ 的 Fourier transform 為
\[X(j\omega ) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  2 \pi {a_k}\delta (\omega  - k{\omega _0}) = \frac{{2\pi }}{T}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\delta (\omega  - k\frac{{2\pi }}{T})} \]

Example 3 (Cosine Function)
考慮 $x(t) := \cos(\omega_0 t)$，試求 Fourier transform。

Solution
由於 $x(t)$ 為週期訊號，我們可知其 Fourier transform 可表為 脈衝函數的線性組合
\[
X(j \omega) = 2 \pi \sum_{k = -\infty}^{\infty} a_k \delta(\omega - k \omega_0) \ \ \ \ (*)
\] 其中 $a_k$ 為 Fourier series coefficient，由於 $\cos(\omega_0 t)$ 可寫為 complex exponential 如下
\[\cos \left( {{\omega _0}t} \right) = \frac{{{e^{j{\omega _0}t}} + {e^{ - j{\omega _0}t}}}}{2}\] (亦即只有 $k = \pm 1$ 的 Fourier coefficient) 故可知 $a_1 = a_{-1} =  1/2$。現在將此結果帶回 $(*)$ 我們得到
\[\begin{array}{l}
X(j\omega ) = 2\pi \frac{1}{2}\delta (\omega  - {\omega _0}) + 2\pi \frac{1}{2}\delta (\omega  ++ {\omega _0})\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \pi \delta (\omega  - {\omega _0}) + \pi \delta (\omega   +{\omega _0}) \ \ \ \ \square
\end{array}\]

Example 4 (Scaled Cosine Function)
現在考慮 $x(t) := \cos(\omega_0 t) /a, \; a>0$ 試求其對應的 Fourier transform。

Solution
由 Example 3，我們已知 $\cos(\omega_0 t)$ 的 Fourier transform 為
\[
\pi \delta (\omega  - {\omega _0}) + \pi \delta (\omega  - {\omega _0})
\] 故 $x(t) = \cos(\omega_0 t) /a $ 的 Fourier transform 由 linearity 可知
\[
X(j \omega) = \frac{1}{a} \left [\pi \delta (\omega  - {\omega _0}) + \pi \delta (\omega  - {\omega _0})\right] \ \ \ \ \square
\]
Comments:
若我們要求以頻率 $f$ 表示 $(\omega = 2 \pi f)$，則 Example 4 中的結果 變為
\[\begin{array}{l}
X(f) = \frac{1}{a}\left[ {\pi \delta (2\pi f - 2\pi {f_0}) + \pi \delta (2\pi f - 2\pi {f_0})} \right]\;\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{a}\left[ {\pi \delta (2\pi \left( {f - {f_0}} \right)) + \pi \delta (2\pi \left( {f - {f_0}} \right))} \right]\;
\end{array}\]利用脈衝函數的 scaling 性質 ：
\[
\delta(a t) = \frac{1}{|a|} \delta(t)
\]改寫前式
\[\begin{array}{l}
X(f) = \frac{1}{a}\left[ {\pi \delta (2\pi \left( {f - {f_0}} \right)) + \pi \delta (2\pi \left( {f - {f_0}} \right))} \right]\;\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{a}\left[ {\pi \frac{1}{{2\pi }}\delta \left( {f - {f_0}} \right) + \pi \frac{1}{{2\pi }}\delta \left( {f - {f_0}} \right)} \right]\;\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{2a}}\left[ {\delta \left( {f - {f_0}} \right) + \delta \left( {f - {f_0}} \right)} \right]\;
\end{array}\]

ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems