2011年8月18日 星期四

[系統理論] 連續時間週期訊號的 Fourier Series Representation (2) - Coefficients determination

延續前篇,回憶 對於 週期訊號 $x(t)$ 我們可寫下其對應的 Fourier Series Representation 如下
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] 其中 $\omega_0$ 為週期訊號的基本頻率 (fundamental frequency)。$a_k$ 稱為 Fourier Series 的係數。之前我們已經討論過 給定 Fourier Series 係數,我們可以重建週期 $x(t)$,現在我們專注 在 給定 週期訊號 $x(t)$,如何反求 Fourier Series 的係數。

如前所述,現在給定 平滑(smooth)有界 週期訊號 $x(t)$ 且假設其可以寫下對應的 Fourier Series Representation:
 \[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] 對兩邊同乘 $e^{-j n \omega_0 t}, \; n \in \mathbb{Z}$  可得
\[x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}} = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}{e^{ - jn{\omega _0}t}}}
\]接著在對等式兩邊同積分從$0$ 積到 $x(t)$ 的基本週期(fundamental period) $T$ $(T=2\pi/\omega_0)$,亦即
\[\begin{array}{l}
\int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt = \int_0^T {\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}{e^{ - jn{\omega _0}t}}} } dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}} } dt \ \ \ \ (*)
\end{array}\]注意到上述運算中要求積分與無窮級數順序互換,此運算需要較為嚴謹的數學討論,但在此我們僅僅指出若 訊號為有界平滑函數(無窮階導數存在),且僅有有限個不連續跳點,則上述積分與無窮級數順序互換之運算成立。另外我們注意到上式中的積分部分可利用 Euler formula: $e^{j \omega t} = \cos \omega t + j \sin \omega t$可得
\[\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}dt}  = \int_0^T {\cos \left( {\left( {k - n} \right){\omega _0}t} \right)dt}  + j\int_0^T {\sin \left( {\left( {k - n} \right){\omega _0}t} \right)dt} \]觀察上式,當 $k =n$ 時,我們可計算積分值,但當 $k \neq n$時,對 $\sin, \cos$ 一個週期的積分值為 $0$,也就是說
\[\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}dt}  = \left\{ \begin{array}{l}
T,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}k = n\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}k \ne n
\end{array} \right.
\]故 $(*)$ 可改寫為
\[\begin{array}{l}
\int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}\int_0^T {{e^{j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}dt} } \\
 \Rightarrow \int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt = {a_n}T\\
 \Rightarrow {a_n} = \frac{1}{T}\int_0^T {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}} dt \ \ \ \ (\star)
\end{array}
\]故若訊號 $x(t)$ 具有 Fourier Series Representation (亦即,可以被表示成 諧波相關 complex exponentials 的線性組合),則 Fourier Series 的係數由上式 $(\star)$給出。

我們可以給一個總結如下:
對於連續時間 週期訊號 $x(t)$ 若 Fourier Series Representation存在:則下列的對偶關係式成立
\[\left\{ \begin{array}{l}
x(t) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}\\
{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t){e^{ - jk{\omega _0}t}}} dt
\end{array} \right.
\]上述的 Fourier Series 係數 $a_k$ 是用來 measure 週期訊號 $x(t)$ 中 每一次諧波分量的成分大小。另外 $a_0$ 表示 直流(DC) 分量,亦即讓 $k=0$,則 $a_k$式 $(\star)$ 變成
\[{a_0} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t)} dt\]

現在我們看個例子:

Example

\[x\left( t \right) = 1 + \sin {\omega _0}t + 2\cos {\omega _0}t + \cos \left( {2{\omega _0}t + \frac{\pi }{4}} \right)
\]試求 Fourier Series 係數 $a_k$

Solution
注意到 $x(t)$ 的最後一項 $\cos \left( {2{\omega _0}t + \frac{\pi }{4}} \right)$ 可用 三角函數和差化積得到
\[\begin{array}{l}
\cos \left( {2{\omega _0}t + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2{\omega _0}t} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {2{\omega _0}t} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \cos \left( {2{\omega _0}t} \right)\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sin \left( {2{\omega _0}t} \right)\frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array}
\]故 $x(t)$ 變為
\[ \Rightarrow x\left( t \right) = 1 + \sin {\omega _0}t + 2\cos {\omega _0}t + \cos \left( {2{\omega _0}t} \right)\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sin \left( {2{\omega _0}t} \right)\frac{1}{{\sqrt 2 }}
\]利用 Fourier Series 定義,我們首先將其改寫為 complex exponential 的線性組合,利用 Euler formula,我們可得
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{2j}}\left( {{e^{j{\omega _0}t}} - {e^{ - j{\omega _0}t}}} \right) + \left( {{e^{j{\omega _0}t}} + {e^{ - j{\omega _0}t}}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {{e^{j\left( {2{\omega _0}t} \right)}} + {e^{ - j\left( {2{\omega _0}t} \right)}}} \right) + \frac{1}{{j2\sqrt 2 }}\left( {{e^{j\left( {2{\omega _0}t} \right)}} - {e^{ - j\left( {2{\omega _0}t} \right)}}} \right)
\end{array}
\]整理上式得到
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \underbrace 1_{{a_0}} + \underbrace {\left( {1 + \frac{1}{{2j}}} \right)}_{{a_1}}{e^{j{\omega _0}t}} + \underbrace {\left( {1 - \frac{1}{{2j}}} \right)}_{{a_{ - 1}}}{e^{ - j{\omega _0}t}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} + \underbrace {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {1 + \frac{1}{j}} \right)}_{{a_2}}{e^{j\left( {2{\omega _0}t} \right)}} + \underbrace {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {1 - \frac{1}{j}} \right)}_{{a_{ - 2}}}{e^{ - j\left( {2{\omega _0}t} \right)}} \ \ \ \ \square
\end{array}\]

Example 2: Sinc function
考慮週期方波如下圖所示

試求其 Fourier Series coefficients $a_k$:
Solution
首先判斷上式週期訊號 $x(t)$ 的週期為 $T$。
利用 $(\star)$ 我們可先計算 $a_0$
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_0} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t)} dt}\\
{ \Rightarrow {a_0} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {x(t)} dt = \frac{1}{T}\int_{ - {T_1}}^{{T_1}} 1 dt = \frac{{2{T_1}}}{T}}
\end{array}\]接著計算 $a_k$
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t){e^{ - jk{\omega _0}t}}} dt}\\
{ \Rightarrow {a_k} = \frac{1}{T}\int_{ - {T_1}}^{{T_1}} {{e^{ - jk{\omega _0}t}}} dt = \frac{1}{{jk{\omega _0}T}}\left( {{e^{jk{\omega _0}{T_1}}} - {e^{ - jk{\omega _0}{T_1}}}} \right)}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{2}{{k{\omega _0}T}}\left( {\frac{{{e^{jk{\omega _0}{T_1}}} - {e^{ - jk{\omega _0}{T_1}}}}}{{2j}}} \right) = \frac{{2\sin \left( {k{\omega _0}{T_1}} \right)}}{{k{\omega _0}T}}}
\end{array}\]注意到 $T := \frac{2 \pi}{\omega_0}$,故我們可進一步改寫上式得到
\[{a_k} = \frac{{\sin \left( {k{\omega _0}{T_1}} \right)}}{{k\pi }},\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}k \ne 0\]且 $a_0 = \frac{T_1}{T}$。上式 $a_k$ 稱為 sinc function。

有了上述結果,我們可以做些實驗看看此係數的分布
我們固定 $T = 4 T_1$,則 Fourier Series coefficient 的分布如下圖

若將週期提高為 $T = 16 T_1$,則分布如下



Gibbs Phenomenon of Periodic Square Wave
延續上方例子,現在若限制 $|k| \le N$ ,且將每一個 $a_k$ 透過 complex exponential 做有限$N$項的線性組合,可得到前有限 $N$項的訊號,記做$x_N(t)$,
\[
x_N(t) = \sum_{k=-N}^{N} a_k e^{j k \omega_0 t}
\]我們試圖看看用此訊號 $x_N(t)$ "近似" 原本 $x(t)$ (以無窮項的 Fourier Series Representation) 看看是否確實還原我們的週期方波訊號。現在讓 $N$ 分別為 $1, 3,7,19,79$我們會得到下圖
上圖會發現方波確實被還原,但在不連續端點部分出現過大的 overshoot ,且不論 $N$ 如何增加,只要是有限的 $N$,該處的不連續 overshoot現象都回持續存在 (約 9% overshoot 在不連續點處),此一現象稱為 Gibbs phenomenon。

ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems

[系統理論] 連續時間週期訊號的 Fourier Series Representation (1) - Periodic signal represents by linear combination of complex exponentials

在系統理論中,週期訊號是非常重要的一類訊號,我們將在這篇文章介紹 對於週期訊號的頻域處理: Fourier Series Representation。本質上想法就是企圖將 週期訊號 透過 Complex exponentials 展開 (或者等價 用 sin 與 cos 展開)。

Comment:
1. 上述句子提及的展開 表示 週期訊號 可以透過 complex exponential 透過線性組合 建構。
2. 儘管 Fourier Series 對"大部分" 週期訊號 (e.g., 連續週期訊號)都成立。但若欲擴展到 "任意" 週期訊號的 Fourier Series Representation 須加上額外條件保證 Fourier Sereis 收斂,此部分會在後續文章再做討論。
3. 注意到若訊號為 "非週期"訊號,則 Fourier Series 不能使用,需引入 Fourier Transform!! 關於 Fourier Transform 的議題我們會在之後再做討論。 (基本想法仍不變,只是將非週期訊號 "看成" 週期訊號 但週期為無窮大)


======================
Definition: (Continuous Time Periodic Signal)
我們稱一個訊號 $x(t)$ 為週期訊號 (periodic signal) 若下列條件成立:
對任意時間 $t>0$ 存在一正實數 $T >0$,使得
\[
x(t) = x(t + T)
\]======================
下圖為連續時間的週期訊號的一個例子

我們稱 $T_0$ 為 週期訊號 $x(t)$ 的基本週期(fundamental period) 若下列條件滿足:
取最小週期 $T_0 = T>0$ 使得 $x(t) = x(t+T)$仍然成立。

由基本週期的定義,我們可透過 $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ 定義 基本頻率 (fundamental frequency, $\omega_0$)
\[
\omega_0 := \frac{2 \pi}{T_0}
\] Example
考慮
\[x\left( t \right) = 1 + \sin {\omega _0}t + 2\cos {\omega _0}t + \cos \left( {2{\omega _0}t + \frac{\pi }{4}} \right)
\]則上述訊號 為週期訊號 (或者週期訊號的線性組合),且 fundamental frequency 為 $\omega_0$。

下面是一些常見的 週期訊號 :
-----------
Example
1. $x(t) = \cos \omega_0 t$
2.  $x(t) = e^{j \omega_0 t}$
-----------

Proof:
給定 $t>0$,
1. 先證 $\cos \omega_0 t$ 為週期訊號,亦即要證明 存在一個 $T >0$ 使得
\[
\cos(\omega_0 (t + T)) = \cos( \omega_0 (t))
\]現在令 $T := \frac{2\pi}{ |\omega_0|} >0$,則
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos ({\omega _0}(t + T)) = \cos ({\omega _0}(t + \frac{{2\pi }}{{\left| {{\omega _0}} \right|}}))}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \cos ({\omega _0}t \pm 2\pi ) = \cos ({\omega _0}t)}
\end{array}\]亦即 $\cos \omega_0 t$ 確實為週期訊號。

2. 我們接著證 $e^{ j \omega_0 t}$ 為週期訊號,亦即要證明 存在一個 $T >0$ 使得
\[
e^{j\omega_0 (t + T)} = e^{j\omega_0 t}
\]同樣取 $T := \frac{2\pi}{ |\omega_0|} >0$,則
\[\begin{array}{l}
{e^{j{\omega _0}(t + T)}} = {e^{j{\omega _0}\left( {t + \frac{{2\pi }}{{\left| {{\omega _0}} \right|}}} \right)}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = {e^{j({\omega _0}t \pm 2\pi )}} = \cos ({\omega _0}t \pm 2\pi ) + jsin\left( {{\omega _0}t \pm 2\pi } \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \cos ({\omega _0}t) + jsin\left( {{\omega _0}t} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = {e^{j({\omega _0}t)}}
\end{array}\]亦即 $e^{j\omega_0 t} $ 確實為週期訊號。$\square$。


現在我們考慮訊號為 Complex exponentials,亦即
\[
x(t) = e^{j \omega_0 t}
\]其對應的 fundamental frequency 為 $\omega_0$ 。

現在我們定義一組與諧波相關(harmonically related)的 complex exponentials  如下
\[
\phi_k(t) := e^{k \omega_0 t}
\]上述 $\phi_k(t)$ 仍為週期訊號且 fundamental frequency 仍為 $\omega_0$,現在若我們把週期訊號 透過 線性組合疊加 寫成下列無窮級數形式:
\[
x\left( t \right): = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{\phi _k}\left( t \right)}  = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} \ \  \ \ (*)
\]則我們說上述訊號 $x(t)$ 仍為 一個週期為 $T$ 的訊號。

NOTE: 上述的無窮級數形式稱為週期訊號 $x(t)$ Fourier Series Representation。亦即,給定係數 $a_k$,我們便可以透過 complex exponentials 的線性組合 來建構週期訊號 $x(t)$。

Comments:
對於
\[
x\left( t \right): = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} \ \  \ \ (*)
\]
注意到 $k=0$時,上式 $(*)$為常數。
\[x\left( t \right): = {\left. {\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} } \right|_{k = 0}} = {a_0}
\]若 $k= \pm 1$時,此時 $(*)$ 可寫為
\[x\left( t \right): = {\left. {\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} } \right|_{k =  \pm 1}} = {a_1}{e^{j{\omega _0}t}} + {a_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}}
\]上式仍為 週期函數且 fundamental freqeuncy 為 $\omega_0$,我們稱為 1次諧波分量 (first harmonic compoenents)
同理,若 $k = \pm2$時,我們亦可得到週期函數,且 fundamental frequency 為 $2 \omega_0$,稱為 2次諧波分量 (second harmonic componenents),以此類推,若 $k= \pm N$時,我們透過 $(*)$仍得到的週期函數,且 fundamental frequency 為 $N \omega_0$ 稱為 N次諧波分量。

我們現在看個例子:
考慮週期訊號 $x(t)$ 具有 fundamental frequency $2 \pi$ 表為
\[x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - 3}^3 {{a_k}{e^{jk2\pi t}}}
\]其中 $a_0 =1, \; a_1 = a_{-1} = 1/4$, $a_2 = a_{-2}=1/2$, $a_3 = a_{-3} = 1/3$。試求原本 $x(t) = ?$
Solution:
將給定係數 $a_k, k= -3,-2,-1,0,1,2,3$帶入上式,我們可得
\[{\small
\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - 3}^3 {{a_k}{e^{jk2\pi t}}} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = {a_0} + {a_1}{e^{j2\pi t}} + {a_{ - 1}}{e^{ - j2\pi t}} + {a_2}{e^{j4\pi t}} + {a_{ - 2}}{e^{ - j4\pi t}} + {a_3}{e^{j6\pi t}} + {a_{ - 3}}{e^{ - j6\pi t}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = 1 + \frac{1}{4}\left( {{e^{j2\pi t}} + {e^{ - j2\pi t}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{e^{j4\pi t}} + {e^{ - j4\pi t}}} \right) + \frac{1}{3}\left( {{e^{j6\pi t}} + {e^{ - j6\pi t}}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = 1 + \frac{1}{2}\left( {\frac{{{e^{j2\pi t}} + {e^{ - j2\pi t}}}}{2}} \right) + \frac{1}{1}\left( {\frac{{{e^{j4\pi t}} + {e^{ - j4\pi t}}}}{2}} \right) + \frac{2}{3}\left( {\frac{{{e^{j6\pi t}} + {e^{ - j6\pi t}}}}{2}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = 1 + \frac{1}{2}\left( {\cos 2\pi t} \right) + \frac{1}{1}\left( {\cos 4\pi t} \right) + \frac{2}{3}\left( {\cos 6\pi t} \right) \square
\end{array}
}\]

現在如果反過來,如果給定週期訊號 $x(t)$,如何反求 Fourier Series Represetnation 的係數 $a_k$ ? 我們將留待下一篇文章在做介紹。

ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems

2011年8月10日 星期三

[線性系統] 離散時間 LTI 系統的漸進穩定度

考慮離散時間系統
\[
x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)
\]若 $A$ 為 穩定矩陣,且 $u(k) \to 0$ 則 $x(k) \to 0$

Proof:
我們要證明  $x(k) \to 0$,故給定任意 $\varepsilon>0$,要證明 存在 $M>0$ 使得 對任意 $k \ge M$,我們有
\[
|x(k)| \le \varepsilon
\]
注意到該系統 $x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)$ 的解為
\[{x(k) = {A^k}x(0) + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{A^{k - 1 - j}}Bu(j)} }
\]兩邊同取 norm 並利用三角不等式 可得
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {x(k)} \right| = \left| {{A^k}x(0) + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{A^{k - 1 - j}}Bu(j)} } \right|}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \left| {{A^k}} \right|\left| {x(0)} \right| + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left| {{A^{k - 1 - j}}} \right|\left| B \right|} \left| {u(j)} \right|}
\end{array}\ \ \ \ \ (*)
\]回憶 Horn 與 Johnson (1985) 的結果:
==================
FACT:
\[
|A^k| \le c \lambda^k, \; c>0 \;\; \max_i |eig_i(A)| < \lambda <1
\]==================

\[\left| {x(k)} \right| \le c{\lambda ^k}\left| {x(0)} \right| + c\left| B \right|\sum\limits_{j = 0}^{\infty} {{\lambda ^{k - 1 - j}}\left| {u(j)} \right|} \]現在利用已知假設 $u(k) \to 0$ 我們可推知必存在 $ N > 0$ 使得 對任意 $k \ge N$,我們有
\[\left| {u(k)} \right| \le \frac{{\varepsilon \left( {1 - \lambda } \right)}}{{2c{\lambda ^k}\left| B \right|}}\]將上述結果代入 $(*)$ 可得
\[\begin{array}{l}
\left| {x(k)} \right| \le c{\lambda ^k}\left| {x(0)} \right| + c\left| B \right|\sum\limits_{j = 0}^\infty  {{\lambda ^{k - 1 - j}}\frac{{\varepsilon \left( {1 - \lambda } \right)}}{{2c{\lambda ^k}\left| B \right|}}} \\
 \Rightarrow \left| {x(k)} \right| \le c{\lambda ^k}\left| {x(0)} \right| + \frac{\varepsilon }{2}
\end{array}\]由於 $\lambda <1$ 我們可選 $M'>0$ 使得 對任意 $k \ge \max (M', N)$
\[
c\lambda^k |x(N)| \le \varepsilon/2, \;\; \forall k \ge m'
\]現在結合前述結果我們可推得 對任意 $k \ge M = \max(M', N)$,
\[\left| {x(k)} \right| \le \varepsilon
\]即為所求。 $\square$

2011年8月6日 星期六

[Win8] 系統插斷異常占用CPU資源可能的解決方法

前陣子偶然發現個人 Sony Vaio 筆電 (Windows 8 作業系統) 的 "系統插斷" 程式 經常呈現異常性占用CPU資源 10~30% 左右,此類問題多半是硬體相衝所導致。下圖為 "系統插斷" 正常CPU使用情況圖


經過查詢之後發現 主因是筆電內建顯卡(Intel HD Graphics 3000) 與 獨立顯卡 (AMD Radeon 6700M) 硬體相衝問題。(多半是 Intel 顯卡有相衝問題,需要更新驅動)

解決方法很簡單,如果有發現異常 系統插斷占用,可以前往 Intel  與 AMD 官方網站 更新顯卡驅動到最新版本便可解決。



2011年8月2日 星期二

[線性系統] 淺談動態系統的可控制性(1)

一般而言控制理論中有三大重要性質
  1. 可控制性 (controllability)
  2. 可觀測性 (observability)
  3. 穩定性 (stability)

這次主要是介紹 動態系統 的 可控制性(Controllability)。

考慮 $n$ 個狀態 且 $p$ 組輸入的狀態方程
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{A}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{B}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)
\]其中 ${\bf A}(t)$ 為 $n \times n$ 時變矩陣,${\bf B}(t)$ 為 $n \times p$ 時變矩陣。

控制性的基本想法如下:
若系統某狀態 $\bf x$ 可以透過某對應的控制力 $\bf u$ 來影響 (在有限時間 $t$ 中從任意狀態 $x_0$ 被移動到指定狀態 $x(t)$),則我們稱此狀態為可控制。

由於輸出方程與系統控制性無關,我們這邊只考慮狀態方程。

以下先給出對於線性非時變系統 其 系統可控制性的定義

=====================
Definition: (Controllability for LTI system)
我們稱狀態方程
\[
{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)
\] 或者一組 $\left( {{\bf{A,B}}} \right)$ 為在時刻 $t_0$ 可控制(controllable),若下列條件成立:
對任意初始狀態 ${\bf{x}}\left( t_0 \right) = {\bf x}_0$ 與 終止狀態 ${\bf x}_1$,存在時刻 $t_1 \ge t_0$ 與 一組輸入訊號 ${\bf u}(t)$ 使得可以在有限時間 $t_1$ 內將 ${{\bf{x}}_0}$ 送至 ${{\bf{x}}_1}$。反之我們稱此 $\left( {{\bf{A,B}}} \right)$ 不可控制 (uncontrollable)。
======================

那麼該如何檢驗控制性? 我們給初以下方法:
======================
Theorem: Controllability and Controllability Matrix Test
考慮 $n$ 階 LTI System 表為
\[
{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)
\] 我們說 系統為 完全狀態可控制 若且為若 下列控制性矩陣(controllability matrix)
\[
\mathcal{C} :=[{\bf B}\;\; {\bf AB}\;\; {\bf A}^2{\bf B}\;\;...\;\; {\bf A}^{n-1}{\bf B}]
\]為 full rank 。(亦即 $\text{rank}({\cal C}) = n$)
======================
Comment: 若 $\text{rank}({\cal C}) = n -1$ 則表示系統有1個狀態不可控;若 $\text{rank}({\cal C}) = n -2$ 表系統有2個狀態不可控;以此類推;若 $\text{rank}({\cal C}) = 0$ 表系統所有狀態不可控。

另外我們還有另一個等價的方法可以檢驗控制性:
不過在介紹之前我們需要先介紹 線性獨立 (linearly independent) 的時間函數 $f_i(t)$ 以及如何判別一組時間函數是否彼此為線性獨立:

======================
Definition: (Linear independence of time functions)
考慮 $f_1(t), f_2(t), ..., f_n(t)$ 為連續函數。我們說此組連續函數為彼此 線性相依 (linear dependent) 若下列條件成立:
存在一組不全為零的純量 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ ,使得
\[
\alpha_1 f_1(t) + \alpha_2 f_2(t) + ... + \alpha_n f_n(t) = 0, \; \forall t \in [t_0,t_1]
\]反之,此組 $f_1(t), f_2(t), ..., f_n(t)$ 稱為彼此線性獨立(linear independent) (此時 所有的係數 $\alpha_i =0$)。
=====================

=====================
Theorem: 
給定 $t_0$ 為初始時刻,$t_1$ 為終止時刻,現在定義
\[
{\bf F}\left( t \right): = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{f_1}\left( t \right)}\\
{{f_2}\left( t \right)}\\
 \vdots \\
{{f_n}\left( t \right)}
\end{array}} \right]
\] 與
\[
{\bf W}(t_1) := \int_{t_0}^{t_1} {\bf F}(\tau) {\bf F}^T(\tau) d \tau,
\]則 $f_i$ 在區間 $[t_0,t_1]$ 之間彼此互為線性獨立 若且為若 $W(t_1)$ 為 nonsingular 矩陣。
=====================

Proof:
首先證明 $(\Rightarrow)$
利用歸謬法(Suppose toward to contradiction),假設 $W(t_1)$ 為 singular。則 $W(t_1)$ 有線性相依的行或者列向量,故存在一組不全為零的向量 $\alpha$ 使得
\[\alpha^T {\bf W}(t_1) \alpha=0,
\]亦即
\[\begin{array}{l}
{\alpha ^T}{\bf{W}}({t_1})\alpha  = 0\\
 \Rightarrow {\alpha ^T}{\bf{W}}({t_1})\alpha  = {\alpha ^T}\left( {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {{\bf{F}}(\tau ){{\bf{F}}^T}(\tau )} d\tau } \right)\alpha  = 0\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\underbrace {{\alpha ^T}{\bf{F}}(\tau )}_{: = {\bf{\xi }}\left( \tau  \right)}\underbrace {{{\bf{F}}^T}(\tau )\alpha }_{: = {{\bf{\xi }}^T}\left( \tau  \right)}} d\tau  = 0\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {{\bf{\xi }}\left( \tau  \right){{\bf{\xi }}^T}\left( \tau  \right)} d\tau  = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {{{\left\| {{\bf{\xi }}\left( \tau  \right)} \right\|}^2}} d\tau  = 0\\
 \Rightarrow {\left\| {{\bf{\xi }}\left( \tau  \right)} \right\|^2} = 0 \Rightarrow {\bf{\xi }}\left( \tau  \right) = 0 \Rightarrow {\alpha ^T}{\bf{F}}(\tau ) = 0
\end{array}
\]
亦即我們有 $f_i$ 之間彼此線性相依。此結果與原本 $f_i$ 線性獨立的假設矛盾。

接著證明 $(\Leftarrow)$
同樣採用歸謬法,假設 $f_i$ 彼此線性相依,故我們知道存在一組不全為零的純量 $\alpha_i, \; i=1,2,...,n$ 使得 $\sum_i \alpha_i f_i =0$。我們可將此結果可寫成向量形式
\[
\alpha^T {\bf F}(t) =0
\]其中 $\alpha^T :=[\alpha_1\;\alpha_2\;...\;\alpha_n]$。現在我們觀察矩陣 ${\bf{W}}({t_1})$,並且對其左邊乘上向量 $\alpha^T$可得
\[\begin{array}{l}
{\alpha ^T}{\bf{W}}({t_1}) = {\alpha ^T}\left( {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {{\bf{F}}(\tau ){{\bf{F}}^T}(\tau )} d\tau } \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\underbrace {{\alpha ^T}{\bf{F}}(\tau )}_{ = 0}{{\bf{F}}^T}(\tau )} d\tau  = 0\\
 \Rightarrow {\alpha ^T}{\bf{W}}({t_1}) = 0
\end{array}
\]上式暗示了 ${\bf{W}}({t_1})$ 矩陣為 Singular,此結果與假設 ${\bf{W}}({t_1})$ 為 nonsingular 矩陣矛盾。

至此證畢。$\square$


那麼現在讓我們回到 線性時變 狀態方程
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{A}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{B}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)
\]我們知道此狀態方程的解為
\[{\bf{x}}\left( t \right) = {\bf{\Phi }}\left( {{t_1},{t_0}} \right){\bf{x}}\left( {{t_0}} \right) + \int_{{t_0}}^t {{\bf{\Phi }}\left( {t,\tau } \right){\bf{B}}\left( \tau  \right){\bf{u}}\left( \tau  \right)} d\tau
\]其中 ${\bf \Phi}(t,\tau)$ 稱作狀態轉移矩陣 (State transition matrix)。

那麼我們現在便可以把控制性與之前所討論的線性獨立性質聯合再一起,我們將此結果記做下面的重要定理。

======================
Theorem: (Controllability criterion for LTV system)
我們稱 線性時變(LTV) 狀態方程
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{A}}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) + {\bf{B}}\left( t \right){\bf{u}}\left( t \right)
\]為 在時刻 $t_0$可控制 若且為若 存在一時刻 $t_1 \ge t_0$ 使得 矩陣 ${\bf \Phi(t,\tau)}B(\tau)$ 在區間 $[t_0, t_1]$ 之間 具有線性獨立的 行向量 (row vectors);或者等價地說,下列 $n \times n$矩陣
\[{\bf{W}}({t_1}): = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {{\bf{\Phi }}\left( {{t_1},\tau } \right){\bf{B}}\left( \tau  \right){{\bf{B}}^T}\left( \tau  \right){{\bf{\Phi }}^T}\left( {{t_1},\tau } \right)} d\tau \]為 nonsingular。
=====================

Comment
1. 上述矩陣\[{\bf{W}}({t_1}): = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {{\bf{\Phi }}\left( {{t_1},\tau } \right){\bf{B}}\left( \tau  \right){{\bf{B}}^T}\left( \tau  \right){{\bf{\Phi }}^T}\left( {{t_1},\tau } \right)} d\tau \]稱作 Controllability Grammian。

2. 上述定理亦可適用於 LTI system。我們將定理記做下面

======================
Theorem: (Controllability criterion for LTI system)
考慮系統為 LTI,其狀態方程
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)\]為可控制 若且為若 對任意 $t>0$,下列矩陣
\[{\bf{W}}(t): = {\int_{\rm{0}}^t {{e^{{\bf{A}}\left( {t - \tau } \right)}}{\bf{B}}{{\bf{B}}^T}\left( {{e^{{\bf{A}}\left( {t - \tau } \right)}}} \right)} ^T}d\tau \]為 nonsingular。
=====================

3. 關於狀態轉移矩陣相關議題,請參考BLOG相關文章
[線性系統] 動態方程式的求解(1) - LTI state equation
[線性系統] 動態方程式的求解(2) - LTV state equation- Homogeneous solution
[線性系統] 動態方程式的求解(3) - LTV state equation- Total Solution



[線性系統] 漸進穩定度 與 Lyapunov Theorem

這次要介紹如何 透過 Lyapunov Theorem 來檢驗線性系統 ${\bf{\dot x}} = {\bf{Ax}}$ 的漸進穩定度 (Asymptotic Stability)。關於非線性系統的漸進穩定度讀者可參考下列兩篇文章:

現在回憶我們先前提過控制系統的兩種絕對穩定度:BIBO穩定 與 漸進穩定度。
概念上 BIBO穩定為插上電源看看系統會不會壞掉,漸進穩定則是測試拔掉電源看看系統會不會停止。

Lyapunov Energy Ideas
一般而言,Lyapunov 觀點是透過能量的角度看系統穩定度。也就是說考慮系統狀態 ${\bf{x}}\left( t \right) $,那麼
 \[
{\bf{x}}\left( t \right) \to 0 \Leftrightarrow {{\bf{x}}^T}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) \to 0
\] 注意到上述 ${{\bf{x}}^T}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right)$ 可看成能量。那麼為了達成上式,我們可以透過 能量對時間的變化率 (系統狀態能量對時間微分) 若為負值,則表示能量在逐漸溢散(decaying energy),亦即可透過
\[
\frac{d}{dt} {{\bf{x}}^T}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) <0
\] 達成 ${\bf{x}}\left( t \right) \to 0 \Leftrightarrow {{\bf{x}}^T}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) \to 0$

注意:這邊我們說 ${\bf{A}}$ 矩陣為穩定若下面條件成立:
對 ${\bf{A}}$ 的所有 eigenvalue 有負實部。

現在我們看一個例子來展示 Lyapunov Energy Idea,

Example
考慮
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&0\\
2&{ - 3}
\end{array}} \right]{\bf{x}}\left( t \right)
\]現試著找出系統能量是否 decaying?

Solution
注意到此系統 $\bf A$ 矩陣 為常數下三角矩陣,其 eigenvalue 為 $-1, -3$ 由穩定度定理可知系統為穩定系統。現在我們看看 Lyapunov Energy Idea 是否也可以幫助我們判別系統穩定度。

首先觀察系統狀態能量的微分
\[\begin{array}{l}
\frac{d}{{dt}}{{\bf{x}}^T}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( t \right)}&{{x_2}\left( t \right)}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\left( t \right)}\\
{{x_2}\left( t \right)}
\end{array}} \right]} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{d}{{dt}}\left( {{x_1}^2\left( t \right) + {x_2}^2\left( t \right)} \right) = 2{x_1}\left( t \right){{\dot x}_1}\left( t \right) + 2{x_2}\left( t \right){{\dot x}_2}\left( t \right)
\end{array}
\]又因為
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&0\\
2&{ - 3}
\end{array}} \right]{\bf{x}}\left( t \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\dot x}_1}\left( t \right)}\\
{{{\dot x}_2}\left( t \right)}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {x_1}\left( t \right)}\\
{2{x_1}\left( t \right) - 3{x_2}\left( t \right)}
\end{array}} \right]
\]故我們可得
\[\begin{array}{l}
\frac{d}{{dt}}{{\bf{x}}^T}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) = 2{x_1}\left( t \right){{\dot x}_1}\left( t \right) + 2{x_2}\left( t \right){{\dot x}_2}\left( t \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = 2{x_1}\left( t \right)\left( { - {x_1}\left( t \right)} \right) + 2{x_2}\left( t \right)\left( {2{x_1}\left( t \right) - 3{x_2}\left( t \right)} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} =  - 2{x_1}^2\left( t \right) + 4{x_2}\left( t \right){x_1}\left( t \right) - 6{x_2}^2\left( t \right) \ \ \ \ (*)
\end{array}
\]現在若上式 $<0$ 則我們由 Lyapunov Energy Ideas 即可斷定系統狀態 ${\bf{x}}\left( t \right) \rightarrow 0$。故我們進一步改寫 $(*)$ 成矩陣形式:
\[\frac{d}{{dt}}{{\bf{x}}^T}\left( t \right){\bf{x}}\left( t \right) = {{\bf{x}}^T}\left( t \right)\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&2\\
2&{ - 6}
\end{array}} \right]}_Q{\bf{x}}\left( t \right)
\]注意到上述矩陣 $Q$ 為 對稱 負定矩陣(negative definite ) 因為 由對稱負定矩陣定義 : $-Q$ 必須為正定矩陣。由於
\[-Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 2}\\
{ - 2}&6
\end{array}} \right]
\]其對應的
1st Leading principal minor: $= 2 >0$,
2nd Leading principal minor: $= 2 \times 6 - (-2) \times (-2) = 8>0$,故 $Q$ 為負定矩陣。且我們知道此系統能量會溢散。亦即 Lyapunov Energy Ideas 確實可以幫助我們判斷系統穩定度。

現在看下面這個定理:
=======================
Theorem: Lyapunov Theorem
 ${\bf{A}}$ 矩陣的 所有 eigenvalue 有 負實部 ( ${\bf{A}}$ 矩陣 為穩定) 若且為若
對任意給定 正定對稱 (Positive definite symmetric) 矩陣 ${\bf {Q}}$,其 Lyapunov equation
\[
{{\bf{A}}^T}{\bf{P + PA = }} - {\bf{Q}}
\]有 唯一解 ${\bf {P}}$, 且此唯一解 ${\bf {P}}$ 為 正定對稱矩陣。
=======================

上述定理與 Lyapunov Energy 能量觀點可以整合

對 ${\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right)$,現在定義 Energy-like function
\[V\left( {\bf{x}} \right){\rm{ }}: = {{\bf{x}}^T}\left( t \right){\bf{Px}}\left( t \right)\]
其中 $\bf P$ 為 Lyapunov equation ${{\bf{A}}^T}{\bf{P}} + {\bf{PA}} =  - {\bf{Q}} $ 的解。則
\[
\frac{d}{dt} {\bf V(x(t))} <0
\]為系統漸進穩定度的判別條件。

[線性系統] LTI 系統的輸入輸出 BIBO 穩定度

這次要介紹線性系統的穩定度。一般而言在設計控制系統的時候第一步就是要檢驗系統是否穩定,如果不穩定則往往導致系統損毀。不可不慎。

一般而言控制系統穩定度可區分兩類

  1. 絕對穩定度:
    指系統是否穩定的指標:一般而言有 BIBO 穩定 與 漸進穩定。
  2. 相對穩定度:指系統穩定程度的指標: 一般而言由 pole location,Phase Margin, Gain Margin 決定
而一般穩定度的判別方法也有兩種
  1. Routh-Hurwitz criterion
    只適用於線性系統,有興趣讀者可自行參閱任何一本自動控制教科書都會有詳細介紹。
  2. Lyapunov energy approach
    對線性/非線性系統皆適用。
Comment:
給不關心理論的讀者:事實上,在實用面上,大多時候我們可以直接使用 MATLAB 等套裝軟體直接求解 eigenvalue 並且判斷是否落在 s-plane 的左半面即可 (如果落在左半面不含虛軸,我們稱此系統 "穩定" )。




考慮一個 SISO LTI 系統描述如下:
\[
y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau)d \tau = \int_0^t g(\tau) u(t- \tau)d\tau
\]其中 $g(t)$ 為系統脈衝響應(impulse response)

現在我們給出下面定義
====================
Definition: Bounded function
一個輸入函數 $u(t)$ 稱作有界 (bounded) 如果下列條件成立:
若存在一個夠大的常數 $u_M$ 使得
\[
|u(t)| \le u_M < \infty, \; \forall t \ge 0
\]====================


有了有界函數的定義,我們可以定義何謂 BIBO 穩定
====================
Definition: BIBO stability
一個系統被稱為 BIBO stable (Bounded input bounded output stable) 若下列條件成立:
對任意有界輸入,系統都產生有界輸出。則此系統為 BIBO 穩定。
====================

Comment:
1. BIBO 穩定度 只定義在 zero-state response 且系統假設為鬆弛系統亦即初始狀態為零。

2. 上述 BIBO 定義 陳述等價如下:
考慮系統 輸入為 $u(t)$,輸出為 $y(t)$,現若存在 $M, N >0$ 使得
\[
|u(t)| \le M < \infty \Rightarrow |y(t)| \le N < \infty
\]則系統稱為 BIBO穩定。


現在我們看個重要的定理:

=====================
Theorem: BIBO stability criterion of LTI system 
考慮 SISO LTI 系統
\[
y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau)d \tau = \int_0^t g(\tau) u(t- \tau)d\tau
\]為 BIBO stable 若且為若 存在一個夠大的常數 $M$ 使得
\[
\int_0^\infty |g(t)|dt \le M < \infty
\]=====================
Proof
我們首先證明 $\Leftarrow$,亦即
假設
\[
\int_0^\infty |g(t)|dt \le M < \infty
\] 欲證 LTI 系統 為 BIBO穩定。

故由BIBO定義,給定 $u(t)$ 滿足 $|u(t)| \le u_M < \infty$,要證明 $|y(t)| < \infty$。

由於
\[\begin{array}{l}
\left| {y(t)} \right| = \left| {\int_0^t g (\tau )u(t - \tau )d\tau } \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} \le \int_0^t {\left| {g(\tau )u(t - \tau )} \right|} d\tau  \le {u_M}\int_0^t {\left| {g(\tau )} \right|} d\tau
\end{array}
\]現在由假設 $\int_0^\infty |g(t)|dt \le M < \infty$,我們可得
\[\left| {y(t)} \right| \le {u_M}\int_0^t {\left| {g(\tau )} \right|} d\tau  \le {u_M}\int_0^\infty {\left| {g(\tau )} \right|} d\tau  \le {u_M}M < \infty
\] 故得證。

接著我們證明 $\Rightarrow$。亦即需要證明
若 SISO LTI 系統
\[
y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau)d \tau = \int_0^t g(\tau) u(t- \tau)d\tau
\]為 BIBO stable,則 存在一個夠大的常數 $M$ 使得
\[
\int_0^\infty |g(t)|dt \le M < \infty
\]
現在我們取非,利用反證法 改證
對所有常數 $M$,\[
\int_0^\infty |g(t)|dt >M
\],則 SISO LTI 系統
\[
y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau)d \tau = \int_0^t g(\tau) u(t- \tau)d\tau
\]不為 BIBO stable (存在一組輸入 $u(t)$ 使得 輸出 $y(t) = \infty$)

首先注意到由於對所有 $M$,
\[
\int_0^\infty |g(t)|dt >M
\],此陳述等價於 存在一個 $t_1$ 使得
\[
\int_0^{t_1} |g(t)|dt = \infty
\]接著我們要證明 LTI 系統不為 BIBO stable,故現在建構一組輸入 $u(t)$ 滿足下式
\[u\left( t_1 - \tau \right) := {\rm sgn}(g(\tau) )= \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm if}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}g\left( \tau  \right) \ge 0\\
 - 1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm if}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}g\left( \tau  \right) < 0
\end{array} \right.
\]則其對應的輸出
\[y({t_1}) = \int_0^{{t_1}} g (\tau )u({t_1} - \tau )d\tau  = \int_0^{{t_1}} {\left| {g(\tau )} \right|} d\tau  = \infty \]故此系統不為 BIBO stable。至此得證。$\square$

Comment:
1. 上述結果等價如下:
若系統為 LTI 系統,則 系統 BIBO 穩定的充分必要條件為
其系統轉移函數對應的極點 $p_i$ 具有負實部;亦即
\[
Re[p_i] <0, i=1,2,...,n
\]

2. 若考慮系統為 SISO LTI 系統,且轉移函數 沒有發生極零點對消 (pole-zero cancelation),則系統特性根 poles = Eigenvalues ;亦即 BIBO穩定 = 漸進穩定度

3. 轉移函數 發生極零點對消 (此時 eigenvalue 的數目會多於 pole 的數目 (因為 pole 被 zero消了!!) ) 且 極零點對消在左半面,BIBO = 漸進穩定;若對消在右半面 或者 虛軸上,則 BIBO 不等於 漸進穩定。亦即 BIBO 穩定不一定為 漸進穩定。

4. 若 $\dot x = Ax + Bu;\;\; y=Cx$ 則取拉式轉換我們有
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
X\left( s \right) = {\left( {sI - A} \right)^{ - 1}}x\left( 0 \right) + {\left( {sI - A} \right)^{ - 1}}BU\left( s \right)\\
Y\left( s \right) = CX\left( x \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow Y\left( s \right) = \underbrace {\left[ {C{{\left( {sI - A} \right)}^{ - 1}}} \right]}_{{\rm{Free}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{Response}}}x\left( 0 \right) + \underbrace {\left[ {C{{\left( {sI - A} \right)}^{ - 1}}B} \right]}_{{\rm{Force}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{Response}}}U\left( s \right)
\end{array}\]

我們以下用個例子來看看剛剛討論的 pole-zero cancellation 現象 與 BIBO/Asymptotic stability。

Example: (BIBO stability does NOT imply Asymptotic stability)
考慮系統
\[\left\{ \begin{array}{l}
\dot x = Ax + Bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
2&{ - 1}
\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
1
\end{array}} \right]u\\
y = Cx = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&2
\end{array}} \right]x
\end{array} \right.
\](a) 試求 $A$ 矩陣 eigenvalue。此系統是否為 asymptotic stable?
(b) 試求此系統轉移函數?
(c) 試求此系統 unit step response,試問其對應的系統輸出 是否為 BIBO?

Solution: (a)
首先求 $A$ 矩陣的 eigenvalue:計算特性方程 $\det(sI-A) =0$ 可得
\[\begin{array}{l}
\det \left( {sI - A} \right) = 0\\
 \Rightarrow \det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
s&0\\
0&s
\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
2&{ - 1}
\end{array}} \right]} \right) = \det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
s&{ - 1}\\
{ - 2}&{s + 1}
\end{array}} \right] = s\left( {s + 1} \right) - 2 = 0\\
 \Rightarrow {s^2} + s - 2 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
s =  - 2\\
s = 1
\end{array} \right.
\end{array}
\]注意到此系統有一個 eigenvalue 為 $s=1$ (落在 s-plane 右半面),故系統不為漸進穩定。

(b):
接著我們計算轉移函數
\[\begin{array}{l}
G\left( s \right) = C{\left( {sI - A} \right)^{ - 1}}B\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&2
\end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
s&{ - 1}\\
{ - 2}&{s + 1}
\end{array}} \right]^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
1
\end{array}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{2s - 2}}{{{s^2} + s - 2}} = \frac{{2\left( {s - 1} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s - 1} \right)}} = \frac{2}{{s + 2}}
\end{array}\]注意到此時發生 pole-zero cancellation ($s=1$ 對消在右半面) !!

(c):
接著我們計算 unit-step response (注意到 unit-step 為 Bounded-input)
\[\begin{array}{l}
Y\left( s \right) = G\left( s \right)U\left( s \right) = \left( {\frac{2}{{s + 2}}} \right)\left( {\frac{1}{s}} \right) = \frac{2}{{s\left( {s + 2} \right)}} = \frac{1}{s} + \frac{{ - 1}}{{s + 2}}\\
 \Rightarrow y\left( t \right) = 1 - {e^{ - 2t}}
\end{array}\]可發現系統輸出 $|y(t)| \le 1$ 亦即為 Bounded output。故系統為 BIBO 系統 under unit-step input。