這次要介紹的是如何直接求解隨機微分方程 (SDE)? 我們這邊將以 Geometric Brownian Motion 為例: 考慮如下 SDE: \[ dX_t = \mu X_t dt + \sigma X_t dB_t \] 其中 $\mu, \sigma$ 為固定常數滿足 $-\infty < \mu < \infty, \ \sigma >0$ ,且給定初始條件 $X_0$ Comment: 1. 上述 SDE 稱為 Geometric Brownian Motion (GBM) 。此 process 在財務上有重要的應用:EX: GBM 為股價波動的基本模型。 2. Compare to Arithmetic Brownian Motion (ABM) : \[ dX_t = \mu dt + \sigma dB_t \] Sol: 首先檢驗 Uniqueness 與 Existence : 由 SDE 的 Uniqueness 與 Existence Theorem, 考慮 $t \in [0,T]$,SDE: \[ dX_t = \mu(t,X_t)dt + \sigma(t,X_t) dB_t, \ X(0)=x_0 \]若其係數 $\mu, \sigma$滿足 Lipschitz condition \[ |\mu(t,x) - \mu(t,y)|^2 + |\sigma(t,x) - \sigma(t,y)|^2 \leq K |x-y|^2 \]與 Growth condition \[ |\mu(t,x)|^2 + |\sigma(t,x)|^2 \leq K(1 + |x|^2) \]則我們的 SDE 解存在且唯一。 故此 我們首先檢驗 Lipschitz Condition : 觀察 GBM 可知 $\mu(t, X_t) =\mu X_t$, $\sigma(t,X_t) = \sigma X_t $,計算 \[ |(\mu x) - (\mu y){|^2} + |(\sigma x) - (\sigma y){|^2} = \left( {{\mu ^2} + {\sigma ^2}} \right)|x - y{|^2} \]令 $K \g
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya