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目前顯示的是 7月, 2011的文章

[線性系統] 轉移函數的部分分式展開 與其對應的 反拉式轉換

令轉移函數 $G(s) := \frac{N(s)}{D(s)}$,其中 $N(s)$ 與 $D(s)$ 分別為 $s$ 的多項式,現在考慮 $G(s)$ 分母階數 比 分子階數高,亦即 \[ deg N(s) < deg D(s) \] 我們稱此 $G(s)$ 為嚴格真分有理函數 (strictly proper rational function)。 Example 1: \[ G(s) = \frac{s-1}{(s+2)(s+5)} \] 為嚴格真分有理函數。 Example 2: \[ G(s) = \frac{(s +1)(s+10)}{(s+2)(s+5)} \] 不為嚴格真分有理函數。 若 $G(s)$ 為嚴格真分有理函數,則我們可對其做部分分式展開。現在考慮某 $G(s)$ 部分分式的寫作如下: \[\begin{array}{l} G\left( s \right) = \underbrace {\frac{A}{{s + a}}}_{{\rm{single}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rm{root}}} + \underbrace {\frac{{{B_3}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^3}}} + \frac{{{B_2}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^2}}} + \frac{{{B_1}}}{{{{\left( {s + b} \right)}^1}}}}_{{\rm{repetitive}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rm{roots}}}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} + \underbrace {\left( {\frac{{{C_1}}}{\omega }} \right)\frac{\omega }{{{{\left( {s + \alpha } \right)}^2} + {\omega ^2}}} + \left( {\frac{{{C_2}}}{\omega }} \right)\frac{{s + \alpha

[線性系統] 動態方程式的求解(1) - LTI state equation

延續上篇,這次我們要介紹 線性非時變系統 (Linear Time-Invariant (LTI) System) 的求解。 考慮 LTI 動態系統的 狀態空間表示: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\bf{\dot x}}\left( t \right) = {\bf{Ax}}\left( t \right) + {\bf{Bu}}\left( t \right)}\\ {{\bf{y}}\left( t \right) = {\bf{Cx}}\left( t \right) + {\bf{Du}}\left( t \right)} \end{array}} \right. \]其中 $\bf{A}(\cdot), \bf{B}(\cdot), \bf{C}(\cdot),$ 與 $\bf{E}(\cdot)$ 為 $n \times n, n \times p, q \times n,$ 與 $q \times p$  常數矩陣。 我們的目標: 求解 $\bf{x}(t)$。 在求解之前我們需要一些  exponential function ${e^{  {\bf{A}}t}}$的 FACTs: 首先回憶若令 $\bf A = a$ 亦即不再是矩陣而是一個常數 $a$,則 $e^{at}$ 具有 Taylor series 如下 \[{e^{at}}: = 1 + at + \frac{{{a^2}{t^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{a^n}{t^n}}}{{n!}} + ...\]故若現在讓 $a$ 變回矩陣 $\bf A$ 則我們有 \[{e^{{\bf{A}}t}}: = {\bf{I}} + {\bf{A}}t + \frac{1}{{2!}}{{\bf{A}}^2}{t^2} + ... + \frac{1}{{n!}}{{\bf{A}}^n}{t^n} + ... \]那麼下面幾個性質,讀者可以使用上述定義直接驗證。 ===================== FACT 1: Inverse property \[ {e^{  {\bf{A}}t}}{e^{ - {\bf{A}}t}} = \bf{I}. \] FACT 2: Identit

[線性系統] 動態方程式的求解(0) - Review 1st ODE, DE, & $e^{At}$

在求解動態方程是之前,我們先回顧一下基本 一階常微分方程的求解: Example 1 試求解 \[ \dot {x} = a x, \ x(t_0) = x_0 \]其中 $a$ 為常數。 Solution 利用變數分離法: \[\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{d}{{dt}}x\left( t \right) = ax\left( t \right)}\\ { \Rightarrow \int_{{t_0}}^t {\frac{1}{{x\left( \tau  \right)}}dx\left( \tau  \right)}  = \int_{{t_0}}^t {ad\tau } }\\ { \Rightarrow \left. {\ln \left( {x\left( \tau  \right)} \right)} \right|_{{t_0}}^t = a\left( {t - {t_0}} \right)}\\ { \Rightarrow \ln \left( {x\left( t \right)} \right) - \ln \left( {x\left( {{t_0}} \right)} \right) = a\left( {t - {t_0}} \right)}\\ { \Rightarrow \ln \left( {\frac{{x\left( t \right)}}{{{x_0}}}} \right) = a\left( {t - {t_0}} \right)}\\ { \Rightarrow x\left( t \right) = {x_0}{e^{a\left( {t - {t_0}} \right)}}}. \ \ \ \ \square \end{array} \] Example 2 試求解 \[ \dot {x} = a x + bu, \ x(t_0) = x_0 \]其中 $a, b \neq 0$ 為常數。 Solution 上式為標準一階常微分方程,一般而言,微分方程的解可分為兩個部分 自由響應 (free response)又稱 零輸入響應(zero input response) ;亦即令 $u(t) = 0$ 所求得的解 外力響應 (f

[隨筆] 時間謬論 Paradox of time

我想討論一個關於時間的概念,這個概念體現了這世界一個非常有趣的觀點,假設我們正處在人生的某個時間點,你可能把這段時間當成 無關緊要 甚至 稀鬆平常 的一日,但是對某些人而言,這個時間點卻可能無比重要;相反地,當某些人覺得不過是平凡一天的時光時,你卻可能正在經歷"你認為的"相當重要的事情,而且這件事會讓你覺得這個時間點即將發生的事件,將會嚴重影響妳往後人生路途,這種"所謂的"關鍵時刻蘊含相當大的焦慮與不安。 我們來假設你今天有個非常重要的行程 (基測/學測/TOEFL/GRE/面試/結婚/ whatever..) 在這個重要的時間點前,可能會感覺要無比緊張甚至認為幾乎就像是末日來臨 這時候,也許我們可以想想路上的行人,可能正在度過日復一日的"同一天" 他們也許想著每天的例行公事,走著每天必走的回家路,哼著重複的旋律 讓我們在進一步想想在這個重要時間點的隔天,隔一周,隔幾年之後的自己 當你想到當初是多麼手足無措時,會不會啞然失笑呢? 所以,讓我們試著放寬心,勇敢走下去好嗎:)