令 $x(t)$ 為週期訊號，若 $x(t)$ 存在 Fourier Series Representation，則我們可寫下
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] Fourier 認為 "任意" 週期訊號都可以被表示成 complex exponentials 的線性組合，亦即任意週期訊號都 存在 Fourier Series，但事實上這個陳述並不正確。亦即，並非所有的週期訊號都有 Fourier Series；最關鍵的問題是 Fourier Series 本身牽涉到無窮級數，一旦級數涉及無窮項必然存在級數收斂性問題。
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] Fourier 認為 "任意" 週期訊號都可以被表示成 complex exponentials 的線性組合，亦即任意週期訊號都 存在 Fourier Series，但事實上這個陳述並不正確。亦即，並非所有的週期訊號都有 Fourier Series；最關鍵的問題是 Fourier Series 本身牽涉到無窮級數，一旦級數涉及無窮項必然存在級數收斂性問題。
Validity of Fourier Series Representation
首先觀察一個具有週期 $T$ 的週期訊號 $x(t)$ ，但我們僅透過 有限 $N$ 項 complex exponentials 的線性組合來表示近似此週期訊號。用有限 $N$ 項 complex exponentials 線性組合的近似週期訊號記做 $x_N(t)$ 如下
\[{x_N}\left( t \right) = \sum\limits_{k = - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} \]
現在我們定義 $e_N(t)$ 為 $x(t)$ 與 $x_N(t)$的近似誤差 如下：
\[{e_N}\left( t \right): = x\left( t \right) - {x_N}\left( t \right) = x\left( t \right) - \sum\limits_{k = - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}}
\]那麼有了上述 近似誤差 $e_N(t)$ 的定義，我們仍然不容易知道到底 $e_N(t)$ 怎樣算是好 ($x_N(t)$ 有多接近 $x(t)$)。故我們首先只觀察一個週期，然後透過 2-norm (或者說 energy idea) 定義 "近似誤差的大小"
\[
E_N := \int_T |e_N(t)|^2dt
\]那麼我們的目標是找出到底怎樣的 $a_k$ 使得 $E_N$ 被最小化，亦即 $\min_{a_k} E_N$ ，現在將 $e_N(t) = x\left( t \right) - \sum\limits_{k = - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} $ 帶入 $E_N$ 可得
\[{E_N} = {\int_T {\left| {x\left( t \right) - \sum\limits_{k = - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} } \right|} ^2}dt
\]現在觀察上式，若我們取 $a_k$ = Fourier Series Coefficient：
\[
{a_n} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}dt}
\]則讀者可驗證確實 $E_N$為最小值。
上述結果說明了若週期訊號 $x(t)$ 有 Fourier Series Representation，則其透過有限 $N$ 項的最佳近似即為將 Fourier Series Representation 的前面 $N$ 項和。且隨著 $N$ 增加，我們的誤差 $E_N$ 便會逐步縮小直到誤差為$0$。
Question: 一個週期訊號在甚麼情況下存在 Fourier Series Representation? (此問等價於 一個週期訊號在甚麼情況下可以用 Complex Exponentials 做線性組合展開?)
注意到我們的剛剛推出的有限N項最佳誤差估計 (或者無限項的 or Fourier Series Coefficient formula)
\[{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt}
\]並不一定永遠收斂 (亦即 $a_k \rightarrow \infty$ 積分有可能到無窮大)
再者就算每一項 $a_k$ 都可以定義 (積分存在)，我們把這些 Fourier Series 係數收集起來，用 Complex exponential 展開
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] 此時牽涉到無窮級數，如前所敘，有可能發生儘管每一項 $a_k$ 都有界，但其級數發散亦即 $x(t) \rightarrow \infty$
事實上，有兩類不同的條件可以解決前述的收斂性問題。如果週期訊號滿足此兩類條件，就能保證該週期訊號確實存在 Fourier Series Representation。
第一類條件： $L^2$ condition or energy condition
考慮週期訊號 $x(t)$，若在該訊號一個週期內的total energy為有限值，則此訊號存在 Fourier Series Representation，亦即若下列條件成立則 $x(t)$ 有 Fourier Series Representation
\[
\int_T |x(t)|^2 dt < \infty
\]當此條件成立，則 $a_k < \infty \; \forall k \in \mathbb{Z}$。
第二類條件： Dirichlet conditions
1. 對任意週期 $T$，$x(t)$ 必須絕對值可積分，亦即
\[
\int_T |x(t)|dt < \infty
\]
2. 對任意有限時間區間，$x(t)$ 有 bounded variation。亦即任意單一周期內，$x(t)$ 的最大或者最小值的數目為有限個。
3. 在任意有限時間區間內，$x(t)$ 只有 有限個 不連續點(discontinuous points)。
若上述三個 Dirichlet conditions 成立，則 $x(t)$ 存在 Fourier Series Representation 且除了不連續點之外，保證 $x(t)$等於 Fourier Series。且 在不連續點上，Fourier Series 收斂到 不連續點兩邊的平均值。亦即對不連續點 $t$
\[\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}} {e^{jk{\omega _0}t}} = \frac{1}{2}(x(t + ) + x(t - ))\]其中
\[\begin{array}{l}
x(t + ) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t^ + }} x(t)\\
x(t - ) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t^ - }} x(t)
\end{array}\]
小結：
上述兩類條件其中一種成立，則我們說該 $x(t)$ 存在 Fourier Series Representation。
ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems
現在我們定義 $e_N(t)$ 為 $x(t)$ 與 $x_N(t)$的近似誤差 如下：
\[{e_N}\left( t \right): = x\left( t \right) - {x_N}\left( t \right) = x\left( t \right) - \sum\limits_{k = - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}}
\]那麼有了上述 近似誤差 $e_N(t)$ 的定義，我們仍然不容易知道到底 $e_N(t)$ 怎樣算是好 ($x_N(t)$ 有多接近 $x(t)$)。故我們首先只觀察一個週期，然後透過 2-norm (或者說 energy idea) 定義 "近似誤差的大小"
\[
E_N := \int_T |e_N(t)|^2dt
\]那麼我們的目標是找出到底怎樣的 $a_k$ 使得 $E_N$ 被最小化，亦即 $\min_{a_k} E_N$ ，現在將 $e_N(t) = x\left( t \right) - \sum\limits_{k = - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} $ 帶入 $E_N$ 可得
\[{E_N} = {\int_T {\left| {x\left( t \right) - \sum\limits_{k = - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} } \right|} ^2}dt
\]現在觀察上式，若我們取 $a_k$ = Fourier Series Coefficient：
\[
{a_n} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}dt}
\]則讀者可驗證確實 $E_N$為最小值。
上述結果說明了若週期訊號 $x(t)$ 有 Fourier Series Representation，則其透過有限 $N$ 項的最佳近似即為將 Fourier Series Representation 的前面 $N$ 項和。且隨著 $N$ 增加，我們的誤差 $E_N$ 便會逐步縮小直到誤差為$0$。
Question: 一個週期訊號在甚麼情況下存在 Fourier Series Representation? (此問等價於 一個週期訊號在甚麼情況下可以用 Complex Exponentials 做線性組合展開?)
注意到我們的剛剛推出的有限N項最佳誤差估計 (或者無限項的 or Fourier Series Coefficient formula)
\[{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt}
\]並不一定永遠收斂 (亦即 $a_k \rightarrow \infty$ 積分有可能到無窮大)
再者就算每一項 $a_k$ 都可以定義 (積分存在)，我們把這些 Fourier Series 係數收集起來，用 Complex exponential 展開
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] 此時牽涉到無窮級數，如前所敘，有可能發生儘管每一項 $a_k$ 都有界，但其級數發散亦即 $x(t) \rightarrow \infty$
事實上，有兩類不同的條件可以解決前述的收斂性問題。如果週期訊號滿足此兩類條件，就能保證該週期訊號確實存在 Fourier Series Representation。
第一類條件： $L^2$ condition or energy condition
考慮週期訊號 $x(t)$，若在該訊號一個週期內的total energy為有限值，則此訊號存在 Fourier Series Representation，亦即若下列條件成立則 $x(t)$ 有 Fourier Series Representation
\[
\int_T |x(t)|^2 dt < \infty
\]當此條件成立，則 $a_k < \infty \; \forall k \in \mathbb{Z}$。
第二類條件： Dirichlet conditions
1. 對任意週期 $T$，$x(t)$ 必須絕對值可積分，亦即
\[
\int_T |x(t)|dt < \infty
\]
2. 對任意有限時間區間，$x(t)$ 有 bounded variation。亦即任意單一周期內，$x(t)$ 的最大或者最小值的數目為有限個。
3. 在任意有限時間區間內，$x(t)$ 只有 有限個 不連續點(discontinuous points)。
若上述三個 Dirichlet conditions 成立，則 $x(t)$ 存在 Fourier Series Representation 且除了不連續點之外，保證 $x(t)$等於 Fourier Series。且 在不連續點上，Fourier Series 收斂到 不連續點兩邊的平均值。亦即對不連續點 $t$
\[\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}} {e^{jk{\omega _0}t}} = \frac{1}{2}(x(t + ) + x(t - ))\]其中
\[\begin{array}{l}
x(t + ) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t^ + }} x(t)\\
x(t - ) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t^ - }} x(t)
\end{array}\]
小結：
上述兩類條件其中一種成立，則我們說該 $x(t)$ 存在 Fourier Series Representation。
ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems
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