2011年3月27日 星期日

[最佳化] 淺談線性規劃(1)- Feasible solution and Basic solution

延續上一篇 [最佳化] 淺談線性規劃(0)- Standard form of Linear Programming,這次要跟大家介紹 線性規劃(LP)問題的求解。由先前介紹我們知道,對任意含有線性不等式拘束的LP問題都可以將其轉換成標準型式的LP問題。亦即含有 等式拘束的LP問題。

\[\begin{array}{l}
\min {c^T}x\\
s.t.\\
\left\{ \begin{array}{l}
Ax = b,\\
x \ge 0
\end{array} \right.
\end{array}\]其中 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣且 $n>m$, $rank(A) = m$,$A$ 沒有全為零的column$;b \geq 0$,

在介紹之前要先介紹兩種解的概念

============================
Definition: (Feasible solution and Basic solution)
一個向量 $x \in \mathbb{R}^n$ 稱作 可行解(Feasible solution),如果其滿足拘束條件,亦即 $x \geq 0$ 且 $Ax=b$
一個向量 $x \in \mathbb{R}^n$ 稱作對 $Ax=b$ 的 基本解( Basic Solution) ,若 $x$中 nonzero component 對應到$A$矩陣的線性獨立 Columns。
============================

先給個例子看看這兩種解有甚麼不同

Example
考慮下列拘束條件 $Ax=b$:
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 2}\\
1&3&{ - 2}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
{{x_3}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1

\end{array}} \right]\]
觀察上式,為三個變數兩個拘束條件,故可以任意其中一個變數可被任意給定。另外我們發現$A$中的第一個column 與 第三個 column 彼此線性相關。故現在如果我們選 $x_2=0$取 第一個column 與 第三個 column ,會得到一個解
\[ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
{{x_3}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
0\\
1
\end{array}} \right]\]
由於此解$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
{{x_3}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
0\\
1
\end{array}} \right]$滿足拘束條件,故我們說此解為 Feasible solution,但是其中非零的元素
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{}\\
{{x_3}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
{}\\
1
\end{array}} \right]\]對應到矩陣$A$的column彼此為線性相關,故此解並非Basic solution。
也就是說 Feasible Solution $\nRightarrow$ Basic Solution。

再來如果我們選 矩陣$A$的第二個 Column 與 第三個Column (彼此線性獨立),且令 $x_1 =0$,則我們得到 Basic Solution如下
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 0\\
2{x_2} - 2{x_3} = 1\\
3{x_2} - 2{x_3} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
{{x_3}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0\\
{ - 1/2}
\end{array}} \right]\]
但注意到此解第三個element為負
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
{{x_3}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0\\
{ - 1/2}
\end{array}} \right]\]
亦即,不符合 Feasbility,故可得到

Basic Solution $\nRightarrow$ Feasible Solution

那麼我們要的是甚麼??
我們要的是 Basic 且 Feasible 的Solution。下面的定理告訴我們標準型式的線性規劃問題如何才能確保可以得到 Basic + Feasible的Solution。

=================================
Theorem:
考慮標準型式的線性規劃 (Standard LP)問題

令 $x \in \mathbb{R}^n$,
\[\begin{array}{l}
\min {c^T}x\\
s.t.\\
\left\{ \begin{array}{l}
Ax = b,\\
x \ge 0
\end{array} \right.
\end{array}\]其中 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣且 $n>m$, $rank(A) = m$,$A$ 沒有全為零的column$;b \geq 0$,
若其具備一個 Feasible Solution,則必有一個 Basic + Feasible 的解
=================================

Proof
假設$x \in \mathbb{R}^n$ 為 Standard LP的一個Feasible soltuion,我們要證明必有一個 Basic + Feasible的解。

為方便起見,我們說 $x$ 有 p個nonzero 元素,亦即 $x_1, x_2, ...x_p$。因為$x$已為 Feasible,故我們只須證明$x$是Basic solution。亦即須證明 非零的元素對應$A$中線性獨立的Columns $a^1, a^2,...a^p$

現在考慮下面兩種情況

CASE1
若$x$中非零的元素$x_1, x_2, ...x_p$ 對應 $A$中的Columns $a^1, a^2,...a^p$ 為線性獨立。則$x$即為 Feasible + Basic Solution。

CASE2
若$x$中非零的元素$x_1, x_2, ...x_p$ 對應 $A$中的Columns $a^1, a^2,...a^p$ 為線性相關。則由線性相關的定義可知:存在一組不全為零的 $y_1, y_2,...y_p$ 為實數純量使得下列線性組合
\[
\sum_{i=1}^p y_i a^i =0 \ \ \ \ (*)
\]現在令 $\varepsilon >0$,定義下列向量 $\eta^{\varepsilon} $
\[\eta _i^\varepsilon : = \left\{ \begin{array}{l}
{x_i} - \varepsilon {y_i}, \ \text{ for $i \le p$}\\
0, \ \text{for $i > p$}
\end{array} \right.\]
則若$\varepsilon$足夠小的時候,我們說 $\eta _i^\varepsilon $ 為 Feasible

WHY?

因為如果$\varepsilon =0 \Rightarrow \eta _i^\varepsilon = x_i \Rightarrow x_i$ 為 Feasible (by Definition of $x$)
如果  $\varepsilon $ 非常小,則由拘束條件
\[
A \cdot \eta^{\varepsilon} = A (x - \varepsilon y) = Ax - A \varepsilon y
\]
由線性相關的結果 $(*)$可知,$A \varepsilon y =0$,亦即上式變為
\[
A \cdot \eta^{\varepsilon} = Ax = b
\]
符合拘束條件,故若$\varepsilon$足夠小的時候,我們說 $\eta _i^\varepsilon $ 為 Feasible。

所以現在問題變成那麼可以挑選多大的$\varepsilon$仍可使得$\eta^{\varepsilon}$ 為 Feasible?

我們把此$\varepsilon$ 稱作 $\varepsilon^*$
$(\star)$定義
\[\varepsilon^* : = \mathop {\min }\limits_i \left\{ {\frac{{{x_i}}}{{{y_i}}}:{y_i} > 0} \right\}
\]則$\eta^{\varepsilon^*}$為 Feasible,且最多$p-1$非零Columns,
$a^1, a^2, ... a^{p-1}$

若此組 Columns為線性獨立,則$\eta^{\varepsilon^*}$為Basic。亦即
$\eta^{\varepsilon^*}$為Basic + Feasible。則我們得到欲證明的結果。

反之若Columns $a^1, a^2, ... a^{p-1}$ 仍 為線性相關,則我們重複上述的演算步驟 $(\star)$,得到
${{\tilde \eta }^{{\varepsilon ^*}}}$為Feasible且最多$p-2$非零Columns。

不斷重複上述步驟,最終我們會落到某個$x$ 且只有一個非零元素。
又因為 $A$ 沒有全為零的column,故其必為線性獨立。亦即
$x$ 為 Basic Solution。
且由假設 $x$ 為Feasible,故 $x$ 為 Feasible + Basic。至此證明完畢。


ref: E. K. P. Chong, S. H. Zak, An Introduction to Optimization 2nd, Chapter 15.

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延伸閱讀
[最佳化] 淺談線性規劃(0)- Standard form of Linear Programming

[最佳化] 淺談線性規劃(1)- Feasible solution and Basic solution

[最佳化] 淺談線性規劃(2)- Optimality Theorem

[最佳化] 淺談線性規劃(3)- Geometric View of LP

[最佳化] 淺談線性規劃(4)- How to move from one Basic Feasible solution to another- An Example

[最佳化] 淺談線性規劃(0)- Standard form of Linear Programming

這次要介紹最佳化中一類 重要問題 線性規劃(Linear Programming, LP):

什麼是線性規劃?

簡單說就是 目標成本函數(Cost function)為線性,且約束條件為線性不等式;欲求解最佳解 (最大or最小化)。亦即:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\min {c^T}u}\\
{s.t.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{Au \le b,}\\
{u \ge 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}
\]上式稱為一般 或者 典型LP問題 (Canonical form)。這種典型的線性規劃(LP)問題可以改寫成 LP標準式 (Standard form) 如下:
========================

令 $x \in \mathbb{R}^n$,
\[\begin{array}{l}
\min {c^T}x\\
s.t.\\
\left\{ \begin{array}{l}
Ax = b,\\
x \ge 0
\end{array} \right.
\end{array}\]其中 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣且 $n>m$, $rank(A) = m$,$A$ 沒有全為零的column$;b \geq 0$,

========================
Comments:
1. $x \in \mathbb{R}^n$,亦即我們有 $n$個變數,$A$為$m \times n$矩陣表示我們有$m$個拘束條件。$rank(A)=m$,暗示 $n>m$ (n 變數 多於 m 拘束條件) 確保nontrivality,因為如果$n =m$,則我們不需要最佳化問題因為此問題存在唯一解 $x = A^{-1}b$或者無解。

2. $rank(A)=m$ 確保 rows 是線性獨立(也就是各個拘束條件各自獨立)。

3. $c^T x = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ... + c_n x_n$
但注意到,並不是每一個LP問題都符合上面的標準形式,故我們需要將其改寫轉換。

4. 關於求解LP問題:一般而言一旦線性規劃問題確立;使用者可以直接透過 MATLAB 指令 linprog 指令進行求解。此指令使用方法並非本文討論目標故在此不再贅述。有興趣讀者可直接參考 MATLAB help 該指令進行查閱。

=======================
下面給出一個簡單的例子來說明如何轉換


Example 1 

考慮下列LP最佳化問題
\[\begin{array}{l}
\min J\left( u \right) = \frac{{{u_1}}}{{30}} + \frac{{{u_1}}}{{15}}\\
s.t.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2{u_1} + 2{u_2} \le 10\\
2{u_1} + 2{u_2} \ge 4\\
{u_2} \ge 1.5{u_1}\\
{u_1} \ge 0,{u_2} \ge 0
\end{array} \right.
\end{array}\]
則我們可將上式轉換成標準型式;

首先對拘束條件,我們可改寫為
\[\left\{ \begin{array}{l}
2{u_1} + 2{u_2} \le 10\\
2{u_1} + 2{u_2} \ge 4\\
{u_2} - 1.5{u_1} \ge 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{u_1} + 2{u_2} + {y_1} = 10\\
2{u_1} + 2{u_2} - {y_2} = 4\\
{u_2} - 1.5{u_1} - {y_3} = 0
\end{array} \right.\]注意到上式中的 $y_1, y_2, y_3$ 為額外加入的變數且 $y_i \geq 0 \ \forall i$。一般稱之為slack variable (for $+y_1$) 與 surplus variable (for $-y_2, -y_3$)
再者,令
\[x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}&{{y_1}}&{{y_2}}&{{y_3}}
\end{array}} \right]^T\],將拘束條件改寫為矩陣形式 為 $A x = b$ 且 $x \geq 0$的形式
\[\begin{array}{l}
\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&2&1&0&0\\
2&2&0&{ - 1}&0\\
{ - 1.5}&1&0&0&{ - 1}
\end{array}} \right]}_A\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}\\
{{u_2}}\\
{{y_1}}\\
{{y_2}}\\
{{y_3}}
\end{array}} \right]}_x = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
4\\
0
\end{array}} \right]}_b\\
 \Rightarrow Ax = b
\end{array}\]
且注意到 $x \geq 0$
接著,我們改寫目標函數  $J(u) = \frac{u_2}{30} + \frac{u_1}{15}$ 為 $c^T x$ 的形式
\[\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}{{30}}}&{\frac{1}{{15}}}&0&0&0
\end{array}} \right]}_{{c^T}}\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}\\
{{u_2}}\\
{{y_1}}\\
{{y_2}}\\
{{y_3}}
\end{array}} \right]}_x\]
至此我們便完成改寫,也就是把此例轉換為標準型式

======================

現在我們考慮一個稍微複雜一點的例子,看看能否將其轉換為標準型式

Example 2

考慮下列最佳化問題
\[\begin{array}{l}
\min \left| {{u_1}} \right| + \left| {{u_2}} \right| + \left| {{u_3}} \right|\\
s.t.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} \le 1\\
2{u_1} + {u_3} = 3
\end{array} \right.
\end{array}\]

注意到cost function 含有絕對值(非線性函數),看起來似乎希望渺茫?但如果仔細觀察一下絕對值特性,如果可以分段表達擇其仍為線性函數。故現在問題變成我們應該如何才能將絕對值成功改寫呢?

首先定義新的變數
\[\begin{array}{l}
{u_1}^ + : = \left\{ \begin{array}{l}
0, \ \text{if} \ {u_1} \le 0\\
{u_1}, \ \text{if} \ {u_1} > 0
\end{array} \right. \Rightarrow {u_1}^ +  \ge 0\\
{u_1}^ - : = \left\{ \begin{array}{l}
0, \ \text{if} \ {u_1} \ge 0\\
{-u_1}, \ \text{if} \ {u_1} < 0
\end{array} \right. \Rightarrow {u_1}^ -  \ge 0
\end{array}\]則我們得到
\[\begin{array}{l}
{u_1} = u_1^ +  - u_1^ - \\
|{u_1}| = u_1^ +  + u_1^ -
\end{array}\]
同樣的方法定義$u_2^+, u_2^-, u_3^+, u_3^- \geq 0$使得
\[\begin{array}{l}
{u_2} = u_2^ +  - u_2^ - \\
|{u_2}| = u_2^ +  + u_2^ - \\
{u_3} = u_3^ +  - u_3^ - \\
|{u_3}| = u_3^ +  + u_3^ -
\end{array}\]故我們現在可改寫最佳化問題如下
\[\begin{array}{l}
\min \left\{ {u_1^ +  + u_1^ -  + u_2^ +  + u_2^ -  + u_3^ +  + u_3^ - } \right\}\\
s.t.\\
\left\{ \begin{array}{l}
u_1^ +  - u_1^ -  + u_2^ +  - u_2^ -  \le 1\\
2\left( {u_1^ +  - u_1^ - } \right) + u_3^ +  - u_3^ -  = 3\\
u_1^ + ,u_1^ - ,u_2^ + ,u_2^ - ,u_3^ + ,u_3^ -  \ge 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u_1^ +  - u_1^ -  + u_2^ +  - u_2^ -  + s = 1\\
2\left( {u_1^ +  - u_1^ - } \right) + u_3^ +  - u_3^ -  = 3\\
u_1^ + ,u_1^ - ,u_2^ + ,u_2^ - ,u_3^ + ,u_3^ - ,s \ge 0
\end{array} \right.
\end{array}\]

======================
再來看個應用的例子:

Example 3 (Manufacturing LP)
考慮一個製造商欲生產四種產品 $U_1, U_2, U_3, U_4$,分別對應的賣價為 $\$6, \$4, \$ 7, \$ 5$。

製造商需要三種資源(inputs)來生產這四種產品,分別是

  1. 工人工時 (man weeks ) (以周計)
  2. 原料A (kilograms of material A) (以公斤計)、
  3. 原料B (boxes of material B) (以箱計)。

另外我們考慮每一週的生產排程中,製造商有如下限制:
不能讓工人超過工時且也不能使用過量的兩種原料。相關的條件資訊如下表:


令 $u_1$ 為生產 $U_1$的量 (production level), $u_2$ 為生產 $U_2$的量, $u_3$ 為生產 $U_3$的量, $u_4$ 為生產 $U_4$的量。

我們可利用上表寫出如下拘束條件
\[\left\{ \begin{array}{l}
1{u_1} + 2{u_2} + 1{u_3} + 2{u_2} \le 20\\
6{u_1} + 5{u_2} + 3{u_3} + 2{u_2} \le 100\\
3{u_1} + 4{u_2} + 9{u_3} + 12{u_2} \le 75
\end{array} \right.
\]且注意到生產量(production level) 不為負值,故我們有額外的拘束 $u_i \geq 0, i=1,2,3,4$

現在若製造商目標為將其利潤最大化,則我們可以定義如下cost function:
\[J\left( u \right) = 6{u_1} + 4{u_2} + 7{u_3} + 5{u_4}
\]故我們有如下最佳化問題
\[\begin{array}{l}
\max J\left( u \right) = 6{u_1} + 4{u_2} + 7{u_3} + 5{u_4}\\
s.t.\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1{u_1} + 2{u_2} + 1{u_3} + 2{u_2} \le 20}\\
{6{u_1} + 5{u_2} + 3{u_3} + 2{u_2} \le 100}\\
{3{u_1} + 4{u_2} + 9{u_3} + 12{u_2} \le 75}
\end{array}} \right.\\
{u_i} \ge 0,i = 1,2,3,4
\end{array}
\]注意到上式並非標準型式,故我們需要進一步改寫成標準型式如下:
\[\begin{array}{l}
\min {c^T}x\\
s.t.\\
\left\{ \begin{array}{l}
Ax = b,\\
x \ge 0
\end{array} \right.
\end{array}
\]引入額外的 Slack variable $y_1, y_2, y_3 \geq 0$,我們得到
\[\begin{array}{l}
\min \left[ { - J\left( u \right)} \right] =  - \left( {6{u_1} + 4{u_2} + 7{u_3} + 5{u_4}} \right)\\
s.t.\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1{u_1} + 2{u_2} + 1{u_3} + 2{u_2} + {y_1} = 20}\\
{6{u_1} + 5{u_2} + 3{u_3} + 2{u_2} + {y_2} = 100}\\
{3{u_1} + 4{u_2} + 9{u_3} + 12{u_2} + {y_3} = 75}
\end{array}} \right.\\
{u_i} \ge 0,i = 1,2,3,4
\end{array}
\]定義
 \[
x := [x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ x_5 \ x_6 \ x_7 ]^T = [u_1 \ u_2 \ u_3 \ u_4 \ y_1 \ y_2 \ y_3 ]^T
\] 將上式進一步改寫成矩陣形式
\[\begin{array}{l}
\min \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}&{ - 4}&{ - 7}&{ - 5}&0&0&0
\end{array}} \right]}_{{c^T}}x\\
s.t.\\
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&1&2&1&0&0\\
6&5&3&2&0&1&0\\
3&4&9&{12}&0&0&1
\end{array}} \right]x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{20}\\
{100}\\
{75}
\end{array}} \right]\\
{x_i} \ge 0,i = 1,2,3,4,5,6,7
\end{array}\]

知道怎麼轉換之後,再來我們就要思考一個問題。就是轉換之後 (標準型LP) 所求得的解 根原本未轉換前LP 所求得的解 答案是否一致??
如果是肯定的,這個轉換才顯得有意義? 我們也才能放心求解。

幸好答案是肯定的,前面的工作並沒有白忙一場。
我們將此結果寫成如下定理:

==============================
Theorem
標準型式LP求得的解與 經典型LP等價。亦即其最佳解相同
==============================
Proof: 
首先定義 標準型 與 經典型LP的拘束集合
\[\begin{array}{l}
C: = \left\{ {x :Ax \le b,x \ge 0} \right\}\\
S: = \left\{ {x: Ax +y= b,x \ge 0, y \ge 0} \right\}
\end{array}
\]現在我們要證明兩個等價,亦即需證明 $C = S$。

故首先證明 $C \subset S$
取 $x \in C$,令 $y := b - Ax \ge 0$ ,故 $x \in S$。

在證 $S \subset C$
取 $x \in S$,故存在一組 $y_i \geq 0$ 使得
\[
a_{i1}x_1 + ... +a_{in}x_n + y_i = b_i, i=1,2,...n \\
\Rightarrow a_{i1}x_1 + ... +a_{in}x_n \leq b_i
\]故 $x \in C$ $\square$



ref: E. K. P. Chong, S. H. Zak, An Introduction to Optimization 2nd, Chapter 15.

==============
延伸閱讀
[最佳化] 淺談線性規劃(0)- Standard form of Linear Programming

[最佳化] 淺談線性規劃(1)- Feasible solution and Basic solution

[最佳化] 淺談線性規劃(2)- Optimality Theorem

[最佳化] 淺談線性規劃(3)- Geometric View of LP

[最佳化] 淺談線性規劃(4)- How to move from one Basic Feasible solution to another- An Example

2011年3月5日 星期六

[基礎數學] 三角函數極座標與卡式座標互換等式

給定任意實數 $a,b, \omega$ 則對任意 $t$ 而言,
\[
a \cos (\omega t) + b \sin (\omega t) = A \cos (\omega t - \phi)
\]其中 $A = \sqrt{a^2 + b^2}$ 且 $\phi = \tan^{-1}(b/a)$


Proof:
首先定義複數 $z := a - bi$ 則存在 $A= \sqrt{a^2 + b^2}$ 與 $\phi = \tan^{-1}(b/a)$ 使得 $z = A e^{-i \phi}$ 接著我們觀察
\[\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
A{e^{i\left( {\omega t - \phi } \right)}} = {e^{i\left( {\omega t} \right)}} \cdot \left( {A{e^{ - i\left( \phi  \right)}}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left( {\cos \left( {\omega t} \right) + i\sin \left( {\omega t} \right)} \right)z
\end{array}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left( {\cos \left( {\omega t} \right) + i\sin \left( {\omega t} \right)} \right)\left( {a - bi} \right)}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = a\cos \left( {\omega t} \right) - bi\cos \left( {\omega t} \right) + ai\sin \left( {\omega t} \right) + b\sin \left( {\omega t} \right)}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left( {a\cos \left( {\omega t} \right) + b\sin \left( {\omega t} \right)} \right) - i\left( {b\cos \left( {\omega t} \right) - a\sin \left( {\omega t} \right)} \right)\;\;\;\;(*)}
\end{array}\]但又因為
\[A{e^{i\left( {\omega t - \phi } \right)}}: = A\left( {\cos \left( {\omega t - \phi } \right) + i\sin \left( {\omega t - \phi } \right)} \right) \;\;\; (\star)
\]故將 $(*)$ 與 $(\star)$ 實部相比,我們可立刻得知
\[ A \cos \left( {\omega t - \phi } \right) = a\cos \left( {\omega t} \right) + b\sin \left( {\omega t} \right)\]

Comment:
一般而言,我們將 $a \cos (\omega t) + b \sin (\omega t) $ 稱作三角函數的卡氏座標表示式 (Cartesian Form),且 $A \cos (\omega t - \phi)$ 稱作三角函數的 大小-相位表示式 (Amlitude-Phase Form) 或 極座標表示式 (Polar Form)。

2011年3月1日 星期二

[七藝] 古希臘追求成為真正自由人的七門必修科目

古希臘/羅馬人認為人雖有肉體上自由更要追求心靈上自由。其追求心靈自由的方法是要透過學習七門學問(七藝 Libral Arts)後方可成為真正的自由人:

其七門學科如下:

  1. 文法(Grammar)
  2. 修辭(Rhetoric)
  3. 辯證(Dialectic)
  4. 算術(Arithmetic)
  5. 幾何(Geometry)
  6. 天文(Astronomy)
  7. 音樂(Music)


現代所稱的博雅教育即為探討落實上列七門基本文理學科來落實教育通才 (非專才)。