如果我們手邊有一個 均勻收斂的 函數 sequence $\{f_n \}$ 且假設此數列可微，我們想知道均勻收斂是否能給我們一些關於此函數sequence 微分 $\{ f_n' \}$ 的一些關聯?
首先看個例子：
Example:
令
\[
f_n(x) := \frac{\sin nx}{\sqrt{n}}, \;\; (x \in \mathbb{R}, \;n=1,2,3,...)
\]試回答下列問題：
1. 函數是否逐點收斂(converges pointwise)?
2. 是否均勻收斂(converges uniformly)?
3. 此函數sequence 導數 $f_n'(x)$ 為何?
4. 此函數sequence 的導數 $\{ f_n'\}$是否逐點收斂?
5. 此函數sequence 的導數 $\{ f_n'\}$是否均勻收斂?
Solution
1. 首先檢驗是否逐點收斂
給定 $x \in \mathbb{R}$，我們可知道當 $n \rightarrow \infty$ 函數 sequence $\{f_n \}$為
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sin nx}}{{\sqrt n }} = 0
\]亦即此 $\{f_n \}$ converges pointwise 到 $0$
2. 現在我們檢驗其是否為均勻收斂，由均勻收斂的 sup-norm 定義，我們可檢驗其 sup-norm 看是否收斂到 $0$；亦即檢驗
\[\left\| {{f_n} - f} \right\| = \mathop {\sup_{x \in \mathbb{R}} } \left| {\frac{{\sin nx}}{{\sqrt n }} - 0} \right| = \mathop {\sup_{x \in \mathbb{R}} } \left| {\frac{{\sin nx}}{{\sqrt n }}} \right| \le \frac{1}{{\sqrt n }}
\]故讓 $n \rightarrow \infty$可得
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\| {{f_n} - f} \right\| = 0\]
3. 此函數 sequence 導數為
\[{f_n}'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt n }}n\cos nx = \sqrt n \cos nx\]
4. & 5. 此函數 sequence 的導數是否逐點收斂?
由結果 3 可知函數 sequence 的導數為 $\sqrt n \cos nx$ 此函數為在 $-1$ 與 $1$ 之間上下震盪的 cosine ，故若我們讓 $n \rightarrow \infty$ 皆不(逐點)收斂。既然此函數導數不收斂故必定不為均勻收斂。$\square$
故從上例可看出儘管原函數 sequence 具備均勻收斂，仍沒有辦法保證其導數sequence $\{ f_n'\}$依然均勻收斂。那麼問題變成 我們想知道 導數 sequence 與 原函數 sequence 之間的關係
不過我們在介紹此結果之前，我們需要一些事先工具：
===================
Mean Value Theorem
設 $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ 為連續函數 且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微。則 存在 $x \in (a,b)$ 使得
\[
|f(b) - f(a)| \le (b-a)|f'(x)|
\]===================
====================
Theorem: Uniform Convergence Preserves Continuity
假設 $f_n \rightarrow f$ 均勻收斂在 $E \subset X$，令 $x$ 為 $E$ 上的 limit point，且假設 $\lim_{t \rightarrow x} f_n(t) = A_n(x)$ 對 $n = 1,2,3,...$則
1. $\{A_n \}$ 收斂
2. $\displaystyle \lim_{t \rightarrow x}f(t) = \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} A_n(x)$
====================
我們將此結果記做以下定理：
=======================
Theorem: Uniform Convergence and Differentiation Property
假設 $\{ f_n\}$ 為在封閉區間 $[a,b]$上可微的函數 sequence，且存在某點 $x_0 \in [a,b]$ 使得 sequence $\{ f_n(x_0)\}$ 收斂。現若 函數導數sequence $\{ f_n'\}$ 在 $[a,b]$ 上均勻收斂，則
1. 原函數sequence $\{f_n \}$ 在 $[a,b]$上均勻收斂到某函數 $f$ 且
2. 對任意 $x \in [a,b]$，我們有
\[f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}'\left( x \right)\]
=======================
首先看個例子：
Example:
令
\[
f_n(x) := \frac{\sin nx}{\sqrt{n}}, \;\; (x \in \mathbb{R}, \;n=1,2,3,...)
\]試回答下列問題：
1. 函數是否逐點收斂(converges pointwise)?
2. 是否均勻收斂(converges uniformly)?
3. 此函數sequence 導數 $f_n'(x)$ 為何?
4. 此函數sequence 的導數 $\{ f_n'\}$是否逐點收斂?
5. 此函數sequence 的導數 $\{ f_n'\}$是否均勻收斂?
Solution
1. 首先檢驗是否逐點收斂
給定 $x \in \mathbb{R}$，我們可知道當 $n \rightarrow \infty$ 函數 sequence $\{f_n \}$為
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sin nx}}{{\sqrt n }} = 0
\]亦即此 $\{f_n \}$ converges pointwise 到 $0$
2. 現在我們檢驗其是否為均勻收斂，由均勻收斂的 sup-norm 定義，我們可檢驗其 sup-norm 看是否收斂到 $0$；亦即檢驗
\[\left\| {{f_n} - f} \right\| = \mathop {\sup_{x \in \mathbb{R}} } \left| {\frac{{\sin nx}}{{\sqrt n }} - 0} \right| = \mathop {\sup_{x \in \mathbb{R}} } \left| {\frac{{\sin nx}}{{\sqrt n }}} \right| \le \frac{1}{{\sqrt n }}
\]故讓 $n \rightarrow \infty$可得
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\| {{f_n} - f} \right\| = 0\]
3. 此函數 sequence 導數為
\[{f_n}'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt n }}n\cos nx = \sqrt n \cos nx\]
4. & 5. 此函數 sequence 的導數是否逐點收斂?
由結果 3 可知函數 sequence 的導數為 $\sqrt n \cos nx$ 此函數為在 $-1$ 與 $1$ 之間上下震盪的 cosine ，故若我們讓 $n \rightarrow \infty$ 皆不(逐點)收斂。既然此函數導數不收斂故必定不為均勻收斂。$\square$
故從上例可看出儘管原函數 sequence 具備均勻收斂，仍沒有辦法保證其導數sequence $\{ f_n'\}$依然均勻收斂。那麼問題變成 我們想知道 導數 sequence 與 原函數 sequence 之間的關係
不過我們在介紹此結果之前，我們需要一些事先工具：
===================
Mean Value Theorem
設 $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ 為連續函數 且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微。則 存在 $x \in (a,b)$ 使得
\[
|f(b) - f(a)| \le (b-a)|f'(x)|
\]===================
Proof: omitted.
Theorem: Uniform Convergence Preserves Continuity
假設 $f_n \rightarrow f$ 均勻收斂在 $E \subset X$，令 $x$ 為 $E$ 上的 limit point，且假設 $\lim_{t \rightarrow x} f_n(t) = A_n(x)$ 對 $n = 1,2,3,...$則
1. $\{A_n \}$ 收斂
2. $\displaystyle \lim_{t \rightarrow x}f(t) = \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} A_n(x)$
====================
Proof: omitted.
我們將此結果記做以下定理：
=======================
Theorem: Uniform Convergence and Differentiation Property
假設 $\{ f_n\}$ 為在封閉區間 $[a,b]$上可微的函數 sequence，且存在某點 $x_0 \in [a,b]$ 使得 sequence $\{ f_n(x_0)\}$ 收斂。現若 函數導數sequence $\{ f_n'\}$ 在 $[a,b]$ 上均勻收斂，則
1. 原函數sequence $\{f_n \}$ 在 $[a,b]$上均勻收斂到某函數 $f$ 且
2. 對任意 $x \in [a,b]$，我們有
\[f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}'\left( x \right)\]
=======================
Proof
我們先證 函數sequence $\{f_n \}$ 在 $[a,b]$上均勻收斂到某函數 $f$ (但不知道此函數 $f$ 是否存在，我們必須現證明此函數收斂才可說 $f$ 存在)，故給定 $\varepsilon >0$ 我們要證明： 存在 $N$ 使得 $n ,m> N$ 與 $x \in [a,b]$，
\[
|f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon \ \ \ \ (\star)
\](亦即使用 Cauchy criterion 判斷均勻收斂)。
注意到我們已知 "存在某點 $x_0 \in [a,b]$ 使得 sequence $\{ f_n(x_0)\}$ 收斂"，故 $\{f_n \}$為 Cauchy，亦即存在 $N$ 使得 $n,m > N$
\[
|f_n(x_0) - f_m(x_0)| < \varepsilon \ \ \ \ (*)
\]且又知道 "函數導數sequence $\{ f_n'\}$ 在 $[a,b]$ 上均勻收斂"，故我們直接取前面 Cauchy 要求的 $N$ 使得
\[
|f_n'(x) - f'(x)| < \varepsilon/(b-a)
\]觀察上式，若 $n > N$ 則我們有 $|f_n'(x) - f'(x)| < \varepsilon/(b-a)$ 且由於 " $\{ f_n\}$ 為在封閉區間 $[a,b]$上可微的函數 sequence"，我們知道 $f_n - f_m$ 亦為可微函數，故對 $f_n - f_m$ 使用 Mean Value Theorem 可巧妙整合 $(*)$，亦即我們有 對任意 $x, t \in [a,b]$ ， $n,m >N$ 則
\[\begin{array}{l}
|\left( {{f_n}(x) - {f_m}(x)} \right) - \left( {{f_n}(t) - {f_m}(t)} \right)| \le |x - t| \cdot |{f_n}'(x) - {f_m}'(x)|\\
\Rightarrow |\left( {{f_n}(x) - {f_m}(x)} \right) - \left( {{f_n}(t) - {f_m}(t)} \right)| \le |x - t|\frac{\varepsilon }{{b - a}} < \varepsilon
\end{array}\]上式最後的不等式成立因為 $|x - t| \le |b -a|$。
現在我們觀察
\[\begin{array}{l}
|{f_n}(x) - {f_m}(x)| = |{f_n}(x) - {f_n}({x_0}) + {f_n}({x_0}) - {f_m}({x_0}) + {f_m}({x_0}) - {f_m}(x)|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \underbrace {|{f_n}(x) - {f_n}({x_0}) + {f_m}({x_0}) - {f_m}(x)|}_{ < \varepsilon } + \underbrace {|{f_n}({x_0}) - {f_m}({x_0})|}_{{\rm{ < }}\varepsilon }\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} < {\rm{2}}\varepsilon
\end{array}
\]故我們證明了 $\{ f_n \}$ 在 $[a,b]$上為 Cauchy (滿足 Cauchy criterion) 故 $\{f_n \}$ 在 $[a,b]$上均勻收斂。
由於我們已知 $\{ f_n\}$ (均勻)收斂故現在可令
\[
f(x) := \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x), \;\; (x \in [a,b])
\]----
現在給定 $x \in [a,b]$，我們開始證明 2：亦即要證
\[f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}'\left( x \right)
\]我們首先定義兩輔助函數 $\phi_n, \phi$ 如下：對 $t \in [a,b]$ 且 $t \neq x$，
\[{\phi _n}\left( t \right): = \frac{{{f_n}\left( t \right) - {f_n}\left( x \right)}}{{t - x}};\;\;\phi \left( t \right): = \frac{{f\left( t \right) - f\left( x \right)}}{{t - x}}
\]注意到上式 $\phi_n$，若我們讓 $n=1,2,3...$ ，由導數定義可知
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to x} {\phi _n}\left( t \right) = {f_n}'\left( x \right) \ \ \ \ (\star)
\]我們希望輔助函數 $\phi_n$ 可以均勻收斂到 $\phi$，由於已知 $\mathop {\lim }\limits_{t \to x} {\phi _n}\left( t \right) = {f_n}'\left( x \right)$ ，故一旦 $\phi_n$ 可以均勻收斂到 $\phi$， 則透過 Theorem of Uniform Convergence Preserves Continuity 可知
1. $\{f_n' \}$ 收斂
2. $\displaystyle \lim_{t \rightarrow x}\phi (t) = \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} f_n'$
故我們開始證明 $\phi_n$ 均勻收斂到 $\phi$，現在觀察
\[\begin{array}{l}
\left| {{\phi _n}\left( t \right) - {\phi _m}\left( t \right)} \right| = \left| {\frac{{{f_n}\left( t \right) - {f_n}\left( x \right)}}{{t - x}} - \frac{{{f_m}\left( t \right) - {f_m}\left( x \right)}}{{t - x}}} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left| {\frac{1}{{t - x}}} \right|\left| {\left( {{f_n}\left( t \right) - {f_n}\left( x \right)} \right) - \left( {{f_m}\left( t \right) - {f_m}\left( x \right)} \right)} \right| \ \ \ \ (**)
\end{array}
\]再次利用 Mean Value Theorem 對 $f_n - f_m$ 且讓 $n,m > N$可得
\[\left| {\left( {{f_n}\left( t \right) - {f_m}\left( x \right)} \right) - \left( {{f_n}\left( t \right) - {f_m}\left( x \right)} \right)} \right| \le \left| {t - x} \right|\left| {{f_n}'\left( t \right) - {f_m}'\left( t \right)} \right| < \left| {t - x} \right|\frac{\varepsilon }{{b - a}} \]
故 $(**)$ 變為
\[\left| {{\phi _n}\left( t \right) - {\phi _m}\left( t \right)} \right| < \left| {\frac{1}{{t - x}}} \right|\left| {t - x} \right|\frac{\varepsilon }{{b - a}} = \frac{\varepsilon }{{b - a}}
\]由於 $b-a$ 為有界，故我們可透過讓 $n,m$ 足夠大使得 $|\phi_n - \phi_m| \rightarrow 0$；亦即 我們證明了 $\{\phi_n \}$ 為 Cauchy ，故若 $t \neq x$，則 $\phi_n$ 均勻收斂 (到 $f_n'$)；另外由於我們已知 $f_n$ 均勻收斂到 $f$，故我們可令
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\phi _n}(t): = \underbrace {\phi (t)}_{ = {f_n}'\left( x \right)},\;\;t \ne x,t \in [a,b]\]
總結手邊的結果，現在我們有 $\phi_n \rightarrow \phi$ 均勻收斂，且由 $(\star)$ 可知 $\mathop {\lim }\limits_{t \to x} {\phi _n}\left( t \right) = {f_n}^\prime \left( x \right)$ ，故透過 Theorem of Uniform Convergence Preserves Continuity 可知
1. $f_n'$ 收斂
2. 且
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{t \to x} \phi (t) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}'(x)\\
\Rightarrow f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}'(x)
\end{array}\]
延伸閱讀我們先證 函數sequence $\{f_n \}$ 在 $[a,b]$上均勻收斂到某函數 $f$ (但不知道此函數 $f$ 是否存在，我們必須現證明此函數收斂才可說 $f$ 存在)，故給定 $\varepsilon >0$ 我們要證明： 存在 $N$ 使得 $n ,m> N$ 與 $x \in [a,b]$，
\[
|f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon \ \ \ \ (\star)
\](亦即使用 Cauchy criterion 判斷均勻收斂)。
注意到我們已知 "存在某點 $x_0 \in [a,b]$ 使得 sequence $\{ f_n(x_0)\}$ 收斂"，故 $\{f_n \}$為 Cauchy，亦即存在 $N$ 使得 $n,m > N$
\[
|f_n(x_0) - f_m(x_0)| < \varepsilon \ \ \ \ (*)
\]且又知道 "函數導數sequence $\{ f_n'\}$ 在 $[a,b]$ 上均勻收斂"，故我們直接取前面 Cauchy 要求的 $N$ 使得
\[
|f_n'(x) - f'(x)| < \varepsilon/(b-a)
\]觀察上式，若 $n > N$ 則我們有 $|f_n'(x) - f'(x)| < \varepsilon/(b-a)$ 且由於 " $\{ f_n\}$ 為在封閉區間 $[a,b]$上可微的函數 sequence"，我們知道 $f_n - f_m$ 亦為可微函數，故對 $f_n - f_m$ 使用 Mean Value Theorem 可巧妙整合 $(*)$，亦即我們有 對任意 $x, t \in [a,b]$ ， $n,m >N$ 則
\[\begin{array}{l}
|\left( {{f_n}(x) - {f_m}(x)} \right) - \left( {{f_n}(t) - {f_m}(t)} \right)| \le |x - t| \cdot |{f_n}'(x) - {f_m}'(x)|\\
\Rightarrow |\left( {{f_n}(x) - {f_m}(x)} \right) - \left( {{f_n}(t) - {f_m}(t)} \right)| \le |x - t|\frac{\varepsilon }{{b - a}} < \varepsilon
\end{array}\]上式最後的不等式成立因為 $|x - t| \le |b -a|$。
現在我們觀察
\[\begin{array}{l}
|{f_n}(x) - {f_m}(x)| = |{f_n}(x) - {f_n}({x_0}) + {f_n}({x_0}) - {f_m}({x_0}) + {f_m}({x_0}) - {f_m}(x)|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \underbrace {|{f_n}(x) - {f_n}({x_0}) + {f_m}({x_0}) - {f_m}(x)|}_{ < \varepsilon } + \underbrace {|{f_n}({x_0}) - {f_m}({x_0})|}_{{\rm{ < }}\varepsilon }\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} < {\rm{2}}\varepsilon
\end{array}
\]故我們證明了 $\{ f_n \}$ 在 $[a,b]$上為 Cauchy (滿足 Cauchy criterion) 故 $\{f_n \}$ 在 $[a,b]$上均勻收斂。
由於我們已知 $\{ f_n\}$ (均勻)收斂故現在可令
\[
f(x) := \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x), \;\; (x \in [a,b])
\]----
現在給定 $x \in [a,b]$，我們開始證明 2：亦即要證
\[f'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}'\left( x \right)
\]我們首先定義兩輔助函數 $\phi_n, \phi$ 如下：對 $t \in [a,b]$ 且 $t \neq x$，
\[{\phi _n}\left( t \right): = \frac{{{f_n}\left( t \right) - {f_n}\left( x \right)}}{{t - x}};\;\;\phi \left( t \right): = \frac{{f\left( t \right) - f\left( x \right)}}{{t - x}}
\]注意到上式 $\phi_n$，若我們讓 $n=1,2,3...$ ，由導數定義可知
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to x} {\phi _n}\left( t \right) = {f_n}'\left( x \right) \ \ \ \ (\star)
\]我們希望輔助函數 $\phi_n$ 可以均勻收斂到 $\phi$，由於已知 $\mathop {\lim }\limits_{t \to x} {\phi _n}\left( t \right) = {f_n}'\left( x \right)$ ，故一旦 $\phi_n$ 可以均勻收斂到 $\phi$， 則透過 Theorem of Uniform Convergence Preserves Continuity 可知
1. $\{f_n' \}$ 收斂
2. $\displaystyle \lim_{t \rightarrow x}\phi (t) = \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} f_n'$
故我們開始證明 $\phi_n$ 均勻收斂到 $\phi$，現在觀察
\[\begin{array}{l}
\left| {{\phi _n}\left( t \right) - {\phi _m}\left( t \right)} \right| = \left| {\frac{{{f_n}\left( t \right) - {f_n}\left( x \right)}}{{t - x}} - \frac{{{f_m}\left( t \right) - {f_m}\left( x \right)}}{{t - x}}} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left| {\frac{1}{{t - x}}} \right|\left| {\left( {{f_n}\left( t \right) - {f_n}\left( x \right)} \right) - \left( {{f_m}\left( t \right) - {f_m}\left( x \right)} \right)} \right| \ \ \ \ (**)
\end{array}
\]再次利用 Mean Value Theorem 對 $f_n - f_m$ 且讓 $n,m > N$可得
\[\left| {\left( {{f_n}\left( t \right) - {f_m}\left( x \right)} \right) - \left( {{f_n}\left( t \right) - {f_m}\left( x \right)} \right)} \right| \le \left| {t - x} \right|\left| {{f_n}'\left( t \right) - {f_m}'\left( t \right)} \right| < \left| {t - x} \right|\frac{\varepsilon }{{b - a}} \]
故 $(**)$ 變為
\[\left| {{\phi _n}\left( t \right) - {\phi _m}\left( t \right)} \right| < \left| {\frac{1}{{t - x}}} \right|\left| {t - x} \right|\frac{\varepsilon }{{b - a}} = \frac{\varepsilon }{{b - a}}
\]由於 $b-a$ 為有界，故我們可透過讓 $n,m$ 足夠大使得 $|\phi_n - \phi_m| \rightarrow 0$；亦即 我們證明了 $\{\phi_n \}$ 為 Cauchy ，故若 $t \neq x$，則 $\phi_n$ 均勻收斂 (到 $f_n'$)；另外由於我們已知 $f_n$ 均勻收斂到 $f$，故我們可令
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\phi _n}(t): = \underbrace {\phi (t)}_{ = {f_n}'\left( x \right)},\;\;t \ne x,t \in [a,b]\]
總結手邊的結果，現在我們有 $\phi_n \rightarrow \phi$ 均勻收斂，且由 $(\star)$ 可知 $\mathop {\lim }\limits_{t \to x} {\phi _n}\left( t \right) = {f_n}^\prime \left( x \right)$ ，故透過 Theorem of Uniform Convergence Preserves Continuity 可知
1. $f_n'$ 收斂
2. 且
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{t \to x} \phi (t) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}'(x)\\
\Rightarrow f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}'(x)
\end{array}\]
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