謝宗翰的隨筆

這邊介紹 $\mathbb{R}^n$ 空間的 線性轉換 (Linear Transformation) ； 但我們首先從無窮維任意向量空間開始定義： ====================== 令 $X,Y$ 為任意 向量空間 (Vector Space)： Definition: Linear Transformation 我們稱 映射 $A : X \to Y$ 為 線性轉換 ( Linear Transformation)  若下列條件成立：對任意 ${\bf{x}},{\bf{y}} \in X$ 與 純量 $c \in \mathbb{R}$， \[\begin{array}{l} A\left( {{\bf{x}} + {\bf{y}}} \right) = A{\bf{x}} + A{\bf{y}}\\ A\left( {c{\bf{x}}} \right) = cA{\bf{x}} \end{array}\]====================== Comment: 1. 注意到上述符號： $A ({\bf x}) $ 表示 $A$ 作用 在 ${\bf x}$ 上!!   並非乘法 !  一般而言，若 $A$ 為 linear ，$A({\bf x}) $ 會記為 $A \bf x$ (讀者須避免與乘法造成誤會!) 2. 考慮 Linear transformation $A: X \to Y$ ，若 $\left\{ {{{\bf{x}}_1},{{\bf{x}}_2},...,{{\bf{x}}_n}} \right\}$ 為 $X$ 空間的 基底 (basis)，則任意向量 ${\bf x} \in X$ 有唯一表示： \[{\bf{x}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}{{\bf{x}}_i}} \]且由 Linearity of $A$ 可知 \[A{\bf{x}} = A\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}{{\bf{x}}_i}} } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}A{{\bf{x}}_i}} \] ====================== Definition: Li