這次要跟大家介紹衍生商品市場的 Black-Scholes Model (B-S model),此 Formula 是由 Professor Fisher Black, Myron Scholes 與 Robert Merton 在選擇權定價領域的重大突破,此模型亦指引了衍生商品該如何透過無套利機會來獲得合理價格的研究大門。 事實上, B-S model 本質上是用來作為進行 歐式選擇權 (European Option) 定價公式。 在介紹之前,我們需先知道使用 B-S model 的一些假設: 對於股價分布的假設 股價服從 連續複利 Log-normal 分布 波動度(Volatility)為 已知 常數 未來的股息已知 對於市場的假設 無交易手續費用、無稅收 證卷交易為連續進行 短期無風險利率 $r$ 為 已知常數 可以基於無風險利率執行 short sell or borrow 不存在無風險套利機會 Comment: 1. 股價的 Log-normal 分布假設: (此 Comment 需要隨機過程與隨機分析的背景知識,有興趣的讀者請參考BLOG中相關隨機分析的文章) 考慮股價模型為 Geometric Brownian Motion,故可寫做下列隨機微分方程 SDE \[ dS_t := \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t, \ 0 \leq t \leq T \]其中 $S_t$ 為時刻 $t$ 的股價, $\mu :=$ 股價每年的收益率期望值 (或稱 drift rate),$\sigma:=$ 股價每年的波動度 (volatility),$B_t$ 為標準布朗運動。注意到這邊我們假設 $\mu, \sigma$ 為固定常數。 上述隨機微分方程可解得 (Proof: omitted,有興趣讀者請參閱 [隨機分析] How to solve SDE practically (4) - Geometric Brownian Motion \[ S_t = S_0 \exp \left\{ {\left( {\mu - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}} \right)t + \sigma {B_t}} \right\} \]改寫上式 \[ \
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya