2012年2月11日 星期六

[微積分] 函數的單調性質(1)-一階導數判斷遞增?遞減?

這次要介紹利用微分來幫助我們判斷 可導函數在某區間 是否遞增/遞減。

Theorem:
1. 考慮函數 $f(x)$ 定義在區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導,我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 嚴格遞增函數(strictly increasing) 若下列條件成立:
\[
\forall x \in (a,b),\;\; f'(x) >0
\]2. 考慮函數 $f(x)$ 定義在區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導,我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 嚴格遞減函數(strictly decreasing) 若下列條件成立:
\[
\forall x \in (a,b),\;\; f'(x) <0
\]3. 考慮函數 $f(x)$ 定義在區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導,我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 常數函數 $c$ 若下列條件成立:
\[
\forall x \in (a,b),\;\; f'(x) =0
\]Proof: omitted.

Example 1:
考慮 $x \in \mathbb{R}$,且定義函數 $f(x) = x^2$,試判斷其遞增/遞減性質:

Solution
利用 前述 Theorem,對 $f(x)$ 求一階導數
\[
f'(x) = 2x
\]故可知當 $f'(x) = 2x >0$ 亦即 $x>0$ 時候 (或者說在區間 $(0,\infty)$) $f$ 為遞增
同理,可推知當 $f'(x) = 2x < 0$ 亦即 當 $x<0$ 時候 (或者說在區間 $(-\infty,0)$) $f$ 為遞減
同理,可推知當 $f'(x) = 2x = 0$ 亦即 當 $x=0$ 時候 (或者說在 $0$ 處) $f$ 為常數。


Example 2:
考慮 $x \in \mathbb{R}$,且定義函數 $f(x) = x^2 + 2x -5$,試判斷其遞增/遞減性質:

Solution
利用 前述 Theorem,對 $f(x)$ 求一階導數
\[
f'(x) = 2x +2
\]故可知當 $f'(x) =  2x +2 >0$ 亦即 $ x>-1$ 時候 (或者說在區間 $(-1,\infty)$) $f$ 為遞增
同理,可推知當 $f'(x) = 2x+2 < 0$ 亦即當 $x<-1$時候 (或者說在區間 $(-\infty,-1)$) $f$ 為遞減
同理,可推知當 $f'(x) = 2x +2 = 0$ 亦即當 $x=-1$時候 (或者說在 $-1$ 處) $f$ 為常數。

Comment:
上述例子讀者也許可能猜想當 出現一階導數為 $0$ 的時候,其函數的遞增/遞減會發生變化,但!! 此猜想並不為真! 下面我們看個例子:


Example 3: 
考慮  $x \in \mathbb{R}$,且定義函數 $f(x) = x^3$,試判斷其遞增/遞減性質:

Solution
利用 前述 Theorem,對 $f(x)$ 求一階導數
\[
f'(x) = 3x^2
\]故可知當 $f'(x) =  3x^2 >0$ 亦即 $ x \in \mathbb{R}$ 時候 $f$ 為遞增 且 永不遞減!!
但是當 $f'(x) = 3x^2 = 0$ 亦即當 $x=0$時候 $f$ 為常數。

此例說明了儘管出現 $x=0$的時候 $f(x)$ 的導數為常數,但此時函數函數的遞增性質並不改變。


Example 4*:
令 $f: [-1,1] \to \mathbb{R}$ 且 $ f(x) = \sqrt{1=x^2}$ 試判斷區間的遞增遞減性質。

Solution
先對該函數求導,可得
\[f'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\]現在觀察上述函數可知 $f'>0$ 當 $x \in (-1,0)$ 且 $f' <0$ 當 $x \in (0, 1)$ 亦即 $(-1,0)$ 此函數遞增,且 $(0,1)$ 此函數遞減。

剩下還有三點 $-1,0,1$ 為判斷遞增遞減性質,此三點的判定可透過前一篇文章我們曾討論過的拓展到端點的定理也就是說如果原函數在關心的端點上連續,則遞增/減性質可被直接拓展到該端點上,現在回到我們的問題可發現,原函數 $f$ 在 $-1$ 與 $0$ 與 $1$ 皆連續,故我們可拓展遞增遞減性質,也就是說 $f$ 在 $[-1,0]$ 遞增,$f$ 在 $[0,1]$ 遞減。


2012年2月10日 星期五

[微積分] 反函數

想法:給定任意函數 $f(x) = y$ 我們想問 是否可以將其改寫成 $x = g(y)$? 如果可以則稱 $g$ 為 $f$ 的反函數(inverse function)

在介紹反函數之前,我們需要一些定義來幫助我們:

=========================
Definition: one-to-one function
一個函數 $f: X \to Y$ 稱作 one-to-one function 若下列條件成立:
對任意 $x,y \in X$ 我們有\[
f(x) = f(y) \Rightarrow x = y
\]=========================

Comment:
一般而言,one-to-one function 又稱作 injective function 中文譯作 單射函數 或者 一對一函數。


現在看幾個例子試試:

Example
試問 $f(x) = x^3$,$x \in \mathbb{R}$ 是否為 one-to-one?

Solution
給定任意 $x,y \in \mathbb{R}$ ,且假設 $f(x) = f(y)$ 成立 我們要證明 $x=y$,故現在觀察
\[\begin{array}{l}
f(x) = f(y) \Rightarrow {x^3} = {y^3}\\
 \Rightarrow {x^3} - {y^3} = 0\\
 \Rightarrow \underbrace {\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}_{ = {x^3} - {y^3}} = 0\\
 \Rightarrow x - y = 0\\
 \Rightarrow x = y. \ \ \ \ \  \ \ \ \ \square
\end{array}\]

Example 
試證函數 $f(x) = x^2$,$x \in \mathbb{R}$ 並非 one-to-one function。

Solution
要證明不是 one-to-one,故對定義取非,要證明 存在一組 $x,y \in \mathbb{R}$ 使得 \[
f(x) = f(y) \; \text{ but} \;\; x \neq y
\]觀察
\[\begin{array}{l}
f(x) = f(y) \Rightarrow {x^2} = {y^2}\\
 \Rightarrow {x^2} - {y^2} = 0\\
 \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0
\end{array}\]
故現在選 $x=a$,$y=-a$ ($a>0$為任意常數) 則可得 $f(x) = f(y)$ 但 $x \neq y$ 。$\square$


有了 one-to-one 函數之後我們現在可以介紹 反函數:

================
Definition: Inverse Function
令 $f : X \to Y$ 為 one-to-one 函數。則其反函數 $f^{-1} : B \to A$ 定義為:對任意 $y \in B$,
\[
f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y
\]================

================
FACT: 令函數 $f : X \to Y$ 且其反函數 $f^{-1}:Y \to X$ 存在則
\[\begin{array}{l}
{f^{ - 1}}\left( {f\left( x \right)} \right) = x,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\forall x \in X\\
f\left( {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right) = x,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\forall x \in Y
\end{array}\]================



Example 3:
考慮某函數 $f$ 具有如下性質
\[\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = 5\\
f\left( 3 \right) = 7\\
f\left( 8 \right) =  - 1
\end{array} \right.\]試問 $f^{-1}(5), f^{-1}(7), f^{-1}(-1)$ 為何?

Proof:
由前述反函數定義可知
\[\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = 5\\
f\left( 3 \right) = 7\\
f\left( 8 \right) =  - 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{f^{ - 1}}\left( 5 \right) = 1\\
{f^{ - 1}}\left( 7 \right) = 3\\
{f^{ - 1}}\left( { - 1} \right) = 8
\end{array} \right.\]

Example 4:
考慮 $x \in \mathbb{R}$,試問 $f(x) = x^3 + 2$ 的反函數 $f^{-1}$ ?

Proof:
令 $y:= f(x)$,目標是要寫出反函數
\[\begin{array}{l}
f(x) = {x^3} + 2\\
 \Rightarrow x = \sqrt[3]{{y - 2}}
\end{array}\]故反函數 $f^{-1}$ 為
\[\begin{array}{l}
{f^{ - 1}}\left( {{x^3} + 2} \right) = x\\
 \Rightarrow {f^{ - 1}}\left( y \right) = \sqrt[3]{{y - 2}}
\end{array}\]上式中 $y$ 為 dummy variable



Theorem: 令 $f:X \to Y$ 為 嚴格單調遞增函數,則 $f$ 為 one-to-one

Proof: 給定 $f:X \to Y$ 為 嚴格單調遞增 (亦即 $f(x_1) < f(x_2), \; \forall x_1<x_2$),我們要證明 $f$ 為 one-to-one,故取 $x_1,x_2 \in X$ 且設 $f(x_1) = f(x_2)$ 我們要證明 $x_1 = x_2$。利用反證法,假設 $x_1 \neq x_2$,則不失一般性情況我們設 $x_1 > x_2$,則由嚴格單調性可知 \[
f(x_1) > f(x_2)
\]此條件違反我們前提 $f(x_1) = f(x_2)$,故得到矛盾。$\square$


Theorem (Corollary): $f: X \to Y$ 為單調遞增,則 $f$ 具有反函數。
Proof:  使用前述的定理與 FACT 即可證得。$\square$