令函數 $f: X \to Y$ 且 $x \in X$ 為其 domain 中一點 使得 $f$ 在該點不連續。則我們稱 函數$f$ 在此點 $x$ 不連續 ($f$ is discontinuous at $x$)。 比如說，我們看下圖，可發現該函數在 $x_0$ 處不連續 (函數圖形在 $x_0$點發生不連續， but 左右極限相等)
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%82%B9#mediaviewer/File:Discontinuity_removable.eps.png
一般而言如果 $f$ 是透過 "分段"定義，都會有不連續問題存在。不過在此之前我們需要一些先導觀念幫助我們：亦即所謂的 左極限 (left-limits of $f$ at $x$, $f(x-)$) 與 右極限 (right-limits of $f$ at $x$, $f(x+)$)
===================
Definition: Right-Limit
令 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上 ，考慮任意點 $x$ 使得 $a \le x < b$，我們說 $f$在 $x$ 點處 右極限存在 (記做 $f(x+) = q$ ) 若下列條件成立：
對任意 sequence $\{t_n\} \subset (x,b)$ 使得 $t_n \to x$ ，$f(t_n) \to q$ 當 $n \to \infty$
Definition: Left-Limit
令 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上，考慮任意點 $x$ 使得 $a < x \le b$，我們可寫 $f$在 $x$點左極限 存在 (記做 $f(x-) = q$ ) 若下列條件成立：
對任意 sequence $\{t_n\} \subset (a,x)$ 使得 $t_n \to x$ ，$f(t_n) \to q$ 當 $n \to \infty$
===================
Comments:
一般而言，常見的寫法還有
\[\left\{ \begin{array}{l}
f(x + ) = \mathop {\lim }\limits_{t \searrow x} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {x^ + }} f\left( t \right)\\
f(x - ) = \mathop {\lim }\limits_{t \nearrow x} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {x^ - }} f\left( t \right)
\end{array} \right.\]
===================
FACT:
對任意 $ x \in (a,b)$， $\lim_{t \to x} f(t)$ 存在 若且為若
\[
f(x+ ) = f(x - ) = \lim_{t \to x} f(t)
\]===================
Proof: omitted.
Comment:
1. 上述 FACT 只保證 左右極限 相等 等價 極限存在，但並沒有 "任何" 對於 連續性的推論!! 簡而言之，某函數的極限在某點存在 (or 左右極限在某點存在且相等) 不保證 函數在該點連續!!。
2. [直覺] 連續函數可以容忍函數被某些點被 折彎，但不允許 折斷!! 如果一旦發生折斷即為不連續函數。
有了以上左右極限的觀念，我們可以開始討論 不連續性質：
===================
Definition: Classification of Discontinuity
令函數 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上，若 $f$ 在點 $x$ 處不連續 且 若 $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 存在，則我們稱 $f$ 為 simple discontinuity at $x$。(或稱 $f$ 有 discontinuity of the first kind。)
其餘的不連續則統稱為 discontinuity of the second kind
===================
Comments:
簡潔判斷 discontinuity of the first kind 的方法：檢驗其是否 左右極限存在
以下我們看幾個例子：
Example 1: First Kind Discontinuous Function
定義
\[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( {x\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}rational} \right)\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( {x\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}irrational} \right)
\end{array} \right.\]試證明 $f$ 為 discontinuity of the second kind。
Proof:
讀者應可判斷此函數 $f$ 已為不連續函數，剩下的只需判斷是 first kind 或者 second kind。 故選任意點 $x$，注意到對任意點而言，$f(x+)$ 與 $f(x-)$ 皆不存在!(會在 $0,1$ 之間震盪) 故不滿足 first kind 不連續性，我們可推知其必為 discontinuity of the second kind。$\square$
Example 2: First Kind Discontinuous Function
考慮
\[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
x + 2,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( { - 3 < x < - 2} \right)\\
- x - 2,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( { - 2 \le x < 0} \right)\\
x + 2,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( {0 \le x < 1} \right)
\end{array} \right.\]則如果我們繪製出函數圖形可看出
直覺檢驗 (NOT PROOF)：可發現函數在 $x=0$處 發稱間斷! (不連續在此點產生)；另外此函數在 $x \in (-3,1)$ 處均為連續函數 (因為此函數只有被折但沒有發生 "折斷"。)$\square$
Example 3: Second Kind Discontinuous Function
\[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
\sin \left( {\frac{1}{x}} \right),\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( {x \ne 0} \right)\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array}\left( {x = 0} \right)
\end{array} \right.\]
則如果我們繪製出函數圖形可看出
可以發現在 $x=0$ 處，圖形劇烈震盪。若我們檢驗其 $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 可知其皆不存在。故函數在 $x=0$處為 second kind discontinuous，但 除了 $x=0$以外其餘點皆連續 (因為 $ \sin (\cdot)$ 函數為連續函數)。$\square$
我們現在將不連續
以下我們看個結果：
Theorem:
令 $f$ 為 $(a,b)$ 上 實數單調遞增函數 (monotonically increasing on $(a,b)$)，則對任意 $x \in (a,b)$ 其左右極限 $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 存在。亦即
\[\mathop {\sup }\limits_{a < t < x} f\left( t \right) = f\left( {x - } \right) \le f\left( x \right) \le f\left( {x + } \right) = \mathop {\inf }\limits_{x < t < b} f\left( t \right)\]且若 $a < x < y < b$ 則
\[
f(x+) \le f(y-)
\]
Proof: omitted. see Rudin. Mathematical Analysis 3rd, Chapter 4.
Theorem: 令 $f$ 為 $(a,b)$ 上 實數單調遞增函數 (monotonically increasing on $(a,b)$)，則 $f$ 在 $(a,b)$ 中的不連續點 個數最多僅有 countably many。
Proof:
令 $f$ 為 $(a,b)$ 上 遞增函數 (increasing on $(a,b)$)且定義集合 $E$ 為所有 $(a,b)$區間上的點使 $f$ 不連續 所形成的集合
\[E: = \left\{ {x \in \left( {a,b} \right):f\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{is}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{discontinuous}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{at}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x} \right\}\]由 (前述 Theorem )可知 $f$ 為 $(a,b)$ 上 遞增函數 (increasing on $(a,b)$)，則對任意 $x \in (a,b)$ 其左右極限 $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 存在 且下列關係成立
\[f\left( {x - } \right) \le f\left( y \right) \le f\left( {x + } \right)\]
現在對任意 $x \in E$，由於 $f(x) $ 為實數函數，利用 實數稠密性質，我們可指派 有理數 $ r(x) $ 使得
\[f\left( {x - } \right) \le r\left( x \right) \le f\left( {x + } \right) \ \ \ \ (*)
\]利用遞增性質 可知 $x_1< x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ 故再利用前述 Theorem 可知
\[\begin{array}{l}
{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\\
\Rightarrow f({x_1} + ) \le f({x_2} - ) \ \ \ \ (**)
\end{array}\] 現在比較 $(*)$ 與 $(**)$ 可推知
\[{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow r\left( {{x_1}} \right) \ne r\left( {{x_2}} \right)\]上式表示我們建構了 集合 $E$ 與 $\mathbb{Q}$ 之間為 one-to-one (by definition)。故可知 $E$中 不連續點 最多 countably many 個。 $\square$
一般而言如果 $f$ 是透過 "分段"定義，都會有不連續問題存在。不過在此之前我們需要一些先導觀念幫助我們：亦即所謂的 左極限 (left-limits of $f$ at $x$, $f(x-)$) 與 右極限 (right-limits of $f$ at $x$, $f(x+)$)
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Definition: Right-Limit
令 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上 ，考慮任意點 $x$ 使得 $a \le x < b$，我們說 $f$在 $x$ 點處 右極限存在 (記做 $f(x+) = q$ ) 若下列條件成立：
對任意 sequence $\{t_n\} \subset (x,b)$ 使得 $t_n \to x$ ，$f(t_n) \to q$ 當 $n \to \infty$
Definition: Left-Limit
令 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上，考慮任意點 $x$ 使得 $a < x \le b$，我們可寫 $f$在 $x$點左極限 存在 (記做 $f(x-) = q$ ) 若下列條件成立：
對任意 sequence $\{t_n\} \subset (a,x)$ 使得 $t_n \to x$ ，$f(t_n) \to q$ 當 $n \to \infty$
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Comments:
一般而言，常見的寫法還有
\[\left\{ \begin{array}{l}
f(x + ) = \mathop {\lim }\limits_{t \searrow x} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {x^ + }} f\left( t \right)\\
f(x - ) = \mathop {\lim }\limits_{t \nearrow x} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {x^ - }} f\left( t \right)
\end{array} \right.\]
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FACT:
對任意 $ x \in (a,b)$， $\lim_{t \to x} f(t)$ 存在 若且為若
\[
f(x+ ) = f(x - ) = \lim_{t \to x} f(t)
\]===================
Proof: omitted.
Comment:
1. 上述 FACT 只保證 左右極限 相等 等價 極限存在，但並沒有 "任何" 對於 連續性的推論!! 簡而言之，某函數的極限在某點存在 (or 左右極限在某點存在且相等) 不保證 函數在該點連續!!。
2. [直覺] 連續函數可以容忍函數被某些點被 折彎，但不允許 折斷!! 如果一旦發生折斷即為不連續函數。
有了以上左右極限的觀念，我們可以開始討論 不連續性質：
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Definition: Classification of Discontinuity
令函數 $f$ 定義在 $(a,b)$ 上，若 $f$ 在點 $x$ 處不連續 且 若 $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 存在，則我們稱 $f$ 為 simple discontinuity at $x$。(或稱 $f$ 有 discontinuity of the first kind。)
其餘的不連續則統稱為 discontinuity of the second kind
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Comments:
簡潔判斷 discontinuity of the first kind 的方法：檢驗其是否 左右極限存在
以下我們看幾個例子：
Example 1: First Kind Discontinuous Function
定義
\[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( {x\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}rational} \right)\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( {x\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}irrational} \right)
\end{array} \right.\]試證明 $f$ 為 discontinuity of the second kind。
Proof:
讀者應可判斷此函數 $f$ 已為不連續函數，剩下的只需判斷是 first kind 或者 second kind。 故選任意點 $x$，注意到對任意點而言，$f(x+)$ 與 $f(x-)$ 皆不存在!(會在 $0,1$ 之間震盪) 故不滿足 first kind 不連續性，我們可推知其必為 discontinuity of the second kind。$\square$
Example 2: First Kind Discontinuous Function
考慮
\[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
x + 2,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( { - 3 < x < - 2} \right)\\
- x - 2,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( { - 2 \le x < 0} \right)\\
x + 2,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( {0 \le x < 1} \right)
\end{array} \right.\]則如果我們繪製出函數圖形可看出
直覺檢驗 (NOT PROOF)：可發現函數在 $x=0$處 發稱間斷! (不連續在此點產生)；另外此函數在 $x \in (-3,1)$ 處均為連續函數 (因為此函數只有被折但沒有發生 "折斷"。)$\square$
Example 3: Second Kind Discontinuous Function
\[f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
\sin \left( {\frac{1}{x}} \right),\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\left( {x \ne 0} \right)\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array}\left( {x = 0} \right)
\end{array} \right.\]
則如果我們繪製出函數圖形可看出
可以發現在 $x=0$ 處，圖形劇烈震盪。若我們檢驗其 $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 可知其皆不存在。故函數在 $x=0$處為 second kind discontinuous，但 除了 $x=0$以外其餘點皆連續 (因為 $ \sin (\cdot)$ 函數為連續函數)。$\square$
我們現在將不連續
以下我們看個結果：
Theorem:
令 $f$ 為 $(a,b)$ 上 實數單調遞增函數 (monotonically increasing on $(a,b)$)，則對任意 $x \in (a,b)$ 其左右極限 $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 存在。亦即
\[\mathop {\sup }\limits_{a < t < x} f\left( t \right) = f\left( {x - } \right) \le f\left( x \right) \le f\left( {x + } \right) = \mathop {\inf }\limits_{x < t < b} f\left( t \right)\]且若 $a < x < y < b$ 則
\[
f(x+) \le f(y-)
\]
Proof: omitted. see Rudin. Mathematical Analysis 3rd, Chapter 4.
Theorem: 令 $f$ 為 $(a,b)$ 上 實數單調遞增函數 (monotonically increasing on $(a,b)$)，則 $f$ 在 $(a,b)$ 中的不連續點 個數最多僅有 countably many。
Proof:
令 $f$ 為 $(a,b)$ 上 遞增函數 (increasing on $(a,b)$)且定義集合 $E$ 為所有 $(a,b)$區間上的點使 $f$ 不連續 所形成的集合
\[E: = \left\{ {x \in \left( {a,b} \right):f\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{is}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{discontinuous}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{at}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x} \right\}\]由 (前述 Theorem )可知 $f$ 為 $(a,b)$ 上 遞增函數 (increasing on $(a,b)$)，則對任意 $x \in (a,b)$ 其左右極限 $f(x+)$ 與 $f(x-)$ 存在 且下列關係成立
\[f\left( {x - } \right) \le f\left( y \right) \le f\left( {x + } \right)\]
現在對任意 $x \in E$，由於 $f(x) $ 為實數函數，利用 實數稠密性質，我們可指派 有理數 $ r(x) $ 使得
\[f\left( {x - } \right) \le r\left( x \right) \le f\left( {x + } \right) \ \ \ \ (*)
\]利用遞增性質 可知 $x_1< x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ 故再利用前述 Theorem 可知
\[\begin{array}{l}
{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\\
\Rightarrow f({x_1} + ) \le f({x_2} - ) \ \ \ \ (**)
\end{array}\] 現在比較 $(*)$ 與 $(**)$ 可推知
\[{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow r\left( {{x_1}} \right) \ne r\left( {{x_2}} \right)\]上式表示我們建構了 集合 $E$ 與 $\mathbb{Q}$ 之間為 one-to-one (by definition)。故可知 $E$中 不連續點 最多 countably many 個。 $\square$
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