以下討論均考慮 雙變數情況
============
Definition: Limit of function with two variables
令 $f :D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 且 點 $(a,b) \in D$，則我們說 $f(x,y)$ 在點 $ (a,b)$ 的 Limit $L$ 記做 $f(x,y) \to L$ as $(x,y) \to (a,b)$ 或者
\[
\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y) =L
\]若下列條件成立：
對任意 $\varepsilon >0$ 存在 $\delta >0$ 使得 對任意 $(x,y) \in D$，
\[
\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta \Rightarrow |f(x,y) - L| < \varepsilon
\]============
Comments:
事實上上述定義可直接推廣到 $n$ 變數的情況，但為免以下分析過於複雜我們在此僅討論雙變數的情況。以下我們看個例子。
Example
試證 $\displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{3 x^2y}{x^2 + y^2}$ 存在 且 其極限值為 $0$。
Proof:
要證明 $\displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{3 x^2y}{x^2 + y^2}$ 存在，由定義出發：給定 $\varepsilon >0$，要證明 存在 $\delta >0$ 使得 對任意 $(x,y) \in \mathbb{R}^2$，
\[
\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x,y) - 0| < \varepsilon
\]
首先觀察
\[|f(x,y) - 0| = |\frac{{3{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}| = \frac{{3{x^2}\left| y \right|}}{{{x^2} + {y^2}}} \le 3\left| y \right| = 3\sqrt {{y^2}} \le 3\sqrt {{y^2} + {x^2}}
\]故若我們取 $\delta := \varepsilon/3 >0$ 則對任意 $(x,y) \in \mathbb{R}$，我們可得
\[\sqrt {{{(x - 0)}^2} + {{(y - 0)}^2}} < \delta \Rightarrow |f(x,y) - 0| \le 3\underbrace {\sqrt {{y^2} + {x^2}} }_{ < \delta = \varepsilon /3} < 3\left( {\frac{\varepsilon }{3}} \right) < \varepsilon \]故 $\displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{3 x^2y}{x^2 + y^2} =0$ $\square$
Comment:
在單變數函數的情況中，我們知道極限存在 等價 左右極限相等 (從左方逼近 = 右方逼近)，但是如果情況推廣到雙變數，則情況將不再這麼單純，所謂的極限存在必須對 "任意" 的逼近方向其極限都必須相等。
============
FACT:
若 $f(x,y) \to L_1 \text{ as } (x,y) \to (a,b)$ 沿著某路徑 $C_1$ 逼近 且 $f(x,y) \to L_2 \text{ as } (x,y) \to (a,b)$ 沿著某路徑 $C_2$ 逼近 且 $L_1 \neq L_2$ 則 $\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y) =L$ 不存在。
============
Example:
考慮 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2 + y^2}$ ，試問其極限是否存在?
Solution
令 \[
f(x,y):=\frac{x^2-y^2}{x^2 + y^2}
\]首先考慮沿著 $x$ 軸 逼近 $(0,0)$ 的情況：
由於我們沿著 $x$ 軸，故此時 $y=0$ 我們可先計算
\[f(x,0): = \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = 1,\;\; \forall x \neq 0 \]故我們可知
\[
f(x,y) \to 1 \; \text{ as }\;(x,y) \to (0,0) \;\; \text{ along x-axis}
\]
接著我們考慮沿著 $y$ 軸 逼近 $(0,0)$ 的情況
同理，由於我們沿著 $y$ 軸，故此時 $x=0$ 我們可先計算
\[f(0,y): = \frac{{ - {y^2}}}{{{y^2}}} = - 1,\;\; \forall y \neq 0\]故我們可知
\[
f(x,y) \to -1\; \text{ as }\; (x,y) \to (0,0)\;\; \text{ along y-axis}
\]注意到此時沿著路徑 $y$ 軸的極限 不等於 沿著 $x$ 軸的極限，故我們說 $\lim_{(x,y) \to (a,b)} \frac{x^2-y^2}{x^2 + y^2}$ 不存在 (by FACT)。$\square$
Comment: 注意到，上述例子也許會給出一個錯誤的印象：認為只要檢驗兩軸即可。但若讀者回憶我們前面討論的內容即可發現，對於雙變數函數的情況，極限存在的條件是對 "任意"方向逼近都必須要正確 (任意方向泛指除了單軸逼近，任意直線逼近，任意線段逼近都要正確!!)；現在我們看個例子
Example 2
考慮 $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ 試問極限 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 是否存在?
Solution
考慮 $y:=mx$ 且 $m$ 為任意斜率；則此為過 $(0,0)$ 的任意斜直線，我們可用此方程幫助我們檢驗沿著任意直線方向逼近 $(0,0)$ 的極限是否相等 (NOTE: 除了沿著 $y$ 軸逼近 $(0,0)$ 之外 (why? 因為垂直線段斜率沒有定義!) ) ：
且看
\[f(x,mx) = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2}}} = \frac{{x\left( {mx} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {mx} \right)}^2}}} = \frac{{m{x^2}}}{{{x^2} + {m^2}{x^2}}} = \frac{m}{{1 + {m^2}}},\forall x \ne 0\]亦即
\[\mathop {\lim }\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \frac{m}{{1 + {m^2}}}
\]上式顯示了若改變 $m$ 值 (由不同斜線逼近 $(0,0)$)，則 $f(x,y)$ 會得到不同的極限，故 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 不存在 (by FACT)。$\square$
EXERCISE: 讀者可嘗試重做上述題目但此次改成用 $x = my$ 檢驗。
Comment: Again! 上述例子也許會給出一個錯誤的印象：認為只要檢驗任意直線方向逼近即可。但若讀者回憶我們前面討論的內容即可發現，對於雙變數函數的情況，極限存在的條件是對 "任意"方向逼近都必須要正確 (任意方向泛指任意 "線段" (不只有直線) 逼近都要正確!!)；現在我們看個例子
Example 3
考慮 $f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2 + y ^4}$ 試問其在 $(0,0)$ 處極限是否存在
Solution:
直接考慮 $y=mx$ (檢驗沿著任意方向斜直線逼近 $(0,0)$)
\[f(x,mx) = \frac{{x{{\left( {mx} \right)}^2}}}{{{x^2} + {{\left( {mx} \right)}^4}}} = \frac{{x{m^2}{x^2}}}{{{x^2} + {m^4}{x^4}}} = \frac{{x{m^2}}}{{1 + {m^4}{x^2}}},\forall x \ne 0\]故
\[f(x,mx) = \frac{{x{m^2}}}{{1 + {m^4}{x^2}}} \to 0 \text{ as } \; (x,y) \to (0,0)\]儘管我們得到了一致的極限，這並不代表極限存在，我們必須再度檢驗其他情況：
現在試著用 $y:=x^2$ (檢驗沿著二次曲線逼近 $(0,0)$)：
\[f(x,{x^2}) = \frac{{x{{\left( {{x^2}} \right)}^2}}}{{{x^2} + {{\left( {{x^2}} \right)}^4}}} = \frac{{x{x^2}}}{{1 + {x^2}{x^2}{x^2}}} \to 0 \; \text{ as } \; (x,y) \to (0,0)
\]與 $x:=y^2$，但此時
\[f({y^2},y) = \frac{{{y^2}{y^2}}}{{{{\left( {{y^2}} \right)}^2} + {y^4}}} = \frac{1}{2}\]若取極限沿著 $x=y^2$ 亦為 $1/2 \neq 0$ 故 $f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2 + y ^4}$ 在 $(0,0)$ 處極限不存在!! (by FACT) $\square$
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Definition: Limit of function with two variables
令 $f :D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 且 點 $(a,b) \in D$，則我們說 $f(x,y)$ 在點 $ (a,b)$ 的 Limit $L$ 記做 $f(x,y) \to L$ as $(x,y) \to (a,b)$ 或者
\[
\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y) =L
\]若下列條件成立：
對任意 $\varepsilon >0$ 存在 $\delta >0$ 使得 對任意 $(x,y) \in D$，
\[
\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta \Rightarrow |f(x,y) - L| < \varepsilon
\]============
Comments:
事實上上述定義可直接推廣到 $n$ 變數的情況，但為免以下分析過於複雜我們在此僅討論雙變數的情況。以下我們看個例子。
Example
試證 $\displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{3 x^2y}{x^2 + y^2}$ 存在 且 其極限值為 $0$。
Proof:
要證明 $\displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{3 x^2y}{x^2 + y^2}$ 存在，由定義出發：給定 $\varepsilon >0$，要證明 存在 $\delta >0$ 使得 對任意 $(x,y) \in \mathbb{R}^2$，
\[
\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x,y) - 0| < \varepsilon
\]
首先觀察
\[|f(x,y) - 0| = |\frac{{3{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}| = \frac{{3{x^2}\left| y \right|}}{{{x^2} + {y^2}}} \le 3\left| y \right| = 3\sqrt {{y^2}} \le 3\sqrt {{y^2} + {x^2}}
\]故若我們取 $\delta := \varepsilon/3 >0$ 則對任意 $(x,y) \in \mathbb{R}$，我們可得
\[\sqrt {{{(x - 0)}^2} + {{(y - 0)}^2}} < \delta \Rightarrow |f(x,y) - 0| \le 3\underbrace {\sqrt {{y^2} + {x^2}} }_{ < \delta = \varepsilon /3} < 3\left( {\frac{\varepsilon }{3}} \right) < \varepsilon \]故 $\displaystyle \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{3 x^2y}{x^2 + y^2} =0$ $\square$
Comment:
在單變數函數的情況中，我們知道極限存在 等價 左右極限相等 (從左方逼近 = 右方逼近)，但是如果情況推廣到雙變數，則情況將不再這麼單純，所謂的極限存在必須對 "任意" 的逼近方向其極限都必須相等。
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FACT:
若 $f(x,y) \to L_1 \text{ as } (x,y) \to (a,b)$ 沿著某路徑 $C_1$ 逼近 且 $f(x,y) \to L_2 \text{ as } (x,y) \to (a,b)$ 沿著某路徑 $C_2$ 逼近 且 $L_1 \neq L_2$ 則 $\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y) =L$ 不存在。
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Example:
考慮 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2 + y^2}$ ，試問其極限是否存在?
Solution
令 \[
f(x,y):=\frac{x^2-y^2}{x^2 + y^2}
\]首先考慮沿著 $x$ 軸 逼近 $(0,0)$ 的情況：
由於我們沿著 $x$ 軸，故此時 $y=0$ 我們可先計算
\[f(x,0): = \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = 1,\;\; \forall x \neq 0 \]故我們可知
\[
f(x,y) \to 1 \; \text{ as }\;(x,y) \to (0,0) \;\; \text{ along x-axis}
\]
接著我們考慮沿著 $y$ 軸 逼近 $(0,0)$ 的情況
同理，由於我們沿著 $y$ 軸，故此時 $x=0$ 我們可先計算
\[f(0,y): = \frac{{ - {y^2}}}{{{y^2}}} = - 1,\;\; \forall y \neq 0\]故我們可知
\[
f(x,y) \to -1\; \text{ as }\; (x,y) \to (0,0)\;\; \text{ along y-axis}
\]注意到此時沿著路徑 $y$ 軸的極限 不等於 沿著 $x$ 軸的極限，故我們說 $\lim_{(x,y) \to (a,b)} \frac{x^2-y^2}{x^2 + y^2}$ 不存在 (by FACT)。$\square$
Comment: 注意到，上述例子也許會給出一個錯誤的印象：認為只要檢驗兩軸即可。但若讀者回憶我們前面討論的內容即可發現，對於雙變數函數的情況，極限存在的條件是對 "任意"方向逼近都必須要正確 (任意方向泛指除了單軸逼近，任意直線逼近，任意線段逼近都要正確!!)；現在我們看個例子
Example 2
考慮 $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ 試問極限 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 是否存在?
Solution
考慮 $y:=mx$ 且 $m$ 為任意斜率；則此為過 $(0,0)$ 的任意斜直線，我們可用此方程幫助我們檢驗沿著任意直線方向逼近 $(0,0)$ 的極限是否相等 (NOTE: 除了沿著 $y$ 軸逼近 $(0,0)$ 之外 (why? 因為垂直線段斜率沒有定義!) ) ：
且看
\[f(x,mx) = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2}}} = \frac{{x\left( {mx} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {mx} \right)}^2}}} = \frac{{m{x^2}}}{{{x^2} + {m^2}{x^2}}} = \frac{m}{{1 + {m^2}}},\forall x \ne 0\]亦即
\[\mathop {\lim }\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \frac{m}{{1 + {m^2}}}
\]上式顯示了若改變 $m$ 值 (由不同斜線逼近 $(0,0)$)，則 $f(x,y)$ 會得到不同的極限，故 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 不存在 (by FACT)。$\square$
EXERCISE: 讀者可嘗試重做上述題目但此次改成用 $x = my$ 檢驗。
Comment: Again! 上述例子也許會給出一個錯誤的印象：認為只要檢驗任意直線方向逼近即可。但若讀者回憶我們前面討論的內容即可發現，對於雙變數函數的情況，極限存在的條件是對 "任意"方向逼近都必須要正確 (任意方向泛指任意 "線段" (不只有直線) 逼近都要正確!!)；現在我們看個例子
Example 3
考慮 $f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2 + y ^4}$ 試問其在 $(0,0)$ 處極限是否存在
Solution:
直接考慮 $y=mx$ (檢驗沿著任意方向斜直線逼近 $(0,0)$)
\[f(x,mx) = \frac{{x{{\left( {mx} \right)}^2}}}{{{x^2} + {{\left( {mx} \right)}^4}}} = \frac{{x{m^2}{x^2}}}{{{x^2} + {m^4}{x^4}}} = \frac{{x{m^2}}}{{1 + {m^4}{x^2}}},\forall x \ne 0\]故
\[f(x,mx) = \frac{{x{m^2}}}{{1 + {m^4}{x^2}}} \to 0 \text{ as } \; (x,y) \to (0,0)\]儘管我們得到了一致的極限，這並不代表極限存在，我們必須再度檢驗其他情況：
現在試著用 $y:=x^2$ (檢驗沿著二次曲線逼近 $(0,0)$)：
\[f(x,{x^2}) = \frac{{x{{\left( {{x^2}} \right)}^2}}}{{{x^2} + {{\left( {{x^2}} \right)}^4}}} = \frac{{x{x^2}}}{{1 + {x^2}{x^2}{x^2}}} \to 0 \; \text{ as } \; (x,y) \to (0,0)
\]與 $x:=y^2$，但此時
\[f({y^2},y) = \frac{{{y^2}{y^2}}}{{{{\left( {{y^2}} \right)}^2} + {y^4}}} = \frac{1}{2}\]若取極限沿著 $x=y^2$ 亦為 $1/2 \neq 0$ 故 $f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2 + y ^4}$ 在 $(0,0)$ 處極限不存在!! (by FACT) $\square$
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