[線性系統] 淺談動態系統的可控制性(2)

延續前篇，考慮 $n$ 維度 $p$ 組輸入的狀態方程

\[{\bf{\dot x}} = {\bf{Ax}} + {\bf{Bu}}\]由於輸出方程與控制性無關在此我們僅討論狀態方程。

我們先回憶 系統狀態可控制的定義
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Definition: (Controllability for LTI system)
我們稱狀態方程
\[
{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)
\] 或者一組 $\left( {{\bf{A,B}}} \right)$ 為在時刻 $t_0$ 可控制(controllable)，若下列條件成立:
對任意初始狀態 ${\bf{x}}\left( 0 \right) = {\bf x}_0$ 與 終止狀態 ${\bf x}_1$，存在 一組輸入訊號 ${\bf u}(t)$ 使得可以在 有限時間 內將 ${{\bf{x}}_0}$ 送至 ${{\bf{x}}_1}$。反之我們稱此 $\left( {{\bf{A,B}}} \right)$ 不可控制 (uncontrollable)。
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Comment:
注意!! 上述的可控性定義並 "無" 限制 控制力大小。

現在我們給出 控制性 有關的結果整合在下面

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Theorem: Controllability equivalence statements

下列 4個 陳述完全等價(if and only if)：

1. $n$維度的 pair $(\bf{A,B})$ 為 controllable

2. 對任意 $t>0$，$n \times n$ 的矩陣

\[{{\bf{W}}_C}(t): = \int_{\rm{0}}^t {{e^{{\bf{A}}\left( {t - \tau } \right)}}{\bf{B}}{{\bf{B}}^T}{e^{{{\bf{A}}^T}\left( {t - \tau } \right)}}} d\tau \]為 nonsingular。

3. $n \times np$ 的控制性矩陣 controllability matrix

\[C: = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\bf{B}}&{{\bf{AB}}}&{{{\bf{A}}^2}{\bf{B}}}& \cdots &{{{\bf{A}}^{n - 1}}{\bf{B}}}
\end{array}} \right]\]為 full rank (rank $=n$)

4. 若 $A$ 矩陣 所有的 eigenvalue 皆具有 負實部，則下列 Lyapunov equation

\[{\bf{A}}{{\bf{W}}_C} + {{\bf{W}}_C}{{\bf{A}}^T} =  - {\bf{B}}{{\bf{B}}^T}\]有唯一解 

\[{{\bf{W}}_C}: = \int_{\rm{0}}^\infty  {{e^{{\bf{A}}\tau }}{\bf{B}}{{\bf{B}}^T}{e^{{{\bf{A}}^T}\tau }}} d\tau \]且為 正定矩陣 (positive definite matrix)。

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Proof: $ (1) \Leftrightarrow (2)$

我們先證 $(2) \Rightarrow (1)$ 亦即假設對任意 $t>0$，$n \times n$ 的矩陣

\[{{\bf{W}}_C}(t): = \int_{\rm{0}}^t {{e^{{\bf{A}}\left( {t - \tau } \right)}}{\bf{B}}{{\bf{B}}^T}{e^{{{\bf{A}}^T}\left( {t - \tau } \right)}}} d\tau \]為 nonsingular。我們要證明 $(\bf{A,B})$ 為 controllable。

由 controllable 定義，我們給定任意初始狀態 ${\bf{x}}\left( 0 \right) = {{\bf{x}}_0}$ 與 任意終端狀態 ${\bf{x}}\left( {{t_1}} \right) = {{\bf{x}}_1}$，需找出一個控制力 $\bf u$ 使得在有限時間 $t_1$ 內 使 ${{\bf{x}}_0}$ 移動到 ${{\bf{x}}_1}$。

故現在回憶對於 ${\bf{\dot x}} = {\bf{Ax}} + {\bf{Bu}}$ 其 在 時刻$t_1$ 對應的解為
\[{\bf{x}}\left( {{t_1}} \right) = {e^{{\bf{A}}{t_1}}}{\bf{x}}\left( 0 \right) + \int_0^{{t_1}} {{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}{\bf{Bu}}\left( \tau  \right)d\tau } \]現在我們令控制力為
\[{\bf{u}}\left( t \right): =  - {{\bf{B}}^T}{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}{{\bf{W}}_C}^{ - 1}\left( {{t_1}} \right)\left[ {{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1}} \right)}}{{\bf{x}}_0} - {{\bf{x}}_1}} \right]
\]由於我們假設 ${ = {{\bf{W}}_C}\left( {{t_1}} \right)}$ 為 nonsingular，反矩陣存在!。現在我們代入 $(*)$ 可得
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{\bf{x}}\left( {{t_1}} \right) = {e^{{\bf{A}}{t_1}}}{{\bf{x}}_0} - \int_0^{{t_1}} {{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}{\bf{B}}{{\bf{B}}^T}{e^{{{\bf{A}}^T}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}{{\bf{W}}_C}^{ - 1}\left( {{t_1}} \right)\left[ {{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1}} \right)}}{{\bf{x}}_0} - {{\bf{x}}_1}} \right]d\tau } }\\
{ \Rightarrow {\bf{x}}\left( {{t_1}} \right) = {e^{{\bf{A}}{t_1}}}{{\bf{x}}_0} - \underbrace {\left[ {\int_0^{{t_1}} {{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}{\bf{B}}{{\bf{B}}^T}{e^{{{\bf{A}}^T}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}d\tau } } \right]}_{ = {{\bf{W}}_C}\left( {{t_1}} \right)}{{\bf{W}}_C}^{ - 1}\left( {{t_1}} \right)\left[ {{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1}} \right)}}{{\bf{x}}_0} - {{\bf{x}}_1}} \right]}\\
{ \Rightarrow {\bf{x}}\left( {{t_1}} \right) = {{\bf{x}}_1}}
\end{array}\]亦即此 $\bf u$ 確實幫我們把 ${{\bf{x}}_0}$ 移動到 ${{\bf{x}}_1}$。

接著我們證明 $(1) \Rightarrow (2)$。
利用歸謬法，假設 $(\bf{A,B})$ 為 controllable 且我們讓 ${{{\bf{W}}_C}\left( {{t_1}} \right)}$ 為 singular。故可知存在一向量 $v$ 使得
\[{{\bf{W}}_C}\left( {{t_1}} \right)v ={ \bf 0}
\]對上式等號兩邊同乘 $v^T$ 得到 ${{{\bf{W}}_C}\left( {{t_1}} \right)}$的二次式：
\[\begin{array}{l}
{v^T}{{\bf{W}}_C}\left( {{t_1}} \right)v = 0\\
 \Rightarrow {v^T}\left( {\int_0^{{t_1}} {{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}{\bf{B}}{{\bf{B}}^T}{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}d\tau } } \right)v = 0\\
 \Rightarrow \int_0^{{t_1}} {{v^T}{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}{\bf{B}}{{\bf{B}}^T}{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}vd\tau }  = 0\\
 \Rightarrow \int_0^{{t_1}} {{{\left( {{{\bf{B}}^T}{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}v} \right)}^T}\left( {{{\bf{B}}^T}{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}v} \right)d\tau }  = 0\\
 \Rightarrow \int_0^{{t_1}} {\left\| {{{\bf{B}}^T}{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}v} \right\|_2^2d\tau }  = 0\\
 \Rightarrow {{\bf{B}}^T}{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}v = \bf{0}
\end{array}\]上式對任意 $\tau \in [0, t_1] $ 都成立。

現在由於 我們已假設  $(\bf{A,B})$ 為 controllable ，故由可控制性的定義可知：給定任意初始狀態 ${\bf{x}}\left( 0 \right) = {{\bf{x}}_0}$ 與 任意終端狀態 ${\bf{x}}\left( {{t_1}} \right) = {{\bf{x}}_1}$，必存在一組控制力 $\bf u$ 使得在有限時間 $t_1$ 內 使 ${{\bf{x}}_0}$ 移動到 ${{\bf{x}}_1}$。

故現在我們給定初始狀態為 ${{\bf{x}}_0}: = {e^{ - {\bf{A}}{t_1}}}v$ 且 ${{\bf{x}}_1} := \bf{0}$ 則由狀態空間的解可知
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{\bf{x}}\left( {{t_1}} \right) = {e^{{\bf{A}}{t_1}}}{\bf{x}}\left( 0 \right) + \int_0^{{t_1}} {{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}{\bf{Bu}}\left( \tau  \right)d\tau } }\\
{ \Rightarrow {\bf{0}} = v + \int_0^{{t_1}} {{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}{\bf{Bu}}\left( \tau  \right)d\tau } }
\end{array}\]對上式兩邊同乘 $v^T$ 可得
\[0 = {v^T}v + \int_0^{{t_1}} {{v^T}{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}{\bf{Bu}}\left( \tau  \right)d\tau }  \ \ \ \ (\star)
\]由於先前我們已知 ${{\bf{B}}^T}{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}v = {\bf{0}} \Leftrightarrow {v^T}{e^{{{\bf{A}}^T}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}{\bf{B}} = {\bf{0}}$ ，故 $(\star)$ 變成
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{0 = {v^T}v + \underbrace {\int_0^{{t_1}} {{v^T}{e^{{\bf{A}}\left( {{t_1} - \tau } \right)}}{\bf{Bu}}\left( \tau  \right)d\tau } }_{ = 0}}\\
{ \Rightarrow 0 = \left\| v \right\| \Leftrightarrow v = 0}
\end{array}\]上式結果 $v =0$ 與 ${{{\bf{W}}_C}\left( {{t_1}} \right)}$ 的 singularity 矛盾 ( 因為 Singularity 告訴我們 必定存在一組 "非零" 向量 $v$ 使得 ${{{\bf{W}}_C}\left( {{t_1}} \right)}v=0$)。$\square$