[線性系統] 轉移函數的部分分式展開 與其對應的 反拉式轉換

令轉移函數 $G(s) := \frac{N(s)}{D(s)}$，其中 $N(s)$ 與 $D(s)$ 分別為 $s$ 的多項式，現在考慮 $G(s)$ 分母階數 比 分子階數高，亦即
\[
deg N(s) < deg D(s)
\] 我們稱此 $G(s)$ 為嚴格真分有理函數 (strictly proper rational function)。

Example 1:
\[
G(s) = \frac{s-1}{(s+2)(s+5)}
\] 為嚴格真分有理函數。

Example 2:
\[
G(s) = \frac{(s +1)(s+10)}{(s+2)(s+5)}
\] 不為嚴格真分有理函數。

若 $G(s)$ 為嚴格真分有理函數，則我們可對其做部分分式展開。現在考慮某 $G(s)$ 部分分式的寫作如下：
\[\begin{array}{l}
G\left( s \right) = \underbrace {\frac{A}{{s + a}}}_{{\rm{single}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{root}}} + \underbrace {\frac{{{B_3}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^3}}} + \frac{{{B_2}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^2}}} + \frac{{{B_1}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^1}}}}_{{\rm{repetitive}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{roots}}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} + \underbrace {\left( {\frac{{{C_1}}}{\omega }} \right)\frac{\omega }{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}} + \left( {\frac{{{C_2}}}{\omega }} \right)\frac{{s + \alpha }}{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}}}_{{\rm{conjugate}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{roots}}}
\end{array}
\]其中 $A, B_3, B_2, B_1, C_1, C_2$ 為待定係數。且 $-\alpha \pm j \omega$ 為共軛複根。

我們看個例子如何求解 嚴格真分有理函數的 部分分式。

Example
試利用部分分式展開下列轉移函數
\[
G(s) = \frac{s+3}{(s+2)(s^2 + 2s + 2)}
\]Solution
首先觀察 $G(s)$ 確實為嚴格真分有理函數 (分母階數大於分子階數)。現在我們觀察 $s^2 + 2s +2$ 有一對 共軛複根 $-1 \pm j 1$ (亦即  $-\alpha \pm j \omega = -1 \pm -j$, $\alpha = 1, \omega = 1$ )
故 $G(s)$ 部分分式可寫為
\[G(s) = \frac{A}{{s + 2}} + \left( {\frac{{{C_2}}}{1}} \right)\frac{1}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {1^2}}} + \left( {\frac{{{C_2}}}{1}} \right)\frac{{s + 1}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {1^2}}}
\] 其中 $A, C_1, C_2$ 待定。

我們可首先求得 $A  = (s+2) G(s)|_{s = -2} = \frac{1}{2}$，接著求 $C_1$ 與 $C_2$：
由
\[\begin{array}{l}
({s^2} + 2s + 2)G(s){|_{s =  - 1 + j}}{\left. { = \frac{{s + 3}}{{s + 2}}} \right|_{s =  - 1 + j}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{\left( { - 1 + j} \right) + 3}}{{\left( { - 1 + j} \right) + 2}} = \frac{{2 + j}}{{1 + j}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{\left( {2 + j} \right)\left( {1 - j} \right)}}{{\left( {1 + j} \right)\left( {1 - j} \right)}} = \frac{{\left( {2 + j - 2j - {j^2}} \right)}}{{1 + 1}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{3 - j}}{2} = \underbrace {\frac{3}{2}}_{: = {C_1}} + j\underbrace {\frac{{ - 1}}{2}}_{: = {C_2}}
\end{array}
\]故 $G(s)$ 的部分分式為
\[\begin{array}{l} G(s) = \frac{A}{{s + 2}} + \left( {\frac{{{C_2}}}{1}} \right)\frac{1}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {1^2}}} + \left( {\frac{{{C_2}}}{1}} \right)\frac{{s + 1}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {1^2}}}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{1}{2}\frac{1}{{s + 2}} + \frac{3}{2}\frac{1}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {1^2}}} + \left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)\frac{{s + 1}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2} + {1^2}}} \end{array}\ \ \ \ \square
\] 讀者可自行驗證 (透過通分) 上式確實為 $G(s)$ 的部分分式展開。

一但獲得 部分分式，則我們可以直接由 拉式轉換表 獲得對應的反拉式轉換，現回憶我們先前討論的 轉移函數
\[\begin{array}{l}
G\left( s \right) = \underbrace {\frac{A}{{s + a}}}_{{\rm{single}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{root}}} + \underbrace {\frac{{{B_3}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^3}}} + \frac{{{B_2}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^2}}} + \frac{{{B_1}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^1}}}}_{{\rm{repetitive}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{roots}}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} + \underbrace {\left( {\frac{{{C_1}}}{\omega }} \right)\frac{\omega }{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}} + \left( {\frac{{{C_2}}}{\omega }} \right)\frac{{s + \alpha }}{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}}}_{{\rm{conjugate}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{roots}}}
\end{array}
\] 其對應的 反拉式轉換 (由拉式轉換表) 可馬上得知如下：
\[\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\cal{L}^{ - 1}}\left\{ \cdot \right\}\\
g\left( t \right) = A{e^{ - at}} + \underbrace {{B_2}\frac{{{t^2}}}{2}{e^{ - bt}} + {B_2}t{e^{ - bt}} + {B_1}{e^{ - bt}}}_{{\rm{repetitive}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{roots}}}
\end{array}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} + \underbrace {\frac{{{C_1}}}{\omega }{e^{ - \alpha t}}\sin \omega t + \frac{{{C_2}}}{\omega }{e^{ - \alpha t}}\cos \omega t}_{{\rm{conjugate}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{roots}}}}
\end{array}\]