2010年4月27日 星期二

[衍生商品] 淺談 Black-Scholes Model 的性質 (0)

這次要跟大家介紹衍生商品市場的 Black-Scholes Model (B-S model),此 Formula 是由 Professor Fisher Black, Myron Scholes 與 Robert Merton 在選擇權定價領域的重大突破,此模型亦指引了衍生商品該如何透過無套利機會來獲得合理價格的研究大門。

事實上, B-S model 本質上是用來作為進行 歐式選擇權 (European Option) 定價公式。

在介紹之前,我們需先知道使用 B-S model 的一些假設:

對於股價分布的假設
  1. 股價服從連續複利 Log-normal 分布
  2. 波動度(Volatility)為已知常數
  3. 未來的股息已知
對於市場的假設
  1. 無交易手續費用、無稅收
  2. 證卷交易為連續進行
  3. 短期無風險利率 $r$ 為已知常數
  4. 可以基於無風險利率執行 short sell or borrow
  5. 不存在無風險套利機會 
Comment:
1. 股價的 Log-normal 分布假設: (此 Comment 需要隨機過程與隨機分析的背景知識,有興趣的讀者請參考BLOG中相關隨機分析的文章)

考慮股價模型為 Geometric Brownian Motion,故可寫做下列隨機微分方程 SDE
\[
dS_t := \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t, \ 0 \leq t \leq T
\]其中 $S_t$ 為時刻 $t$ 的股價, $\mu :=$ 股價每年的收益率期望值 (或稱 drift rate),$\sigma:=$ 股價每年的波動度 (volatility),$B_t$ 為標準布朗運動。注意到這邊我們假設 $\mu, \sigma$ 為固定常數。

上述隨機微分方程可解得 (Proof: omitted,有興趣讀者請參閱
[隨機分析] How to solve SDE practically (4) - Geometric Brownian Motion
\[
S_t = S_0 \exp \left\{ {\left( {\mu  - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}} \right)t + \sigma {B_t}} \right\}
\]改寫上式
\[ \Rightarrow \ln \frac{{{S_t}}}{{{S_0}}} = \left( {\mu  - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}} \right)t + \sigma {B_t}
\]由於 $B_t$ 為標準布朗運動,由定義可知標準布朗運動為 Gaussian process with mean 0, variance $t$ 與 covariance $\min{(s,t)}$,故我們可推論
\[\begin{array}{l}
\ln \frac{{{S_T}}}{{{S_0}}}\sim {{\cal N}}((\mu  - \frac{{{\sigma ^2}}}{2})T,{\sigma ^2}T)\\
 \Rightarrow \ln {S_T}\sim {{\cal N}}(\ln{S_0} + (\mu  - \frac{{{\sigma ^2}}}{2})T,{\sigma ^2}T)
\end{array}
\]其中 $S_T$ 是未來時間 $T$ 時的股價,$S_0$ 是時間 $0$ 時的股價。上式表明 $\ln {S_T}$ 服從 normal distribution,故 $S_T$ 為Log-normal (亦即 取Log之後為normal),

2. 關於 波動度 (Volatility) $\sigma$
股價的波動度 $\sigma$ 用於測量股價收益的不確定性。一般而言介於 $15 \% \sim 50 \%$。
B-S formula 假設:給定任意 $K,S,T,r..$, $\sigma$ 均為常數不變。

另外值得一提的是波動度有兩種,一種是 歷史資料波動度 (Historical Volatility) 隱含波動度 (Implied Volatility),其中歷史波動度是由歷史資料股價計算收益再由此歷史收益計算標準差將其定為波動度。但是隱含波動度則是透過 Black-Scholes Formula 反推而得。此波動度會在之後再作介紹。

3. 關於 Black-Scholes Formula 本質:
透過 購買/賣出 股票與債卷  來複製 選擇權的收益。透過此法可建構一組無風險投資組合,且此組合收益僅為無風險利率 (亦及無套利機會),相關推導請參閱此文: [隨機分析] Black-Scholes PDE for European Call option (0)

Black-Scholes-Metron Formula: 

B-S Model For Stock Option with Constant Dividend: 
以下為  對 European Call option 與 European put option 的 B-S formula
\[\left\{ \begin{array}{l}
c = {S_0}{e^{ - qT}}N\left( {{d_1}} \right) - K{e^{ - rT}}N\left( {{d_2}} \right)\\
p = K{e^{ - rT}}N\left( {{-d_2}} \right) - {S_0}{e^{ - qT}}N\left( {{-d_1}} \right)
\end{array} \right.
\]其中 $c$ 為 European Call option 的價格、$p$ 為 European Put option 價格、$q$ 為連續複利的固定股息、$r$ 為連續複利的無風險利率、 $S_0$ 為現時股價、$T$ 到期時間(以年為單位)、$K$ 為執行價格、$\sigma$ 為股價波動度;且 $N(\cdot)$ 為 Standard Normal cumulative distirbuiton function,其中
\[\left\{ \begin{array}{l}
{d_1} = \frac{{\ln \left( {{S_0}/K} \right) + \left( {r - q + {\sigma ^2}/2} \right)T}}{{\sigma \sqrt T }}\\
{d_2} = {d_1} - \sigma \sqrt T
\end{array} \right.
\]關於上式的證明有興趣的讀者請參考
 [隨機分析] Black-Scholes PDE for European Call option (1)

如果是要計算的話,讀者可以使用 MATLAB 指令 blsprice 協助計算,在此不贅述

Comment:
1. 仔細觀察 B-S Formula,我們可發現需要的參數有
$S_0, K, T, r, q, \sigma$ ,亦即選擇權 $f$ 為
\[
f(S,K,T,r,q,\sigma)
\]注意到其中只有 $\sigma$ 無法被直接觀測獲得,其餘參數都可直接獲得。但是事實上選擇權的報價是知道的 $c,p$已知,故我們可以透過代入選擇權價格以及其餘已知資訊來反推 $\sigma$,此法求得的 $\sigma$ 即為之前所提及的隱含波動度( Implied Volatility)

2. 關於上述 B-S formula的性質:
首先考慮 $S_0$ 很大 (deep in the money for call option, and out of money for put option) 的時候,
則上述 $d_1, d_2 \rightarrow \infty$ 故 $N(d_1), N(d_2) \rightarrow 1$,$N(-d_1), N(-d_2) \rightarrow 0$亦即
\[\left\{ \begin{array}{l}
c = {S_0}{e^{ - qT}}N\left( {{d_1}} \right) - K{e^{ - rT}}N\left( {{d_2}} \right) \to {S_0}{e^{ - qT}} - K{e^{ - rT}}\\
p = K{e^{ - rT}}N\left( { - {d_2}} \right) - {S_0}{e^{ - qT}}N\left( { - {d_1}} \right) \to 0
\end{array} \right.
\]可發現此情況確實為 $c, p$ 的收益價格。

當 $S_0$ 非常小的時候 (deep in the money for put option, and out of money for call option)
則上述 $d_1, d_2 \rightarrow -\infty$ 故 $N(d_1), N(d_2) \rightarrow 0$,$N(-d_1), N(-d_2) \rightarrow 1$亦即
\[\left\{ \begin{array}{l}
c = {S_0}{e^{ - qT}}N\left( {{d_1}} \right) - K{e^{ - rT}}N\left( {{d_2}} \right) \to 0\\
p = K{e^{ - rT}}N\left( { - {d_2}} \right) - {S_0}{e^{ - qT}}N\left( { - {d_1}} \right) \to K{e^{ - rT}} - {S_0}{e^{ - qT}}
\end{array} \right.
\]可發現此情況確實為 $c, p$ 的收益價格。

$T \rightarrow 0$ 的時候 :
如果 $S_0 \geq K$ 則 ${{d_1}} \rightarrow \infty \Rightarrow d_2 \rightarrow \infty$,故
\[
N(d_1) \rightarrow 1, N(d_2) \rightarrow 1
\]且
\[\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = {S_0}{e^{ - qT}}N\left( {{d_1}} \right) - K{e^{ - rT}}N\left( {{d_2}} \right)}\\
{p = K{e^{ - rT}}N\left( { - {d_2}} \right) - {S_0}{e^{ - qT}}N\left( { - {d_1}} \right)}
\end{array}} \right.
 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = {S_0} - K}\\
{p = 0}
\end{array}} \right.
\end{array}\]
如果 $S_0 < K$ 則 ${{d_1}} \rightarrow -\infty \Rightarrow d_2 \rightarrow -\infty$,故
\[
N(d_1) \rightarrow 0, N(d_2) \rightarrow 0
\]且
\[\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = {S_0}{e^{ - qT}}N\left( {{d_1}} \right) - K{e^{ - rT}}N\left( {{d_2}} \right)}\\
{p = K{e^{ - rT}}N\left( { - {d_2}} \right) - {S_0}{e^{ - qT}}N\left( { - {d_1}} \right)}
\end{array}} \right.
 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = 0}\\
{p = K - {S_0}}
\end{array}} \right.
\end{array}\]
故總結上述兩種情況,我們得到 當 $T \rightarrow 0$ ,選擇權價格為
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = \max \left\{ {{S_0} - K,0} \right\}}\\
{p = \max \left\{ {K - {S_0},0} \right\}}
\end{array}} \right.\]


3. 現在如果考慮B-S model 用到其他商品上的情況

B-S Model For Currency Option
此時 $S_0$ 為現時匯率;$q$ 為外幣利率(foreign currency interest rate)。

B-S Model For Future Option
此時 $S_0 = F_0$ 為現時期貨價格、$q = r$ 

以下我們看兩個例子:

Example 1:
使用 B-S model 來計算 European Put Option on the euro currencies 
考慮 現時匯率 $1.05/euro$、執行價格 $1.1/ euro$、歐元利率 $3.1 \%$、美金利率 $5.5 \%$、波動度 $10 \%$、到期時間 $4$個月

Solution
首先改寫已知資訊 $S=1.05, K=1.1, q=3.1\%, r=5.5\%, \sigma=10\%, T=4/12$,

接著計算 $d_1, d_2$:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{d_1} = \frac{{\ln \left( {1.05/1.1} \right) + \left( {5.5\%  - 3.1\%  + {{\left( {0.1} \right)}^2}/2} \right)\left( {4/12} \right)}}{{\left( {0.1} \right)\sqrt {(4/12)} }} =  - 0.6383\\
{d_2} =  - 0.6961
\end{array} \right.
\]帶入 B-S formula 可得 $p=0.05/euro$. $\square$

Example 2:
使用 B-S formula 計算 Put Options on Futures
考慮 期貨現時價格 $\$ 31$、執行價格 $31$、利率 $2 \%$、波動度 $30 \%$、到期時間 $6$個月

Solution
首先改寫已知資訊 $S=31, K=31, q=r=2\%, \sigma=30\%, T=6/12$,(注意到在期貨中 $q=r$ !!)

接著計算 $d_1, d_2$:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{d_1} = \frac{{\ln \left( {31/31} \right) + \left( {2\%  - 2\%  + {{\left( {0.3} \right)}^2}/2} \right)\left( {6/12} \right)}}{{\left( {0.3} \right)\sqrt {(6/12)} }} =  0.1061\\
{d_2} =  - 0.1060
\end{array} \right.
\]帶入 B-S formula 可得 Put Future Option 價格 $p= \$ 2.59 $. $\square$



ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.

2010年4月25日 星期日

[隨機分析] Girsanov Theory (0) - 測度變換

一般而言,我們都是在固定的機率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 進行各種討論,現在我們想考慮一個問題就是如果我們現在把 機率測度 $P$ 改成另一個機率測度 $Q$ 會發生甚麼事情,此問題的主要結果由 Girsanov 做出進一步發展。


那麼,在談變換之前,必定要先問一個問題就是? 變換測度的動機是甚麼? 有沒有什麼實際的應用使得我們需要進行變換測度?

在財務上,很多時候我們需要 風險中立測度(Risk-netural measure),此測度 與原本的機率測度不同,故我們需要找到一個方法來幫助我們轉換原本的 機率測度 到 風險中立測度。那麼談變換之前,我們需要一些定義:

===========================
Definition: 兩測度間的絕對連續性 (Q is absolutely continuous w.r.t. P: Q<<P )
給定兩個機率測度 $P, Q$ 在一個 measurable space $(\Omega, \mathcal{F})$,,我們稱
機率測度 $Q$ 對 機率測度 $P$ 而言為 絕對連續 (Absolutely continuous),記做 $Q << P$ ,若下面條件成立:對任意 $ A \in \mathcal{F}$ 而言,
\[
P(A) =0 \Rightarrow Q(A) =0
\]===========================

Comment:
Reader might think that the notation $<<$ is confusing. I suggest you to follow the double-arrow direction: if we say $P << Q$ the arrow direction is $<<$ this reminds me that for all set $A \in \mathcal{F}$, $Q(A)=0 \Rightarrow P(A)=0$ (Follow the direction of double arrows !)


===========================
Definition: 等價測度 (Equivalence of Two Measures)
若 $P << Q$ 且 $Q <<P$,我們稱 $P, Q$ 兩者等價 (equivalent)。 (亦即 $P$ 與 $Q$ 有相同的測度為零的集合。)
===========================

上述定義告訴我們兩個測度之間如果互為絕對連續,則兩測度等價。但如果沒有互為絕對連續的時候,兩個測度之間是否可以有甚麼關係呢? 答案是有的,我們將其記做下面定理:

===========================
Theorem (Radon-Nikodym Theorem)
$Q$ 為 absolutely continuous w.r.t. $P$ on $\mathcal{F}$ $\Leftrightarrow$ 存在一個 $\mathcal{F}$-measurable 的非負隨機變數 $Z \geq 0$ ( $Z : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ ) 使得
\[
\int_{\Omega} X d Q = \int_{\Omega} X Z dP, \ \ \text{$\forall$  $\mathcal{F}$-measurable $X \geq 0$}
\] 亦即 對任意 $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 而言,
$$
E^Q[X] = E^P[XZ]
$$===========================

Comment:
上述 Radon-Nikodym Theorem 指出 如果要檢驗 $Q <<P$ 則必須找到一個 $Z$ 使得\[
\int_{\Omega} X d Q = \int_{\Omega} X Z dP, \ \ \text{$\forall$  $\mathcal{F}$-measurable $X \geq 0$}
\] 成立,但注意到找到 $Z$ 之後仍要保證對所有的 measurable function $X \in \mathcal{F}$,都要成立,故其有一定難度,這邊我們有個系理可以幫助我們更快速檢驗是否 $Q<<P$,將 $X := 1_{A}$ (用 Indicator function 表示 $X$)


===============
Corollary:
$Q<<P$ on $\mathcal{F}$ $\Leftrightarrow$ 存在一個 $\mathcal{F}$-measurable function $Z \geq 0$ 使得
\[
Q(A) = \int_{A} Z dP, \forall \ A \in \mathcal{F}
\]===============



===========================
Definition: (Radon-Nikodym density, Radon-Nikodym derivative)
Radon-Nikodym Theorem 中須尋找的函數 $Z$ 稱作 Radon-Nikodym density or Randon-Nikodym derivative of $Q$ w.r.t. $P$,且我們將其寫作:
\[
Z:= \frac{dQ}{dP}
\]===========================


Comment:
現在我們看看為甚麼要將 $Z$ 定義成上述的 "微分" 的形式?一般而言,考慮  $X$ 為定義在 機率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 中的隨機變數,則 $X$  (基於測度 $P$) 的期望值,在此記作 $E^P[X]$ 定義為
\[
E^P[X] := \int_{\Omega} X dP
\]若現在我們將上述測度 $P$ 撤換為 新的測度,比如說 $Q$,則 $X$ 對 $Q$ 測度 的 期望值,記作 $E^Q[X]$ 可寫為:
\[
E^Q [X] := \int_{\Omega} XdQ
\]注意到我們利用上述概念與 Radon-Nikodym derivative,可進一步改寫 Radon-Nikodym Thoerem:
\[{E^Q}\left[ X \right]: = \int_\Omega  X dQ = \int_\Omega  X ZdP = \int_\Omega  X \frac{{dQ}}{{dP}}dP = {E^P}\left[ {X\frac{{dQ}}{{dP}}} \right]\]


現在我們看幾個例子來看看我們怎麼利用絕對連續的定義 or Randon-Nikodym Theorem 幫助我們檢驗兩個測度之間是否存在絕對連續關係。


===============
Example 1 (Continuous time case):
現在考慮 $\Omega := \mathbb{R}$,且給定隨機變數 $X$ 服從指數分配,但此分配 配備兩種不同測度 $P,Q$ ,記作 $Q \sim \exp(\lambda)$,$P \sim \exp(\mu)$。試問此兩測度 $P,Q$ 是否互為絕對連續?
===============

YES! 由 Randon-Nikodym Theorem,我們需要找到一個函數 $Z$ 使得 $E^Q[X] = E^P[XZ], \ \forall X$,故給定任意函數 $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 現在觀察
\begin{align*}
  {E^Q}[X] &: = \int_\Omega ^{} {XdQ}  \hfill \\
   &= \int_\Omega ^{} {x\lambda {e^{ - \lambda x}}dx}  \hfill \\
   &= \int_\Omega ^{} {x\lambda {e^{ - \lambda x}}\frac{{\mu {e^{ - \mu x}}}}{{\mu {e^{ - \mu x}}}}dx}  \hfill \\
   &= \int_\Omega ^{} {\left( {x\frac{{\lambda {e^{ - \lambda x}}}}{{\mu {e^{ - \mu x}}}}} \right)\mu {e^{ - \mu x}}dx}  \hfill \\
\end{align*} 故如果我們選 $Z: =Z(x) = \frac{{\lambda {e^{ - \lambda x}}}}{{\mu {e^{ - \mu x}}}}$,則我們即可得到
\begin{align*}
  {E^Q}[X] &= \int_\Omega ^{} {\left( {x z(x)} \right)\mu {e^{ - \mu x}}dx}  \hfill \\
   &= \int_\Omega ^{} {xzdP}  \hfill \\
   &= {E^P}\left[ {XZ} \right]
\end{align*}

===============
Example 2 (Discrete-time case):
考慮 $\Omega = \{1,2,3,4 \}$,且 $\mathcal{F} := \sigma(\{ 1\}, \{2\}, \{3\}, \{ 4\})$
$P_1 (\{1\}) = \frac{1}{2}$, $P_1(\{2\}) = \frac{1}{3}$, $P_1(\{3\})=\frac{1}{6}$, $P_1(\{4\})=0$
 $P_2 (\{1\}) = \frac{1}{3}$, $P_2(\{2\}) = \frac{1}{4}$, $P_2(\{3\})=\frac{1}{6}$, $P_2(\{4\})=\frac{1}{4}$

(a) 試證 $P_2 $ 與 $P_1$ 並絕對連續  但 $P_1$ 與 $P_2$ 為絕對連續
===============

Proof (a): 以下我們證明 $P_2 $ 與 $P_1$ 並絕對連續,但 $P_1$ 與 $P_2$ 為絕對連續。由絕對連續定義得知:首先檢驗 $P_2 << P_1$:由絕對連續定義可知必須滿足
\[
P_1(A)=0 \Rightarrow P_2(A)=0
\]但現在觀察 $P_1(\{4\})=0$ 但是  $P_2(\{4\})= 1/4 \neq 0$。故$P_2 $ $P_1$ 並絕對連續。

再者檢驗 $P_1 << P_2$:由絕對連續定義可知必須滿足
\[
P_1(A)=0 \Rightarrow P_2(A)=0
\]但現在觀察 $P_1(A)$ 只有當 $A = \emptyset $才為 $0$,亦即 $P_1(\{\emptyset\})=0$ 且 $P(\{\emptyset\})=0$。故$P_2 $ 與 $P_1$ 為絕對連續。






2010年4月15日 星期四

[數學分析] 淺談各種基本範數 (Norm)

這次要介紹的是數學上一個重要的概念:

Norm:一般翻譯成範數
(在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 Norm 想成長度就好 (事實上norm是長度的抽象推廣),

也許讀者會認為好端端的長度不用,為何又要發明一個 norm 來自討苦吃?? 既抽象又艱澀。

事實上想法是這樣的:
比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "!

但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說
\[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T
\]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$???
再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
3&4
\end{array}} \right]
\],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。

也正是如此,可以發現我們確實需要新的 "長度" 的定義來幫助我們如何去 measure 矩陣/向量/甚至是函數的大小。

故此,我們首先定義甚麼是Norm,(也就是把 "長度" or "大小" 的本質抽離出來)

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Definition: Norm
考慮 $V$ 為一個向量空間(Vector space),則我們說  Norm 為一個函數 $||\cdot|| : V \rightarrow \mathbb{R}$ 且滿足下列性質:

(a) $||v|| \geq 0$, $||v||=0 \Leftrightarrow v=0$

(b) 對所有的 $\alpha \in \mathbb{R}, v \in V$, $||\alpha v|| = |\alpha| \cdot ||v||$

(c) 對任意 $v_1, v_2 \in V$ , $||v_1 + v_2 || \le ||v_1|| + ||v_2||$ (三角不等式)
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Comments:
1. 觀察上述定義確實可以發現norm是長度的推廣。比如說性質(a) (positivity) 要求norm非負,可以發現直觀上我們的長度亦為非負;接著性質 (b) , (c) 亦可由原本長度定義中觀察而得。

2. 注意到上述 norm是定義在 向量空間 (vector space),這是一個相當抽象的概念,一般視為是具有加法與乘法 ( $+, \cdot$) 的無窮維空間。簡單說可以把它想成是 $\mathbb{R}^n$的推廣,下面我們介紹的norm所定義的空間都為一個Vector space ( $\mathbb{R}^n$ space, $L^p$ space, 或者所有連續函數所形成的空間...);如果對空間概念不熟的讀者可以暫時先略過此comment

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再來我們要考慮三大類常見的 norm  (也就是可以測量其大小但又滿足norm的3個基本性質)
一類是有限維度 $\mathbb{R}^n$ 空間中的向量怎麼定義norm,
一類是如果拓展到無窮維度該怎麼定義norm?
最後則是如果考慮的是函數空間(function space) 該怎麼定義norm


首先是 $\mathbb{R}^n$ 空間 (有限維度空間) 的norm

考慮一個向量 $v \in \mathbb{R}^n$,亦即
\[v = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{v_1}}\\
{{v_2}}\\
 \vdots \\
{{v_n}}
\end{array}} \right]
\]則我們可以定義下列各種不同的norm
\[\begin{array}{l}
{\left\| v \right\|_1}: = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{v_i}} \right|}, \ \ \text{1-norm}\\
{\left\| v \right\|_2}: = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{v_i}} \right|}^2}} }  = \sqrt {{v^T}v}, \ \ \text{2-norm}\\
{\left\| v \right\|_p}: = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{v_i}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{1}{p}}}, \ \ \text{p-norm}\\
{\left\| v \right\|_\infty }: = \mathop {\max }\limits_i \left| {{v_i}} \right| = \max \{ |v_1|, |v_2|, ..., |v_n| \}, \ \ \text{Infinity norm}
\end{array}
\]

Comments:
1. 在 $\mathbb{R}^n$ 空間中,任意兩個norm的定義等價 (in convergence sense)。此稱作Two-norm theorem:我們將其紀錄如下: (注意如果已經離開有限維度空間,Two norm Theorem失效!!!)

Theorem: (Two-norm Theorem)
若 $||\cdot||_a$ 與 $||\cdot||_b$ 為 $\mathbb{R}^n$ 空間中的norm,則存在一個常數 $C < \infty$使得 對任意 $x \in \mathbb{R}^n$
\[
 ||x||_a \leq C ||x||_b
\]
Proof: omitted.

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上述在有限維度空間的norm定義在一般情況仍然不足,因為如果我們考慮的是 一個sequence $\{x_k\}_{k=0}^{\infty}$,由於 sequence 有無窮多項 比如說 $\{x_k\}_{k=0}^{\infty}= 1/k $,此時上述的有限維度空間的norm定義無法使用。故我們進入了無窮維度的世界,此時無窮維度空間 的norm 可以仿照有限維度空間的定義如下
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left\| x \right\|}_{{\ell _1}}}: = \sum\limits_{i = 1}^\infty  {\left| {{x_i}} \right|} }\\
{{{\left\| x \right\|}_{{\ell _2}}}: = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^\infty  {{{\left| {{x_i}} \right|}^2}} }  = \sqrt {{x^T}x} }\\
{{{\left\| x \right\|}_{{\ell _p}}}: = {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty  {{{\left| {{x_i}} \right|}^p}} } \right)}^{\frac{1}{p}}}}\\
{{{\left\| x \right\|}_{{\ell _\infty }}}: = \mathop {\sup }\limits_{i \ge 1} \left| {{x_i}} \right|}
\end{array}\]
Comment
注意到關於maximum norm這邊我們用 $\sup$ 取代 有限維度空間所採用的 $\max$,一般表示我們並不確定最大元素是否存在,故此時採用 $\sup$。

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現在如果我們考慮的是更複雜的情況,比如說我們考慮的是函數,則該怎麼對函數定義norm呢? (此時norm定義在函數空間 $L^p$-space)。考慮函數 $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$則我們有如下的norm
\[\begin{array}{l}
{\left\| {f\left( t \right)} \right\|_{{L_1}}}: = \int_a^b {\left| {f\left( t \right)} \right|dt} \\
{\left\| {f\left( t \right)} \right\|_{{L_2}}}: = {\left( {\int_a^b {{{\left| {f\left( t \right)} \right|}^2}dt} } \right)^{\frac{1}{2}}}\\
{\left\| {f\left( t \right)} \right\|_{{L_p}}}: = {\left( {\int_a^b {{{\left| {f\left( t \right)} \right|}^p}dt} } \right)^{\frac{1}{p}}}\\
{\left\| {f\left( t \right)} \right\|_{{L_\infty }}}: = \mathop {\sup }\limits_{t \in \left[ {a,b} \right]} \left| {f\left( t \right)} \right|
\end{array}
\]

Comment:
1. 上述三大類的norm皆滿足 norm本身的定義 (4個性質皆滿足,這需要證明但我們這邊不贅述)。
2. 對於連續函數 $f \in \mathcal{C} [[a,b], \mathbb{R}]$而言,其norm都選maximum norm:亦即 $||f|| := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|$
3. 讀者也許會想問 $L_p$ 這個 $L$ 的意義為何,一般而言我們指 $f \in L_p$ 表示此函數 $f$ 為 Lebesgue integrable 且滿足上述 norm的條件。當然,如果有需要我們可以限制 $f \in R_p$ 其中 $R$ 表示的是函數 $f$ 為 Riemann integrable。在此不再贅述。


另外如果考慮的是矩陣的norm該怎麼定義??
因為我們手上只有對向量 與 對函數的norm,故方法就是先把矩陣變成向量,再算他的norm。我們稱此種算法得到的norm為 induced matrix norm。就是用一組向量把矩陣的norm 引(induce)出來:

Example:
考慮
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
3&4
\end{array}} \right]\]那麼此矩陣的 norm 該怎麼計算?
我們可透過取向量 $[1 \; 0]^T$ 當作輸入,則
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
3&4
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
3
\end{array}} \right]\]接著我們便可用 $\mathbb{R}^n$ 空間定義的向量來定義其 norm。


以下為正式的矩陣norm的定義

Definition: Induced matrix p-norm
令 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{R}^{m \times n}$則此矩陣由 向量 $x$ 引出的 induced p-norm
\[
||A||_p := \sup_{x \neq 0}\frac{||Ax||_p}{||x||_p}
\]

注意到如果 $p=2$,則 induced matrix 2-nrom ,則我們有 $||A||_2$ 可由其最大的eigenvalue求得:
\[
||A||_2 := \sqrt{\lambda_{max} (A^T A)}
\]

Norm idea in System Theory (The Energy idea)
在系統理論中,我們另外亦常用 能量(Energy) 與 功率(power)來表示我們關心的物理量的大小:
考慮 $x(t)$ 為一維連續時間"訊號",則定義在 $t\in [t_1,t_2]$ 之間 的 total energy E為
\[
E:=\int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt
\]同樣,我們亦可擴展訊號的 total energy 到時間為無窮大 $t \in (-\infty, \infty)$,此定義為上式的極限,記做 $E_{\infty}$:
\[
E_{\infty} := \lim_{T \rightarrow \infty}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2dt = \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt
\]若上式積分存在。

2010年4月3日 星期六

[微分方程] 積分因子法求解線性 ODE

這次要介紹的是一個重要的方法求解 基本線性微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE)。亦即所謂的 積分因子法 (Integration Factor Method)

想法:透過構造出積分因子 (Integrating Faction) 使得我們可以透過 微分鏈鎖律(chain rule) 將 微分方程 改寫為 兩個函數的乘積取導數 的形式以方便求解。

首先考慮一個 線性ODE 具有如下形式 (如果可以湊成如下形式則即可使用 積分因子法進行求解)
\[
y'(t) + a(t) y(t) = g(t) \ \ \ \ (*)
\]解:

定義積分因子:
\[
e^{\int_0^t a(s)ds}
\] 對 $(*)$ 兩邊同乘積分因子我們得到
\[\begin{array}{l}
y'(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}} + y(t)a(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}} = g(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}\\
 \Rightarrow \frac{d}{{dt}}\left( {y(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}} \right) = g(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}
\end{array}
\]
對兩邊同取積分可得
\[\begin{array}{l}
\int_0^t {\frac{d}{{dt}}\left( {y(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}} \right)} ds = \int_0^t {g(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}} ds\\
 \Rightarrow y(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}} - y\left( 0 \right) = \int_0^t {g(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}} ds\\
 \Rightarrow y(t) = y\left( 0 \right){e^{ - \int_0^t a (s)ds}} + {e^{ - \int_0^t a (s)ds}} \cdot \left( {\int_0^t {g(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}} ds} \right) \ \ \ \ (\star)
\end{array}\]
現在我們得到了一個解,故此需回頭確認 其確實為滿足 ODE $(*)$的解。故對其微分,由chain rule我們得到
\[\begin{array}{l}
y'(t) =  - a\left( t \right)y\left( 0 \right){e^{ - \int_0^t a (s)ds}} + \left( { - a\left( t \right)} \right){e^{ - \int_0^t a (s)ds}} \cdot \left( {\int_0^t {g(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}} ds} \right)\\
 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  + {e^{ - \int_0^t a (s)ds}} \cdot \left( {g(t) \cdot {e^{\int_0^t a (s)ds}}} \right)\\
 \Rightarrow y'(t) =  - a\left( t \right)y\left( t \right) + g(t)
\end{array}\]
故 $(\star)$確實為我們 的 線性ODE
\[
y'(t) + a(t) y(t) = g(t)
\]
的解。

此法即為積分因子法。


[微分方程] Gronwall's inequality

這次是介紹一個重要的積分不等式 (格朗沃爾不等式) Gronwall's inequality;此不等式提出了對於滿足某(微)積分方程的函數,有相應的(微)積分不等式。

此不等式在微分方程 與 隨機微分方程的的求解中扮演重要的腳色。是十分強大的數學工具。

========================
FACT: (Gronwall's inequality)
考慮 $t \in [0,T]$,且 $g \in L^1[0,T]$,若 $g(t) \leq C \cdot \int_{t_0}^{t} g(s) ds + B$ ,則
\[
g(t) \leq B \cdot e^{C (t-t_0)}
\]========================

Proof
設 $g(t) \leq C \cdot \int_{t_0}^{t} g(s) ds + B$ ,我們需要證明
\[
g(t) \leq B \cdot e^{C (t-t_0)}
\]已知
\[\begin{array}{l}
\frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right) =  - C{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds}  + {e^{ - Ct}}g\left( t \right)\\
 \Rightarrow \frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right) = {e^{ - Ct}}\left[ {g\left( t \right) - C\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right]
\end{array}
\]由我們的假設  $g(t) \leq C \cdot \int_{t_0}^{t} g(s) ds + B$ 可知
\[\frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right) \le B \cdot {e^{ - Ct}}
\]兩邊同積分,可得
\[\begin{array}{l}
\int_{{t_0}}^t {\frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right)} ds \le B \cdot \int_{{t_0}}^t {{e^{ - Cs}}} ds\\
 \Rightarrow {e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds}  \le B \int_{{t_0}}^t {{e^{ - Cs}}} ds  = \frac{{  B \cdot }}{C}\left( {{e^{ - Ct}} - {e^{ - C{t_0}}}} \right)
\end{array}\]
亦即
\[ \Rightarrow \int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds}  \le B{e^{Ct}}\frac{{{{\rm{e}}^{ - C{t_0}}} - {{\rm{e}}^{ - Ct}}}}{C} = \frac{B}{C}\left( {{e^{C\left( {t - {t_0}} \right)}} - 1} \right)
\]現在把上式帶回我們的假設
\[\begin{array}{l}
g(t) \le C \cdot \int_{{t_0}}^t g (s)ds + B \le C \cdot \left( {\frac{B}{C}\left( {{e^{C\left( {t - {t_0}} \right)}} - 1} \right)} \right) + B = B{e^{C\left( {t - {t_0}} \right)}}\\
 \Rightarrow g(t) \le B{e^{C\left( {t - {t_0}} \right)}}
\end{array}
\] 即為所求。$\square$

2010年4月1日 星期四

[衍生商品] Futures and Forward Pricing - No-Arbitrage Pricing Examples

這次要介紹 期貨與遠期契約的定價:

首先定義需要用到的符號:

$S_0:=$ 當前股價 (at time $0$)
$S_T:=$ 到期股價 (at time $T$)
$F_0:=$ 當前期貨價格(at time $0$)
$F_T:=$ 到期期貨價格 (at time $T$)
$T :=$ 到期時間 (以年計算)
$r:=$ 無風險年利率 (連續複利)
$D:=$ 配發股息
$q:=$ 配法股息利率 (連續複利)

無套利機會 (No-Arbitrage Opportunity ) 的遠期契約價格
\[
F_0^* = S_0 e^{(r-q)T}
\]上式等價
\[
F_0^* e^{rT}= S_0 -PV(D) + PV(Cost)
\]

現在考慮下面例子:

Example 1
考慮一個六個月股票遠期契約,且配發年股息 $3.96 \%$,當前股價為 $25$,無風險年利率為 $10 \%$,且股息與利率皆為連續複利。

(a) 試求 無套利價格 $F_0^*=$?
(b) 假設 $F_0=27$,是否存在套利機會?

Solution (a)
首先改寫已知資訊
\[
T=6/12, q=0.0396, S_0=25, r=0.1
\]計算無套利價格
\[
F_0^* = S_0 e^{(r-q)T} = 25 e^{(0.1-0.0396) \times \frac{6}{12}} = 25.766
\]

Solution (b)
由於 $F_0 = 27 > F_0^* = 25.766$,故存在套利機會 (存在買低賣高的機會):
也就是說 現階段的 遠期契約價格高於合理價格,我們可以賣出 (Short) 此遠期契約,並透過借款買入當前股票達成套利
\[\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration}\\
\hline
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&{ + {F_0} - {S_T}}\\
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ - {S_0}{e^{ - qT}}}&{{S_T}}\\
{Borrow\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ }&{ + {S_0}{e^{ - qT}}}&{ - \left( {{S_0}{e^{ - qT}}} \right){e^{rT}}}\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&0&{{F_0} - {S_0}{e^{\left( {r - q} \right)T}}}
\end{array}\\
\\
 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration}\\
\hline
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&{ + 27 - {S_T}}\\
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ - 24.51}&{{S_T}}\\
{Borrow\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ }&{ + 24.51}&{ - 25.766}\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&0&{ 1.2340}
\end{array}
\end{array}\]



Example 2
考慮一個 10 個月股票遠期契約,當前股價為 $50$,且已知會在第6個月配發股息 $5$ 元。且6個月無風險年利率為 $4 \%$,10個月無風險年利率為 $5 \%$ 。皆為連續複利。

(a) 試求 無套利價格 $F_0^*=$?
(b) 假設 $F_0=52$,是否存在套利機會?
(c) 假設 $F_0=45$,是否存在套利機會?

Solution (a)
首先改寫已知資訊
\[
T=10/12, D=5, S_0=50, r_{10}=0.05, r_{6}=0.04
\]計算無套利價格
\[\begin{array}{l}
F_0^*{e^{rT}} = {S_0} - PV(D) + PV(Cost)\\
 \Rightarrow F_0^*{e^{0.05 \times \frac{{10}}{{12}}}} = 50 - 5{e^{ - 0.04 \times \frac{6}{{12}}}} + 0\\
 \Rightarrow F_0^* = 47.02
\end{array}\]

Solution (b)
由於 $F_0 = 52 > F_0^* =47.02$,故存在套利機會 (存在買低賣高的機會):
現階段的 遠期契約價格高於合理價格,我們可以賣出 (Short) 此遠期契約,並透過借款買入當前股票達成套利
\[\small{\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{6\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration\left( {10\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month} \right)}\\
\hline
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&0&{ + {F_0} - {S_T}}\\
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ - {S_0}}&{ + D}&{{S_T}}\\
{Borrow\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ }&{ + {S_0} - D{e^{ - {r_4}T}}}&0&{ - \left( {{S_0} - D{e^{ - {r_4}T}}} \right){e^{{r_{10}}T}}}\\
{borrow\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ D}&{ + D{e^{ - {r_4}T}}}&{ - D}&0\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&0&0&{ + {F_0} - \left( {{S_0} - D{e^{ - {r_4}T}}} \right){e^{{r_{10}}T}}}
\end{array}\\
\\
 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{6\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration\left( {10\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month} \right)}\\
\hline
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&0&{ + 52 - {S_T}}\\
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ - 50}&{ + 5}&{{S_T}}\\
{Borrow\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ }&{50 - 4.9}&0&{ - \left( {45.1} \right){e^{{r_{10}}T}}}\\
{borrow\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ D}&{4.90}&{ - 5}&0\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&0&0&{4.9811}
\end{array}
\end{array}}
\]
Solution (c)
由於 $F_0 = 45 < F_0^* =47.02$,故存在套利機會 (存在買低賣高的機會):
現階段的 遠期契約價格低於合理價格,我們可以買入 (Long) 此遠期契約,並透過賣出當前股票達成套利
\[\small{\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{6\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration\left( {10\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month} \right)}\\
\hline
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&0&{ + {S_T} - {F_0}}\\
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ + {S_0}}&{ - D}&{ - {S_T}}\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ }&{ - \left( {{S_0} - D{e^{ - {r_4}T}}} \right)}&0&{ + \left( {{S_0} - D{e^{ - {r_4}T}}} \right){e^{{r_{10}}T}}}\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ D}&{ - D{e^{ - {r_4}T}}}&{ + D}&0\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&0&0&{ + \left( {{S_0} - D{e^{ - {r_4}T}}} \right){e^{{r_{10}}T}} - {F_0}}
\end{array}\\
\\
 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{6\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Expiration\left( {10\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month} \right)}\\
\hline
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Forward}&0&0&{ + {S_T} - 45}\\
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{50}&{ - 5}&{ - {S_T}}\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ }&{ - \left( {45.1} \right)}&0&{ + \left( {45.1} \right){e^{0.05 \times \frac{{10}}{{12}}}}}\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ D}&{ - 4.90}&{ + 5}&0\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&0&0&{2.0189}
\end{array}
\end{array}}\]