泰勒展開 (Taylor Expansion) 的目的:試圖將 (足夠平滑) 函數 透過 多項式 近似 NOTE: 在此我們說足夠平滑,意思是指 導數存在。 Comment: 讀者可能學過所謂的 Fourier Series ,其基本概念是試圖將函數透過 "三角函數" 近似。 Taylor Expansion (or Taylor Polynomial) 考慮某函數一階導數存在,則我們可以透過 一階多項式來近似 $f(x)$ 如下: $$f(x) \approx a + bx$$ 則我們現在可觀察到在 $x =0$ 處, $f(0) = a$ 且其一階導數 $f'(0) = b$ 故事實上可寫 \[ f(x) \approx f(0) + f'(0) x \]上式稱為 $f(x)$ 的 $1$ 階 Taylor Expansion 再者若此函數二階導數存在,且打算將其表為二階多項式如下: $$f(x) \approx a + bx + c x^2$$ 則同理,我們可觀察在 $x =0$ 處, $f(0) = a$ 且其一階導數 $f'(0) = b$ , 二階導數 $f''(0) = 2c$故事實上可寫 \[\begin{array}{l} f(x) \approx a + bx + c{x^2}\\ \Rightarrow f(x) \approx f\left( 0 \right) + f'\left( 0 \right)x + \frac{{f''\left( 0 \right)}}{2}{x^2} \end{array} \]上式稱為 $f(x)$ 的 $2$ 階 Taylor Expansion 接著我們再重複做一次上述近似,再者若此函數 三階導數存在 ,我們可將其表為三階多項式形式如下: $$f(x) \approx a + bx + c x^2 + d x^3 $$同理,觀察在 $x =0$ 處, $f(0) = a$ 且其一階導數 $f'(0) = b$ , 二階導數 $f''(0) = 2c$;三階導數 $f'''(0) = 3 \cdot 2 d$ 故事實上可寫
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya