謝宗翰的隨筆

直觀上，說事件獨立表示事件過去發生的歷史不會影響未來的結果。比如說我們考慮某隨機試驗為 投擲公平銅板三次，其結果 出現正面或者反面 不影響 下一次試驗出現正面或者反面的機率。則我們可將此投擲銅板的隨機試驗視為獨立事件。 以下我們給出各種獨立性的定義： 給定機率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$。 Definition: Independence of Two Events 我們說兩事件 $A,B \in \mathcal{F}$ 彼此獨立 (A independent of B) 若下列條件成立 \[ P(A \cap B) = P(A)P(B) \] Definition: Independence of Two Random Variables 我們說 兩隨機變數 $X, Y$ 從 $(\Omega, \mathcal{F})$ 映射到 $(\mathbb{R},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})$彼此獨立，若下列條件成立 對任意 $C, D \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ \[ P(X \in C, Y \in D) = P(X \in C, Y \in D) \]其中 $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ 為 Borel sigma-algebra。 Definition: Independence of Two Sigma-Algebras 我們說 兩 sigma-algebra $\mathcal{F}, \mathcal{G}$ 彼此獨立，若下列條件成立 對任意 $A \in \mathcal{F}$ 與 $B \in \mathcal{G}$ 我們有 \[ P(A \cap B) = P(A)P(B) \] 現在我們看個事件獨立的結果： ========================= FACT: 若事件 $A$, $B$ 為獨立，則 $A$ 與 $B^c$, $A^c$, 以及 $B$ 與 $B^c$, $A^c$ 均為獨立。 ========================= Proof: 在此只證 $A$ 與 $B^c$ 獨立。其餘證法皆雷同不贅述。由於要證  $A$ 與 $B^c$ 獨立，由定義

閱讀本文之前，建議讀者先行閱讀 [數學分析] 三角多項式 與 三角級數 (1) 來熟悉符號與定義。 現在考慮週期連續函數 $f$，並取 $c_n$ 為 $f$ 的 Fourier Series Coefficient，則我們可以定義 $N$ 項 Partial sum $S_N(f;x)$ 如下： \[ S_N(f;x) :=\sum_{n=-N}^N c_n e^{inx} \]其中 $c_n = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx}dx$ 為了簡化符號，我們現在定義 Dirichlet kernel $D_N(t) $  如下 \[ D_N(t) := \sum_{n =-N}^N e^{int} \]讀者可自行驗證上述 Dirichlet kernel 滿足 \[{D_N}(t): = \sum\limits_{n =  - N }^N  {{e^{int}}}  = \frac{{\sin \left( {\left( {N + 1/2} \right)t} \right)}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}\]且 $\int_{ - \pi }^\pi  {{D_N}(t)dt = 2\pi } $ 現在讓 $n \to \infty$，我們想問何時 上述的 Partial sum 是否收斂到原函數? ;i.e., $$f(x) =?= \sum_n c_n e^{inx} $$ 答案是當 $f$ 為連續函數 或者滿足某程度的連續條件；則 我們前述定義的 Partial sum $S_N(f;x)$ 可以 "逐點收斂" 到原函數 $f$。我們將此重要的結果記錄成以下定理： ================ Theorem 1: Sufficient Condition For Pointwise Convergence of Fourier Series 若 對某些 $x \in [-\pi, \pi]$ 而言， 存在 $\delta >0$ 與 $M>0$ 使得 對任意 $t \in (-\delta, \delta)$ \[ |t| < \delta \Rightarrow |f(x+t) -